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期中复习专项01 勾股定理10大题型
题型一 已知两点坐标求两点距离
1．在平面直角坐标系中．已知点点．点P在x轴上，且为等腰三角形，则P点有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如果在直角坐标平面内有点、，点C在y轴上，如果，那么点C的坐标是 ．
4．已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______；
(2)已知点，，试求A，B两点间的距离．
5．（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求的最小值；
（3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．
6．已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点、，试求、两点间的距离；
(2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离．
7．阅读下列材料，并完成相应的任务．
【读】：坐标系中两点间的距离公式：
如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．
【思】：例如：若点，则．
【悟】：完成任务
（1）若坐标平面内有两点，则________．
（2）若坐标平面内有两点，求A、B两点间的距离．
【省】：迁移应用
若坐标平面内有点，点B在y轴上，且A、B两点间的距离是5，请直接写出点B的坐标．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
11．如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是64，100，则正方形A的边长为
12．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
13．陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究．
(1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积．
(2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值．
题型三 勾股定理与网格问题
14．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
(1)在第（1）图中：
①作的高；
②直接写出线段的长为________．
(2)在第（2）图中：
①找一格点D使且；
②连接，在上画出一点F，连，使将四边形的面积平分．
17．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上．
（1）图中与线段的长相等的线段是 ；
（2） ．
18．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
【操作发现】小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了的面积．
（1）在图1中，小颖所画的的三边长的平方分别是 ， ， ，的面积为 ；
【解决问题】
（2）已知在中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 ，并直接写出 的面积．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．(要求用无刻度直尺画图，不需要写画法)
(1)在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10；
(2)在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为，， ，并计算边上的高为 ；(直接写出计算结果)
(3)若三角形有两条边分别为，面积为3.5，请直接写出第三边的长度．
20．操作与探究
(1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程；
(2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：．
题型四 勾股定理与折叠问题
21．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ）
A．7 B． C． D．15
24．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ．
25．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ．
26．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ．
27．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处．
(1)求的长度．
(2)求的长度．
题型五 利用勾股定理证明线段平方关系
28．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③
29．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ．
30．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
31．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
32．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
题型六 勾股定理的证明方法
33．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
34．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
35．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
36．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么．
(1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________．
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明．
37．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)请叙述勾股定理；
勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
(2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示
则：______；
38．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理．
题型七 用勾股定理构造图形解决问题
39．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
40．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③：
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值．
41．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
42．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4．
(1)请作出使和最小的点P．
(2)请求出最小值．
43．麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？
44．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）．
题型八 勾股定理求最短路径
45．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
46．如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ）
A． B． C． D．
47．今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ．
48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
49．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
50．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．
(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．
(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的
（A）（B） （C） （D）
这样的最短路径有 条．
(3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明）
题型十 勾股定理的应用
51．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
52．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
53．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米．
55．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．
56．如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
57．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
58．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传．
(1)求的度数．
(2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由．
(3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？
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期中复习专项01 勾股定理10大题型
题型一 已知两点坐标求两点距离
1．在平面直角坐标系中．已知点点．点P在x轴上，且为等腰三角形，则P点有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】设点P的坐标为，
则，，，
当时，，即，即，则或，
∴点P的坐标为或，
当时，，即，即，则或，
∴点P的坐标为或，
当时，，即，则
∴点P的坐标为，
综上可知，点P的坐标为或或或或，共5个，
故选D
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标是．
故选A
3．如果在直角坐标平面内有点、，点C在y轴上，如果，那么点C的坐标是 ．
【答案】
【解析】设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点C的坐标是，
故答案为：．
4．已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______；
(2)已知点，，试求A，B两点间的距离．
【解析】（1）解：∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或．
（2）解：，
即A，B两点间的距离为13．
5．（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求的最小值；
（3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．
【解析】解：，
中点C的坐标为：即；
解：设，
，
作点关于轴对称点，
，
连接，则，
；
解：，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形．
6．已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点、，试求、两点间的距离；
(2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离．
【解析】（1）解：，
答：、两点间的距离为13；
（2）解：点在第一三象限角平分线上，
，
解得：，
，
轴，
，
答：、两点间的距离为6．
7．阅读下列材料，并完成相应的任务．
【读】：坐标系中两点间的距离公式：
如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．
【思】：例如：若点，则．
【悟】：完成任务
（1）若坐标平面内有两点，则________．
（2）若坐标平面内有两点，求A、B两点间的距离．
【省】：迁移应用
若坐标平面内有点，点B在y轴上，且A、B两点间的距离是5，请直接写出点B的坐标．
【解析】（1）由两点间距离公式得：
故答案为：5
（2）∵坐标平面内有两点，
∴．
即A、B两点间的距离为．
迁移应用：
设点B的坐标为，
由两点间距离公式得：，
解得：
∴点B的坐标为或．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，第一个正方形的边长为2，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴第二个正方形的边长为，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴第三个正方形的边长为，
∴，
同理可得，第四个正方形的边长为，
∴，
，
∴第n个正方形的边长为，
∴，
∴，
故选B．
9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【解析】由题意得，正方形E的面积为：，
则正方形D的面积．
故选D．
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
【答案】72
【解析】根据勾股定理和正方形的性质可知，
，
，
，
，
正方形A、B、C、D、E、F的面积之；
故答案为：72．
11．如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是64，100，则正方形A的边长为
【答案】6
【解析】正方形A的面积+正方形的面积=正方形的面积，
正方形A的面积=正方形的面积正方形的面积，
正方形的边长等于6，
故答案为：6
12．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
【答案】10
【解析】如图所示，
在和中，
，
，
，，
，
同理可证，
．
故答案为：10．
13．陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究．
(1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积．
(2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值．
【解析】（1）解：设，，由题意，得：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴飞镖状图案的面积为；
（2）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：，
由题意，得：，，，
∴
，
∴．
题型三 勾股定理与网格问题
14．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，
故选C．
15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选D．
16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
(1)在第（1）图中：
①作的高；
②直接写出线段的长为________．
(2)在第（2）图中：
①找一格点D使且；
②连接，在上画出一点F，连，使将四边形的面积平分．
【解析】（1）解：①如图1，线段为所求；
证明：取网格点M、N、P，连接，如图，
结合网格易得：
，即有，
∵，
∴，
∴在中，，即，符合要求；
②，
，
；
（2）解：①如图2，点为所求；
②如图2，点为所求．
①证明：结合网格图和勾股定理，可得，，
即，，
即是直角三角形，，
即有：，，即D点满足要求；
②证明：由割补法，可求得的面积为，
根据，则的面积，
∴与的面积相等，
根据网格作图可知，线段的中点为，
∴，
∴，
则线段平分四边形的面积．
17．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上．
（1）图中与线段的长相等的线段是 ；
（2） ．
【解析】（1）由图可知： ，，
∴与线段的长相等的线段是，
故答案为：
（2）
由图可知：
，
∴，
∴，
故答案为：
18．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
【操作发现】小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了的面积．
（1）在图1中，小颖所画的的三边长的平方分别是 ， ， ，的面积为 ；
【解决问题】
（2）已知在中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 ，并直接写出 的面积．
【解析】（1）由勾股定理得：
，，，
，
故答案为：25，17，10，，
（2）作如图所示：
．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．(要求用无刻度直尺画图，不需要写画法)
(1)在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10；
(2)在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为，， ，并计算边上的高为 ；(直接写出计算结果)
(3)若三角形有两条边分别为，面积为3.5，请直接写出第三边的长度．
【解析】（1）解：根据题意可知小正方形的边长为，如图，
（2）
∵，，，
∴，解得，
则边上的高为1；
（3）
∵，
∴(舍去)，
， (舍去)，
则．
那么，第三边的长．
20．操作与探究
(1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程；
(2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：．
【解析】（1）解：如图所示建立完整的四边形：
则：；
；
；
（2）解：以边建立正方形，割补出以下图形，则此时，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型四 勾股定理与折叠问题
21．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，，，，
由勾股定理可得，
将边沿翻折，使点落在上的点处，
，，
，
，
，
在中，，
将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
故选B．
22．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是长方形，
∴，，，
由翻折得，，，
∴，
又∵
∴
∴，，
设，则
在中，，，
∴，
∴重叠部分的面积为，
故选∶．
23．如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ）
A．7 B． C． D．15
【答案】B
【解析】根据题意得：，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
故选B．
24．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ．
【答案】3或
【解析】∵点落在边的三等分点处，，
∴或，
由折叠可知：，
∴，
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
综上所述：的长为3或；
故答案为3或．
25．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】如图①，连接，，，
∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，
∴垂直平分，，，
∴，，
设，则，
在和中，
∴，
即，
解得．
故线段的长为．
故答案为：．
26．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由折叠的性质，可知：，，，．
∵长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
设则
在中，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
27．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处．
(1)求的长度．
(2)求的长度．
【解析】（1）解：∵长方形，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长度为；
（2）解：由折叠的性质可知，，，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长度为．
题型五 利用勾股定理证明线段平方关系
28．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【解析】，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
由①中证明，
，
，，
，
，
连接，
，
，
，，
，
故②正确；
设与的交点为，
，，
，，
，
故③正确；
，，
，
故④不正确，
故选A．
29．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ．
【答案】625
【解析】由题意得：，
由勾股定理得，
故答案为：625．
30．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【解析】（1）解：∵与都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案为： ，
（2）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
31．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【解析】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
32．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【解析】（1）解：，
∵中，，
∴，
将沿折叠，得，连接
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，有，即．
（2）解：结论不变，
作，且截取，连接，连接，
∵
，
∴，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
在 中，，即．
题型六 勾股定理的证明方法
33．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选A．
34．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故该选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
故该选项不能证明勾股定理；
D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
故选C．
35．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【解析】大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，
，，
，
，
，
，
（负值舍去），
故选A．
36．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么．
(1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________．
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明．
【解析】（1）解：∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴该直角三角形的面积为；
故答案为5；；
（2）解：由图可知：
，
整理得：．
37．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)请叙述勾股定理；
勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
(2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示
则：______；
【解析】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）解：①根据题意，如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：
38．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理．
【解析】证明：
，，
，
即．
题型七 用勾股定理构造图形解决问题
39．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【答案】B
【解析】如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，由勾股定理得到：（米）,
故选B．
40．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③：
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值．
【解析】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：
，
图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：
，
故答案为：，．
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：；
，即，
所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：；
故答案为：，；
（3）解：由图知，
，， ，
，
，
，
，
解得．
41．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
【解析】这辆货车不能通过这个大门，理由如下：
如图，设与矩形的宽的交点为E，
，
，
∴，
∴这辆货车不能通过这个大门．
42．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4．
(1)请作出使和最小的点P．
(2)请求出最小值．
【解析】（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
（2）解：由（1），
∴，
过点B作于点C，设与直线交于点O，
则，
∴，
∴，
∴最小值．
43．麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？
【解析】设的长度为，
∵，
∴，
∴；
由题意知，则在中，
有，
∴，
解得：，
，
∴．
答：这棵树高有6米．
44．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）．
【解析】如图，过点D作于点E．
设寸，
则寸，寸，寸．
在中，，即，
解得寸，
寸．
答：门宽是101寸．
题型八 勾股定理求最短路径
45．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上，
则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度，
依题意，，
此时．
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故选C．
46．如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆柱侧面展开如图所示，
此时蚂蚁爬行的最小长度为，
∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
则，
即：这只蚂蚁爬行的最小长度为．
故选D．
47．今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ．
【答案】
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，，
根据题意，可知，，
∴，
∴装饰带长度的最短值．
故答案为：．
48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
【答案】
【解析】长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，．
在中，，
∴；
故答案为：
49．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
【答案】26
【解析】依题意，如图，
根据题意可得：展开图中的，．
在中，，
∴，
即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是．
故答案为：26．
50．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．
(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．
(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的
（A）（B） （C） （D）
这样的最短路径有 条．
(3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明）
【解析】（1）解：沿线段爬行；理由如下：
如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可；
（2）解：如图所示：
最短路径的长度为，
，即，
如图所示：
∴路线有6条，
故选D；6；
（3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下：
如图2.1和图2.2所示作图，分别连接，
图2.1中；
图2.2中；
，
图2.2中的路径最短．
题型十 勾股定理的应用
51．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵
∴
∵树高8米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选A．
52．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设折断处离地面的高度为x尺，则，，
在中，，
即．
故选D．
53．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，当筷子直立在水杯中时，；
当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且
∴，
∴筷子露在外面的部分的长度为，
∴的取值范围为：，
故选B ．
54．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米．
【答案】5
【解析】由题意，在中，，，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故滑杆顶端A下滑5米，
故答案为：5．
55．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．
【答案】
【解析】由题意知，，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴绳索的长为．
56．如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【解析】在中：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：船向岸边移动了米．
57．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【解析】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．
由题意得，米，米，，
由勾股定理得米，米，
∴米．
∵ (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
58．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传．
(1)求的度数．
(2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由．
(3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？
【解析】（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下：
如图所示，过点C作于D，
∵，
∴，
∵，
∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到；
（3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∴，
∵分，
∴村庄C一共能听到分钟的宣传．
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