12.3 角的平分线的性质 同步练习（含解析） 人教版数学八年级上册

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12.3角的平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰直角△ABC中，B＝90°，以点A为圆心任意长为半径画弧，与AB，AC分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点P，且点P刚好落在边BC上，AB＝10cm，下列说法中：
①AB＝AD；②AP平分∠BAC；③△PDC的周长是；④AN＝ND；
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长( )
A．12 B．10 C．6 D．4
4．如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
5．已知，点P 是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为， 则点P 到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是的平分线，点E是上任意一点．若，则的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
7．如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（ ）．

A． B． C． D．
8．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
9．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB= 10cm，AC=BC= 7cm，则△DBE的周长等于（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm
10．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B点为圆心适当长为半径画弧交AB于M，交BC于N，分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF交AC于D，．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（　　）

A．30 B．24 C．15 D．10
12．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，AB＝8cm，BC＝6cm，则△ABC的面积（ ）cm2．
A．17 B．21 C．42 D．52
二、填空题
13．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=10，BD=8，则点D到AB的距离为 ．
14．点在第四象限的角平分线上，则点的坐标为 ．
15．如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．

16．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥BC,垂足为E，若AB=16，BC=12，DE=6，则△ABC的面积为 ．
17．如图，在△ABC中，，平分交于点D，若，则点D到边的距离的长为 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
(1)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
(2)试证明旋转过程中，△MNO的边MN 的高为定值；
(3)折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化， 说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
19．如图，点在的边的延长线上，请用尺规作图法作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

20．如图，已知，，于M，于N，求证：
21．如图（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如图（2），平分，，，求证：．
②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分．
22．（1）完成下面的证明.
如图，在四边形中，，是的平分线.求证：.
证明：是的平分线（已知）
__________________（角平分线的定义）
又（已知）
__________________（等量代换）
（____________________________）
（2）已知线段，是的中点，在直线上，且，画图并计算的长.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D D C B B A B
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】根据角平分线做法得出AP平分∠BAC，进而结合全等三角形的判定与性质以及结合等腰直角三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】解：由题意可得：AP平分∠BAC，则
在△ABP和△ADP中
∵，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB＝AD，故①正确；
由角平分线的做法可得②AP平分∠BAC，故此选项正确；
∵等腰直角△ABC，
∴∠C＝45°，则△PDC是等腰直角三角形，
∴DP＝DC＝DP，
∴③△PDC的周长是：，故此选项正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，根据角平分线的作法得出AP是∠BAC的平分线是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选D．
3．C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∵，△ABD的面积为60，
∴，
解得：DE=6，
∴CD=6．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．D
【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
D、无法判定，错误；
故选D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．D
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点P分别作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P分别作于D，于E，于F，如图，
∵点P是的内角平分线的交点，，，
∴，
又的周长为，面积为，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是角平分线性质，关键是掌握垂线段最短，根据角平分线的性质即可得到结果．
【详解】解：∵点E是上任意一点，
∴当时，的值最小，
∵是的平分线，，
∴当时，的最小值，
故选：C．
7．B
【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，

∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
即有：，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积的应用，解此题的关键是求出长和面积．
8．B
【分析】根据对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. 对顶角相等，是真命题，
B. 同旁内角互补，是假命题，
C. 全等三角形的对应边相等，是真命题
D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题．
故选B．
【点睛】本题主要考查真假命题，掌握对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理，是解题的关键．
9．A
【详解】试题分析：根据角平分线的性质可得：CD=DE，AE=AC=7cm，则BE=10-7=3cm，则△DEB的周成=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=7+3=10cm.
考点：角平分线的性质
10．B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
11．C
【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E，
根据作图过程可知：
BF是∠ABC的平分线，
∵∠C＝90，
∴DC⊥BC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝AB DE＝15．
故选：C．

【点睛】本题考查了作图 基本作图，解决本题的关键是利用角平分线的性质．
12．B
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可知DE=DF，则根据S△ABC=S△ABD+ S△BCD，即可得出结论．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=3cm，
∴DE=DF=3cm，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB DE+BC DF
=×8×3+×6×3
=12+9
=21．
故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
13．2
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE=CD=BC-BD=10-8=2，即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E．
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵BD=8，BC=10，
∴DE=CD=BC-BD=10-8=2，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．
【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系的性质，根据点在第四象限，则，根据点在第四象限的角平分线上，则，解出，即可．
【详解】∵点在第四象限，
∴，
∵点在第四象限的角平分线上，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论；过点D作于H，于N，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点Q在点H的右侧时，证明，则有；点在点H左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可．
【详解】解；如图，过点D作于H，于N，

∵平分，
∴，
当点Q在点H的右侧时，
在和中，
，
∴，
∴，
当点在点H左侧时，同理可求，
∴，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
16．84
【详解】过点D作DF⊥AB,根据线段垂直平分线的性质可得:DE=DF=6,然后根据三角形面积公式进行计算可得:,,所以,故答案为:84.
17．3
【分析】根据角平分线的性质可得：；
【详解】解：∵平分，，
∴，
即点D到边的距离的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，准确理解角平分线的性质是解题关键．
18．（1）22.5°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题；
如图 2中，过点O作 OF⊥MN 于 F，延长BA交 y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题；
（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．
【详解】（1）如图1中，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°，
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∴AM=CN，
在△OAM与△OCN中，
，
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=∠CON=22.50，
∴MN∥AC时，旋转角为22.50；
（2）如图2中，过点O作OF⊥MN 于F，延长BA交y轴与E点，
则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM，
∴∠AOE=∠CON，
在△OAE与△OCN中，
，
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN，
在△OME与△OMN中，
，
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴∠OME=∠OMN，
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OA=OF=2，
∴在旋转过程中，高为定值；
（3）旋转过程中，p值不变化，
理由：∵△OME≌△OMN，
∴ME=MN，
∵AE=CN，
∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4，
∴△MBN的周长p为定值．
【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 判定三角形全等是关键，属于中考常考题型．
19．见解析
【分析】以点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交与点，然后分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，射线即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．

【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线，熟练掌握作角平分线的方法和步骤是解题关键．
20．见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明，因为于M，于N，所以只要证明，可以通过证明来实现．
【详解】证明：连接，
，，，
，
于M，于N，
．
21．①见解析；②见解析
【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△DMB即可；
②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图2，
∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DM=DN，
∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠B=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，
∴△DNC≌△DMB，
∴DC=DB；
②过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图3，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，
∴△DNC≌△DMB，
∴DM=DN，
∵DN⊥AC，DM⊥AB，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
22．（1）详见解析；（2）的长为或.
【分析】（1）依据角平分线的的定义，即可推理得出∠2=∠3，进而判定DC∥AB．
（2）此题需要分类讨论，①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB的延长线上时，分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】解：（1）平分（已知）
.（角平分线的定义）
（已知）
. （等量代换）
.（内错角相等，两直线平行）
故答案为1，3，2，3，内错角相等，两直线平行；
（2），是的中点
①当点D在线段AB上时，CD=CB-DB=6-2=4cm；
②当点D在线段AB的延长线上时，CD=CB+BD=6+2=8cm；
综上所述，CD的长为4cm或8cm．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、两点间的距离，解答本题的关键是分类讨论点D的位置，注意不要遗漏．
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