江西省“上进联考”2025届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

江西省“上进联考”2025届高三上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的非空真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为正数，若，有函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的两个零点分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
11.若存在实数使得方程有四个不等的实根，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为 ．
13.已知函数，则 ．
14.函数在区间上的零点个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求的单调递增区间
当时，求的最值．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
求的最值．
18.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
求的取值范围
若为锐角三角形，设，，探究是否存在，使得为定值若存在，求出该定值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：设函数的图象上一点处的切线为，在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．
已知三次函数，和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点．
求曲线在点处的切线方程用和表示
若对任意都存在，使，求正数的取值范围
证明：点和之间连线段的长度不小于．
参考公式：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
由知在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
故当时，的最大值为，最小值为．
16.解：由题意，即，解得或，
所以，或，
当时，，且，
故．
“”是“的充分不必要条件，故A是的真子集．
则满足两边等号不能同时成立，解得，
综上所述，的取值范围为．
17.解：由题意可得，
，，
故曲线在点处的切线方程为．
令，，
所以在上单调递减，，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减，
又，时，，当时，
由此画出的大致图象如图所示，故有最大值，无最小值．

18.解：，，，又，即，，
同理可得，则，
由余弦定理可得，
由，则，
又，
取的中点，则，
作，垂足为，则，，
不妨设，则有，，
，
又因为
，即，
，
若为定值，
则，负值舍去，
存在使为定值，且定值为．

19.解：，，
又，
所以，
故切线方程为
由得，同理，
由垂直得，
又在上，
故，
化简得，
故，
又，故，
代入得，
则，该方程关于有解，
故，得，则，
因为对任意都存在，则，
故；
证明：和之间连线段的长度，
则
，
代入，
，
又，
故，
故，
显然，随单调递减，
证明，即证，
由，解得，
即，
则，
令，，则，
则，
令，
则，
令得，
又，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
故当，即时，有最小值，即，命题得证．
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