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期中复习专项04 一次函数11大题型
题型一 函数的概念及求函数解析式
1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
3．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①；②；③；④； ⑤；⑥．
5．人参加研讨会，每两人握一次手，握手次数关于参加会议的人数的函数解析式为 ．
6．我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况．
速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中_____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
7．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为．
(1)判断是否符合题意，并说明理由
(2)求与之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出随变化的一个特征： ．
8．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题：
(1)图1中 ， ， ．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式．
题型二 求自变量的值或函数值
9．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
10．已知函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值（ ）
A．增加1 B．增加2 C．减少1 D．减少2
11．使函数表达式有意义的自变量的取值范围是 ．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为 ．
14．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
15．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
(1)这一变化过程中， 是变量， 是常量；
(2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q；
(3)这辆汽车最多能行驶多少小时？
16．如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化．
(1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______．
(2)体积V与底面半径r的关系式为_______．
(3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？
题型三 函数图象研究
17．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则下列 图象中能近似地刻画汽车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
18．用不同大小的橡皮泥捏同样高的圆柱体，下面符合圆柱体的体积和底面积的关系的图像是（ ）．
A． B．C． D．
19．某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．在范围内，飞机高度有两次
B．在范围内，飞机高度在不断下降
C．在范围内，飞机高度有四次
D．在范围内，飞机有二次连续攀升
20．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
21．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ．
22．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟．
(2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
23．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当时，_______；
②当时，______；
③当时，_______；
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；
… 0 1 2 3 …
… 0 1 2 1 0 …
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解；
②方程有_______个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是_______．
24．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：
(1)直接写出______；______；______；
(2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式；
(3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值．
题型四 求一次函数自变量及函数值
25．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
26．函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
28．函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ．
29．已知一次函数的图象经过原点，则k的值为 ．
30．已知函数，当k 时，它是一次函数，当 时，它是正比例函数．
31．在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式 ．
32．若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ．
33．已知点在正比例函数的图像上，则 ．
34．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与的函数关系式；
(2)求当时的函数值．
35．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与的函数解析式；
(2)如果x的取值范围是，求y的取值范围．
题型五 判断一次函数的图象
36．已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．C． D．
37．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
38．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
39．如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
40．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ．
41．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ．
题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题
42．下列关于一次函数的判断，正确的是（ ）
A．当时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点，点在该函数的图象上，若，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点
43．将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ．
44．在一次函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是 ．
45．直线与坐标轴围成的的面积是 ．
46．已知一次函数的图象不经过第三象限，且经过点，则 0（填“>”、“<”或“=”）
47．画出一次函数的图象．
(1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______；
(2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积．
题型七 一次函数图象平移问题
48．下列关于一次函数的判断，正确的是（ ）
A．当时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点，点在该函数的图象上，若，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点
49．对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第一象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到
D．若点，，在一次函数的图象上，则
50．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
51．直线向下平移3个单位，得到的直线的表达式是 ．
52．将直线向上平移3个单位长度得到的直线解析式是 ．
53．在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ．
54．已知一次函数．
(1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式．
题型八 一次函数的增减性应用
55．已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
56．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
57．已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
58．一次函数，y随x的增大而增大，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
59．已知，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
61．已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）．
62．探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质．
(1)①完成下面列表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 …
②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线；
(2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______；
②当时，x的取值范围是______．
题型十 一次函数的规律性探究
63．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
64．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
65．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
66．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ．
67．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
题型十一 一次函数的实际应用问题
68．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
69．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元．
甲（万美元/台） 乙（万美元/台）
A型医疗器材 0.7 1
B型医疗器材 0.8 0.9
(1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．
(2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元．
70．如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：
(1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时．
(2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式．
(3)问乙船出发多长时间赶上甲船？
71．如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求点和点的坐标；
(2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标；
72．我国传统的计重工具 秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 2
(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来．
(2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤；
(3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x的函数关系式；
②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
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期中复习专项04 一次函数11大题型
题型一 函数的概念及求函数解析式
1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数．
故选C
2．下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
【答案】B
【解析】与不是唯一的值对应，故选项错误；
B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确；
C．与不是唯一的值对应，故选项错误；
D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误．
故选B．
3．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数关系式为，在这个问题中，变量是，．
故选B．
4．下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①；②；③；④； ⑤；⑥．
【答案】②③
【解析】根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数，
故答案为：②③．
5．人参加研讨会，每两人握一次手，握手次数关于参加会议的人数的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】人参加研讨会，每两人握一次手，握手次数关于参加会议的人数的函数解析式为
故答案为：
6．我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的视野（度）随车速（千米/时）变化而变化的情况．
速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中_____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
【解析】（1）解：由图象可得：在这个变化过程中，自变量是高铁的速度，因变量是司机的视野；
（2）解：由表格可得：，
∴，；
（3）解：由函数图象可得，若高铁司机视野不小于度，则高铁行驶的速度最快是千米/时；
（4）解：某天的气温随时间的变化而变化．自变量是时间，因变量是气温．（答案不唯一，合理即可）
7．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为．
(1)判断是否符合题意，并说明理由
(2)求与之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出随变化的一个特征： ．
【解析】（1）解：不符合题意，
由题意得，，
当时，，
不符合题意；
（2）解：；
（3）解：当时，，
当时，，
完成表格如下：
（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
（米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5
由表可知，随的增大先增大后减小，
故答案为：随的增大先增大后减小．
8．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题：
(1)图1中 ， ， ．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式．
【解析】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为，
∴，
由图2可知，点从的运动时间为：，
∴，
由图2可知，点从的运动时间为，
∴．
故答案为：；；．
（2）解：根据题意得：，
，
．
∴图2中的值为，的值为．
（3）解：由图2可知，点在上运动时，，
∴，
即，
由图2可知，点在上运动时，，
∴，
即．
∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为．
题型二 求自变量的值或函数值
9．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【解析】当自变量时，
因变量，
故选D．
10．已知函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值（ ）
A．增加1 B．增加2 C．减少1 D．减少2
【答案】D
【解析】当时，；
当时，，
，
即当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2．
故选D．
11．使函数表达式有意义的自变量的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
解得．
故答案为：．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】根据题意，得，
故自变量x的取值范围是且．
故答案为：且．
13．下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，当时，，
输出，
故答案为：42．
14．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【解析】（1）解：在中，，，，
；
故答案为：．
（2）解：当点P在上，
（秒），
时，；
当点P在上，
（秒），
时，；
（3）解：设点C到直线的距离为h，
，
，
当时，
，
；
当时，
，，
．
15．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
(1)这一变化过程中， 是变量， 是常量；
(2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q；
(3)这辆汽车最多能行驶多少小时？
【解析】（1）这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，常量有：每小时耗油的油量；
故答案为：油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量
（2）由题意，得：
（3）当时，有，
解得：
即这辆汽车最多能行驶16小时．
16．如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化．
(1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______．
(2)体积V与底面半径r的关系式为_______．
(3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？
【解析】（1）解：根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积．
（2）解：根据圆柱体的体积计算公式：．
（3）解：体积增加了．
题型三 函数图象研究
17．汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速公路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则下列 图象中能近似地刻画汽车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，汽车前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点，
则符合题意得图象为D选项，
故选D．
18．用不同大小的橡皮泥捏同样高的圆柱体，下面符合圆柱体的体积和底面积的关系的图像是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】当高一定时，圆柱的体积和底面积成正比例，由此可知，B图像符合圆柱体的体积和底面积的关系，
故选B
19．某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．在范围内，飞机高度有两次
B．在范围内，飞机高度在不断下降
C．在范围内，飞机高度有四次
D．在范围内，飞机有二次连续攀升
【答案】C
【解析】A、结合图像，在范围内，飞机高度有两次，故该选项正确，不符合题意；
B、结合图像，在范围内，飞机高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意；
C、在范围内，飞机高度有三次，故该选项不正确，符合题意；
D、在范围内，飞机有二次连续攀升，故该选项正确，不符合题意；
故选C．
20．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，
由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，
∴，0到4秒后点P从点B运动到点C，
∴，
∴，
故选C．
21．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ．
【答案】
【解析】因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则，
P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时，
即，，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
当P为的中点时，
，
故答案为：．
22．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟．
(2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
【解析】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟，
小华返回学校的速度为：千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5；
（2）由题意，得：，
解得：．
23．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当时，_______；
②当时，______；
③当时，_______；
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；
… 0 1 2 3 …
… 0 1 2 1 0 …
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解；
②方程有_______个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是_______．
【解析】（1）解：（1）①当时，；
②当时，；
③当时，；
故答案为：2；，；
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解；
②方程有1个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是．
故答案为：2，2；1；．
24．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：
(1)直接写出______；______；______；
(2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式；
(3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值．
【解析】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，，
∴，，
当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小，
∴，；
（2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为：
，
∴此时的面积为：
．
（3）解：当点M在上运动时，，
解得：；
当点M在上运动时，的面积为，不可能是；
当点M在上运动时，，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当点M在上运动时，的面积为，不可能是；
当点M在上运动时，的面积小于，不可能是；
综上分析可知：当或时，面积为．
题型四 求一次函数自变量及函数值
25．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数是正比例函数，
且，
解得：，
故选C．
26．函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①，当时，不是一次函数；
②是一次函数；
③不是一次函数；
④是一次函数；
⑤不是一次函数；
所以是一次函数的有2个．
故选B．
27．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设梦幻点
∵
∴，
点是直线上的“姐妹点”，
，
，
点；
故答案为：D．
28．函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ．
【答案】②④
【解析】①，当时，不满足一次函数定义，不符合题意；
②，满足一次函数定义，符合题意；
③，是分式，不满足一次函数定义，不符合题意；
④，满足一次函数定义，符合题意；
⑤，是二次函数，不满足一次函数定义，不符合题意；
综上所述，②④是一次函数，
故答案为：②④．
29．已知一次函数的图象经过原点，则k的值为 ．
【答案】2
【解析】∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得，（舍去），
故，
故答案为：．
30．已知函数，当k 时，它是一次函数，当 时，它是正比例函数．
【答案】
【解析】∵是一次函数，
∴，
∴；
∵是正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：；．
31．在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式 ．
【答案】
【解析】直线经过点，
，
，
故答案为：．
32．若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【解析】∵直线过点，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
33．已知点在正比例函数的图像上，则 ．
【答案】
【解析】∵点在正比例函数的图象上，
∴，
解得．
故答案为：．
34．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与的函数关系式；
(2)求当时的函数值．
【解析】（1）解：设与的函数关系式为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴与的函数关系式为；
（2）由（1）知，与的函数关系式为，
∴当时，．
∴当时的函数值为．
35．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与的函数解析式；
(2)如果x的取值范围是，求y的取值范围．
【解析】（1）解：设 ，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵在中，，
∴y随x增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，．
题型五 判断一次函数的图象
36．已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】联立方程，可解得，故两直线的交点为，
选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；
而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；
选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；
故选．
37．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
【解析】由直线，
得，
如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，
得，都是整数，
得，都是偶数，
与中13为奇数矛盾，
故选A．
38．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选B．
39．如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故A选项错误，不符合题意．
B、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故B选项错误，不符合题意．
C、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故C选项正确，符合题意．
D、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故D选项错误，不符合题意．
故选C．
40．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ．
【答案】
【解析】由图象可得：，，，，
由于直线比陡，直线比陡，
，，
，
故答案为：．
41．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ．
【解析】①，
∵，
∴y随x的增大而减小，
当时，，解得，
∴与x轴交于正半轴，
∵，
∴与y轴交于正半轴；
②
∵，
∴y随x的增大而增大，
当时，，解得，
∴与x轴交于正半轴，
∵，
∴与y轴交于负半轴；
③，
∵，
∴y随x的增大而增大，
当时，，解得，
∴与x轴交于负半轴，
∵，
∴与y轴交于正半轴；
④，
∵，
∴y随x的增大而减小，
当时，，解得，
∴与x轴交于负半轴，
∵，
∴与y轴交于负半轴；
⑤，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴该函数经过原点；
⑥，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴该函数经过原点；
∵和的k值相等，
∴和互相平行；
（1）y随x的增大而增大的有②③⑥；
（2）y随x的增大而减小的有①④⑤；
（3）图象互相平行的有②⑥；
（4）与x轴交于正半轴的有①②；
（5）与y轴交于正半轴的有①③．
故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③．
题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题
42．下列关于一次函数的判断，正确的是（ ）
A．当时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点，点在该函数的图象上，若，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点
【答案】D
【解析】一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误；
一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误；
函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误；
若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确．
故选D．
43．将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【解析】直线向上平移2个单位长度，所得直线为：，
令，解得：，
∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：．
故答案为：．
44．在一次函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】/
【解析】∵一次函数中，，，
∴此函数的图象经过一二四象限.
∵当时，，
解得，
∴位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围是.
故答案为：.
45．直线与坐标轴围成的的面积是 ．
【答案】8
【解析】∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴的面积为；
故答案为：8．
46．已知一次函数的图象不经过第三象限，且经过点，则 0（填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【解析】∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，，
∵过点，
∴，
∴，
故答案为：．
47．画出一次函数的图象．
(1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______；
(2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积．
【解析】（1）解：令，可得，
这条直线与轴的交点坐标为．
令，可得，
与轴的交点坐标是．
故答案为：；；
（2）解：画出这条直线如图所示．
这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为．
题型七 一次函数图象平移问题
48．下列关于一次函数的判断，正确的是（ ）
A．当时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点，点在该函数的图象上，若，则
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则
D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点
【答案】D
【解析】一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误；
一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误；
函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误；
若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确．
故选D．
49．对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第一象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到
D．若点，，在一次函数的图象上，则
【答案】D
【解析】∵，
∴，，
∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求；
当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求；
图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求；
随着的增大而减小，
∵，
∴，D错误，故符合要求；
故选D．
50．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即．
故选C．
51．直线向下平移3个单位，得到的直线的表达式是 ．
【答案】
【解析】直线向下平移3个单位，得．
故答案为：．
52．将直线向上平移3个单位长度得到的直线解析式是 ．
【答案】
【解析】将直线向上平移3个单位长度得到的直线解析式是，
故答案为：．
53．在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ．
【答案】
【解析】将直线向左平移个单位长度得，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
54．已知一次函数．
(1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式．
【解析】（1）解：∵函数图象经过一、二、三象限，
∴，
解得．
（2）∵一次函数的图象与直线平行，
∴，解得：．
∴，
∴这个函数的表达式为．
题型八 一次函数的增减性应用
55．已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴y随x的增大而减小，
∵一次函数的图像经过三个点、、，且，
∴，
故选B．
56．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】 当时，则；
当时，则；
如图：
∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得．
故①是错误的；
结合图象，当时，y随着x的增大而减小．
当时，y随着x的增大而增大．
故②是错误的，
故③是正确的；
结合图象，函数有最小值．
故④是正确的；
故选D．
57．已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点、点在一次函数图象上，，，
∴y随x的增大而减小，
∴，解得：，
∴m的取值范围是．
故选A．
58．一次函数，y随x的增大而增大，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵一次函数，y随x的增大而增大，
∴，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D
59．已知，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，且，
∴与同号，
又∵，是一次函数即图象上不同的两个点，
∴随的增大而增大，
∴，
∴．
故选D．
60．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
【答案】D
【解析】根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意．
故选D．
61．已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）．
【答案】
【解析】∵一次函数中，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
62．探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质．
(1)①完成下面列表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 …
②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线；
(2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______；
②当时，x的取值范围是______．
【解析】（1）解：①完成下面列表：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 2 3 2 1 0 …
②函数图象如图所示：
（2）解：①根据图象得：时，函数的最大值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是；
②根据图象结合表格得：当时，x的取值范围是．
题型十 一次函数的规律性探究
63．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，
∴，，，（n为自然数），
∵，
点的坐标为，即．
故选C．
64．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去，
∴与横坐标相同，与纵坐标相同，
∴当时，，
∴，
∴当时，，
，
同理可得：，，，，…
∴的横坐标为，
当时，，
∴点的横坐标．
故选C．
65．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，有，解得，
，
四边形是正方形，
，
当时，解得，
∴，
同理可得出：，，，
对应的点，．，，
，，
点的坐标为．
故选B．
66．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ．
【答案】
【解析】点坐标为，
，
过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为，
点与点关于直线对称，
，
，
点的坐标为，的坐标为，
点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为，
以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，．
的坐标，，
故答案为：，．
67．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作轴于，
将代入直线解析式中得，
，，
，
，
，
，
的坐标为，
同理可以求出的坐标为，
同理可以求出的坐标为，
同理可以求出的坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
题型十一 一次函数的实际应用问题
68．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
【解析】（1）
解：方案一：，
方案二：．
（2）解：如图．
（3）解：由题意得：，
得，，
解得，
由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；
当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；
当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
69．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元．
甲（万美元/台） 乙（万美元/台）
A型医疗器材 0.7 1
B型医疗器材 0.8 0.9
(1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．
(2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元．
【解析】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得：
，
解得：，
答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材．
（2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台，
∴，
整理得：，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元．
70．如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：
(1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时．
(2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式．
(3)问乙船出发多长时间赶上甲船？
【解析】（1）解：由图象知，甲船出发2小时后乙船才出发；
甲船的速度为：千米/小时，乙船的速度为：千米/小时，
故答案为：2，；
（2）解：设表示甲船行驶过程的解析式为，
将点代入得，，
∴甲船行驶过程的函数解析式为：，
设表示乙船行驶过程的解析式为：，将代入得，
，
解得：
∴乙船行驶过程的解析式为：；
（3）解：设乙船出发小时赶上甲船，
，
得，
答：乙船出发小时赶上甲船．
71．如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求点和点的坐标；
(2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标；
【解析】（1）将代入得，
，
解得，
∴点坐标为．
将代入得，
，
∴点坐标为．
（2）由，得，
，
又∵的面积为，
则，
解得，
当时，
；
当时，
；
∴点的坐标为或．
72．我国传统的计重工具 秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 2
(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来．
(2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤；
(3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x的函数关系式；
②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
【解析】（1）解：把表中数据描点如下：
观察图象可知：由于y是x的一次函数，没有位于直线上，
∴，，即这组数据错误．
（2）解：根据表中数据当时，，当时，，由此可得：
当x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了（斤）．
故答案为：；
（3）解：①∵y是x的一次函数，
∴设y与x的函数关系式为，
根据表中数据有当时，，当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为．
②当时，，
解得．
∴秤钩所挂物重是斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米．
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