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期中复习专项02 实数12大题型
题型一 无理数的定义与判定
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. 是有理数，故本选项不符合题意；
B. 是无理数，本选项符合题意；
C. ，是有理数，故本选项不符合题意；
D. ，是有理数，故本选项不符合题意．
故选B．
2．在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中，
无理数有：，， （相邻两个2之间0的个数逐次加1），共3个．
故选C．
3．下列六个数：，0，0.080080008，，，，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】无理数有：，，，共3个，
故选C．
4．若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【解析】由题意得，，
∴，
∴，
故选B．
5．下列各数：，，0，，，，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵，两个是无理数；
故选B．
6．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】由正方形的面积公式可得：．
①，是无理数，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，故可用数轴上的一个点来表示，②正确；
③，故③错误；
④是18的算术平方根，故④正确．
所有正确说法的序号是①②④．
故选C．
7．下列是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A中、是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
B中、是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意；
C中、是无理数，故本选项符合题意；
D中、是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
故选C．
8．在实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】无理数有、、，共3个，
故选D．
题型二 利用算术平方根的非负性解题
9．已知．则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
∴，
∴，
∴；
故选C．
10．若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2022
【答案】A
【解析】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
故选A．
11．已知a， b， c满足则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C
12．已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵x，y满足，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故选D．
13．若，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选B．
14．若，则 ．
【答案】1
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
15．已知，都是实数，且满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】，
，，
，，
．
故答案为：
16．已知x，y满足，求的平方根．
【解析】∵，
∴，
解得，，
∴的平方根为，
∴的平方根为．
题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分
17．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
18．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【解析】的算术平方根是5，
，
解得：．
∵的平方根是，
，
解得：．
是的整数部分，而，
，
，
的平方根为．
19．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积______；边长______．
（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
【解析】（1）面积为，
边长为：；
故答案为：10；；
（2）正方形如图所示，
面积为，
边长为：；
，
该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为．
故答案为：；2；
20．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【解析】由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【解析】∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为，即
∵，即，
∴的整数部分为4，即b=4．
∴，
即的值是1．
题型四 与算术平方根有关的规律探索题
22．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】第1行的最后一个数是，
第2行的最后一个数是，
第3行的最后一个数是，
……
第8行最后一个数字为，
∴第8行倒数第三个数是，
故选C．
23．借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
．
故选D．
24．如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位
C．向左移动一位 D．向左移动两位
【答案】A
【解析】如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位；
故选A．
25．如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∵且，
∴，
∵且，
∴，
∵且，
∴，
……
∴（为大于的自然数）．
故选C．
26．已知：，，，根据此规律 ．
【答案】
【解析】根据题意，可得．
故答案为：．
27．按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
【解析】（1），，，，
填表如下：
a
（2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍，
，；
，
，
∵，
．
故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．
28．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______；
(2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______；
(3)已，，，则______，______．
【解析】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍；
（2）解：∵（精确到），
∴；；
（3）解：∵
∴；；
题型五 求一个数或代数式的平方根
29．下列各等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A. ，故选项正确，符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选A
30．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选C．
31．若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
32．已知a的平方根为，的算术平方根为2．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
【解析】（1）∵a的平方根为，
∴，
∵的算术平方根为2
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴的平方根为．
33．请认真观察下列等式：
；；
并解决下列问题：
(1)填空：①______；
②已知，则______；
(2)计算：①已知，求的值；
②已知，求的值．
【解析】（1）解：①
；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①4；②；
（2）①已知，，
则两边同时除以，可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，舍去；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴．
∴．
34．数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题：
(1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________．
(2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值．
【解析】（1）解：大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，四个小长方形的面积为：，
因此有，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
，
．
35．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【解析】由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
36．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
【解析】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
题型六 利用平方根解方程及其它应用
37．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米
【答案】C
【解析】设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，
依题意得：，
即
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴需要延长边长4米．
故选C
38．满足方程中的x的值为 ．
【答案】
【解析】，
∴，
∴，
故答案为：．
39．如果一个正数的两个平方根为，，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得，，
∴，
故答案为：．
40．一个正数的平方根是和，那么这个数是 ．
【答案】49
【解析】一个正数的平方根是和，
，
解得：，
，
那么这个数是，
故答案为：49．
41．解方程
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：
，
，
解得：；
（2）
或
解得：或．
42．解方程：
【解析】
，．
43．对于任意实数来说，都有“”，这个结论在数学里非常有用，有时我们需要利用配方法将代数式配方成完全平方式．
例如：．
，
，即．
(1)填空．
，
当_____时，代数式有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_____；
(2)若代数式有最小值为，求的值．
【解析】（1）解：，
当时，代数式有最小值，这个最值为，
故答案为：，，，小，；
（2）
，且原式有最小值为，
，
即，
，
，
，
或，
的值为或．
44．阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
和为相邻的两个整数，．
等式两边同时平方，得：．
__________得：________________________________．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则______．
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
【解析】（1）解：和为相邻的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
移项得：．
故答案为：移项；；
（2）解：和为两个相邻整数，
由（1）的结论可知：，
，
．
故答案为：25；
（3）解：和为相差4的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
，
．
题型七 立方根的综合应用
45．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设小美制作的正方体礼盒的棱长为，
根据题意，可得，
∴，
∴小美制作的正方体礼盒的棱长为，
∴小美制作的正方体礼盒的体积为，
∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为，
设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，
∴，
∴，
∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，
∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为．
故选B．
46．地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设地球仪的半径为，
则，
那么，
，
由表格数据可得，
则，
即它的半径约为，
故选B．
47．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
【答案】
【解析】∵是49的算术平方根，
，
解得，
的立方根是，
，
解得：．
当，时，，
∴的立方根是，
故答案为：．
48．若，， ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：．
49．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：
∴；
（2）
∴．
50．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根．
（2）若x，y都是实数，且，求的立方根．
【解析】（1）的平方根是，的算术平方根是4，
，，
，，
，
的算术平方根为5；
（2）由可知，，
，，
，
的立方根为3．
51．（1）计算：；
（2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根．
【解析】（1）
；
（2）根据题意得：，，
，，
，，
，
的平方根为．
题型八 估算
52．估算值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴值是在6和7之间，
故选D
53．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一个边长为的正方形的面积为30，
，
，
，
故选C．
54．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵是一个无理数，且，
∴，
∴可以取．
故答案为：（答案不唯一）．
55．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ．
【答案】5
【解析】∵，
∴的小数部分是．
∵的小数部分与的小数部分相同，
∴．
∵的小数部分与的小数部分相同，
∴，
∴
．
故答案为：5．
56．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【解析】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为，小数部分为，
故答案为：；
（2）解：∵，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵的整数部分为，
∴，
∵是整数，，且，
∴，
∴，
∴的相反数为．
57．（1）若多项式中不含项，求的值．
（2）若的小数部分是，若的小数部分是，求的平方根．
【解析】（1），
由于多项式不含项，故，解得：．
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
58．已知实数，，满足．
(1)求，，的值；
(2)求的整数部分．
【解析】（1）解：，
，，，
解得：，，；
（2）由（1）知，，，，
，
，
，
，
，
的整数部分为．
59．【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
【解析】（1）解：，即，
的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）解：，
即，
的小数部分，
，
即，
的整数部分，
；
（3）解：，
，
即，
的整数部分是10，小数部分是，
是整数，且，
，
，
的相反数是．
题型九 实数及其混合运算
60．的相反数是 ；的算术平方根为 ．
【答案】 3
【解析】的相反数是；
因为，
所以的算术平方根为．
故答案为：，3．
61．比较大小： （填“”“”“”）
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴
故答案为：．
62．实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式
【答案】
【解析】由图可知：
．
63．在数轴上表示下列各数：，再用“<”号把它们连接起来．
【解析】，，
在数轴上表示下列各数，如图：
由图知，．
64．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式的值：
①；
②．
【解析】（1）①
②
（2）①∵
∴
∴或
②∵
∴
∴
∴
65．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为1，即，
∴的小数部分为，即；
（2）解：∵，，
∴
，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
66．计算：
【解析】原式
．
题型十 实数运算的相关题型
67．的相反数是 ；的算术平方根为 ．
【答案】 3
【解析】的相反数是；
因为，
所以的算术平方根为．
故答案为：，3．
68．比较大小： （填“”“”“”）
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴
故答案为：．
69．实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式
【答案】
【解析】由图可知：
．
70．在数轴上表示下列各数：，再用“<”号把它们连接起来．
【解析】，，
在数轴上表示下列各数，如图：
由图知，．
71．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式的值：
①；
②．
【解析】（1）①
②
（2）①∵
∴
∴或
②∵
∴
∴
∴
72．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为1，即，
∴的小数部分为，即；
（2）解：∵，，
∴
，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
73．计算：
【解析】原式
．
题型十一 二次根式的性质化简及混合运算
74．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】，
∵是整数，
∴是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数n为6，
故选B.
75．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，
解得：，
故选A．
76．当时，的值是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：．
77．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【解析】∵是二次根式，
∴，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
联立①②解得，
∴，
故答案为：1．
78．若a、b满足，则 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
79．已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简 ．
【答案】
【解析】由数轴可得，，，
∴，，，
∴原式，
故答案为：．
80．化简： ．
【答案】1
【解析】
81．计算：① ．② ．
【答案】
【解析】①，
②，
故答案为：，．
82．计算下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型十二 二次根式的应用
83．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、的被开方数含有开的尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，本选项符合题意；
故选D．
84．根式中，与是同类二次根式的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】，，，，，
∴与是同类二次根的有，共1个，
故选A．
85．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ．
【答案】7
【解析】由题意，得
，
解得，
故答案为：7
86．比较大小：
（1） 8；
（2） ．
【解析】（1），
，
∴，∴，故答案为：；
（2），
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
87．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则：
（海伦公式）；
（秦九韶公式）．
计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ．
【答案】
【解析】∵，
∴若一个三角形的三边长分别为，
则面积是：，
故答案为：．
88．计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
89．阅读下面计算过程．
；
；
．
请解快下列问题
(1)根据上面的规律，请直接写出______；
(2)利用上面的解法，请化简：
．
(3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
【解析】（1）解： ；
故答案为；
（2）解：
；
（3）解：；
故答案为：．
90．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
(1)化简M；
(2)当，时，求M的值．
【解析】（1）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴
；
（2）解：当，时，原式．
91．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
(1)若，请将a进行分母有理化；
(2)在（1）的条件下，求的值．
【解析】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
92．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号）
(1)求原正方形纸片的边长．
(2)求这个长方体盒子的体积．
【解析】（1）解：正方形的边长为，，
剪掉小正方形的边长为，
所以，长方体盒子的底面边长为．
（2）长方体盒子的体积为．
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期中复习专项02 实数12大题型
题型一 无理数的定义与判定
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列六个数：，0，0.080080008，，，，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
5．下列各数：，，0，，，，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④
7．下列是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．在实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二 利用算术平方根的非负性解题
9．已知．则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
10．若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2022
11．已知a， b， c满足则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
13．若，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
14．若，则 ．
15．已知，都是实数，且满足，则代数式的值为 ．
16．已知x，y满足，求的平方根．
题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分
17．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
18．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
19．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积______；边长______．
（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
20．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
题型四 与算术平方根有关的规律探索题
22．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
23．借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（ ）
A． B． C． D．
24．如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位
C．向左移动一位 D．向左移动两位
25．如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（ ）
A． B． C． D．
26．已知：，，，根据此规律 ．
27．按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
28．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______；
(2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______；
(3)已，，，则______，______．
题型五 求一个数或代数式的平方根
29．下列各等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
31．若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
32．已知a的平方根为，的算术平方根为2．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
33．请认真观察下列等式：
；；
并解决下列问题：
(1)填空：①______；
②已知，则______；
(2)计算：①已知，求的值；
②已知，求的值．
34．数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题：
(1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________．
(2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值．
．
35．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
36．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
题型六 利用平方根解方程及其它应用
37．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米
38．满足方程中的x的值为 ．
39．如果一个正数的两个平方根为，，则 ．
40．一个正数的平方根是和，那么这个数是 ．
41．解方程
(1)；
(2)．
42．解方程：
43．对于任意实数来说，都有“”，这个结论在数学里非常有用，有时我们需要利用配方法将代数式配方成完全平方式．
例如：．
，
，即．
(1)填空．
，
当_____时，代数式有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_____；
(2)若代数式有最小值为，求的值．
44．阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
和为相邻的两个整数，．
等式两边同时平方，得：．
__________得：________________________________．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则______．
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
题型七 立方根的综合应用
45．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
46．地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
47．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
48．若，， ．
49．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
50．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根．
（2）若x，y都是实数，且，求的立方根．
51．（1）计算：；
（2）已知a的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根．
题型八 估算
52．估算值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
53．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ．
55．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ．
56．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
57．（1）若多项式中不含项，求的值．
（2）若的小数部分是，若的小数部分是，求的平方根．
58．已知实数，，满足．
(1)求，，的值；
(2)求的整数部分．
59．【阅读资料】
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
题型九 实数及其混合运算
60．的相反数是 ；的算术平方根为 ．
61．比较大小： （填“”“”“”）
62．实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式
63．在数轴上表示下列各数：，再用“<”号把它们连接起来．
64．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式的值：
①；
②．
65．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
66．计算：
题型十 实数运算的相关题型
67．的相反数是 ；的算术平方根为 ．
68．比较大小： （填“”“”“”）
69．实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式
70．在数轴上表示下列各数：，再用“<”号把它们连接起来．
71．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式的值：
①；
②．
72．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
73．计算：
题型十一 二次根式的性质化简及混合运算
74．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
75．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
76．当时，的值是 ．
77．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
78．若a、b满足，则 ．
79．已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简 ．
80．化简： ．
81．计算：① ．② ．
82．计算下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型十二 二次根式的应用
83．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
84．根式中，与是同类二次根式的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
85．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ．
86．比较大小：
（1） 8；
（2） ．
87．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则：
（海伦公式）；
（秦九韶公式）．
计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ．
88．计算：
(1)；
(2)．
89．阅读下面计算过程．
；
；
．
请解快下列问题
(1)根据上面的规律，请直接写出______；
(2)利用上面的解法，请化简：
．
(3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
90．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
(1)化简M；
(2)当，时，求M的值．
91．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
(1)若，请将a进行分母有理化；
(2)在（1）的条件下，求的值．
92．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号）
(1)求原正方形纸片的边长．
(2)求这个长方体盒子的体积．
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