河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题（含答案）

河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知非负实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量满足，则( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
6.对于一个函数：当自变量取时，其函数值等于，则称为这个函数的数．若二次函数为常数且有且只有一个数，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. B. C. D.
8.在中，，的中点为，若长度为的线段在的左侧在直线上移动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A.
B.
C. 与向量平行的单位向量为
D. 向量在向量上的投影向量为
10.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是( )
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
11.已知有两个不同的极值点，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，设，则_______．
13.已知，满足，，则值为_________．
14.设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，角所对的边分别为，已知．
求；
若，且，求．
17.本小题分
已知函数的图象在点处的切线过点．
求实数的值；
求的极值．
18.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，．
求角的大小；
若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数
证明：在区间存在唯一极大值点；
求的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
设等差数列 的公差为，由题意知，
解得：
．
故 的通项公式为 ．


即： 的前项和 ．

16.解：
，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以．
由正弦定理得
，
所以
又，
所以，即，
由余弦定理得，
即，
所以，
即，
所以，
因为，所以．

17.解：由已知得，
则，又，
所以的图象在点处的切线方程为，
将点代入得，解得．
，定义域为，
所以，
令，，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以极小值为，无极大值．
18.解：由正弦定理得，
即，
又，
所以，
即，
又，，，
即，即，
又，，解得；
由题意得：，
由正弦定理得：，
又 为锐角三角形，，，
，，，，
从而．
所以面积的取值范围是．

19.解：设，
当时，，
所以在上单调递减
又因为，
所以在上有唯一的零点，
即函数在上存在唯一零点，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以在上存在唯一的极大值点
由知：在上存在唯一的极大值点，
所以，
又因为，
所以在上恰有一个零点，
又因为，
所以在上也恰有一个零点
当时，则，
设，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，恒成立，
所以在上没有零点
当时，，
设，
所以在上单调递减，
所以，
所以当时，恒成立，
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．

第1页，共1页