浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷B （含解析）

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浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷B
满分：120分 范围：第1-4章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数一定是二次函数的是（　　）
A． B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x+1
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．在足球赛中，弱队战胜强队 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡 D．6月1日是儿童节
3．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.8，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．P在圆内 B．P在圆外 C．P在圆上 D．无法确定
4．a、b、c、d是成比例线段，其中a＝6cm，b＝3cm，c＝4cm，则线段d的长可能为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 400 800 1000
“射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850
“射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）
A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87
6．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　）
A． B． C． D．7
7．把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2
C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2
8．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
9．如图，在平面直角坐标系中，△DEF与△ABC位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点A（2，4），则其对应点D的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连结AC，E，F分别在边AD，CD上，连结BE，BF分别交AC于点M，N，若∠EBF＝45°，CF＝2，则下列结论中：①∠BEA+∠BFC＝135°；②CA⊥BF；③；④．结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝（x﹣2）2的顶点坐标是　 　．
12．若，则＝　 　．
13．从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是 　 　．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为 　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论中：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③b＜﹣1；④；⑤（a+c）2＜b2．
正确的有 　 　（写出所有正确结论的序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F．AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米．EF＝0.55米，CD＝1.65米，求这棵树的高度（AB的长）．
18．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝　 　，b＝　 　，C类的圆心角为 　 　；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，且AB＝AD．
（1）求证：△FDB∽△ABC；
（2）求的值．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
21．（10分）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
22．（10分）某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件．
（1）若售价每提高x元，则日销售量为　 　件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是　 　．
（2）要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上是否存在一点M，使得MO+MA的值最小，若存在，请求出MO+MA的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
（4）如图3，若点E为抛物线的顶点，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷B
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数一定是二次函数的是（　　）
A． B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x+1
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可．
【解答】解：根据二次函数的定义得：A、C、D不是二次函数，B是二次函数，
故选：B．
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．在足球赛中，弱队战胜强队
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
D．6月1日是儿童节
【分析】根据一定会发生的事件是必然事件逐项判断即可得出答案，
【解答】解：A．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故此选项不符合题意；
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意，
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡是不可能事件，故此选项不符合题意，
D．6月1日是儿童节是必然事件，故此选项符合题意，
故选：D．
3．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.8，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．P在圆内 B．P在圆外 C．P在圆上 D．无法确定
【分析】通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外．
【解答】解：点P到圆心O的距离为4.8，⊙O的半径为4，
∵4.8＞4，
∴点P在圆外．
故选：B．
4．a、b、c、d是成比例线段，其中a＝6cm，b＝3cm，c＝4cm，则线段d的长可能为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，a＝6cm，b＝3cm，c＝4cm，
∴ad＝bc，
∴d＝＝＝2（cm）．
故选：A．
5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 400 800 1000
“射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850
“射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）
A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论．
【解答】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85，
则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85．
故选：B．
6．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　）
A． B． C． D．7
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，
∴，
即＝，
解得：，
故选：A．
7．把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2
C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2
【分析】按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【解答】解：由上加下减，左加右减的法则可知，抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故选：C．
8．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，△DEF与△ABC位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点A（2，4），则其对应点D的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C． D．
【分析】由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标．
【解答】解：∵△DEF与△ABC位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，点A（2，4），
∴2×＝1，4×＝2，
∴其对应点D的坐标为（1，2），
故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连结AC，E，F分别在边AD，CD上，连结BE，BF分别交AC于点M，N，若∠EBF＝45°，CF＝2，则下列结论中：①∠BEA+∠BFC＝135°；②CA⊥BF；③；④．结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形内角和定理得△ABE与△BCF两个三角形所有内角相加为360°，结合矩形性质：每个内角都为90° 即可判断①；利用勾股定理求出AE，利用矩形的性质证明△ABN∽△CFN，利用相似三 角形相似比即可求出BN，从而判断③；利用矩形的性质及已知条件，由△ABN∽△CFN，得到∠CBN＝∠BAC，进而说明∠BNC＝90°，从而判断②．然后证明∠BMN＝45°，得MN＝BN，再证明△AEM∽△BCM，即可求得AM，进而求得AE，从而判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠EBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠BEA+∠BFC＝135°，故①正确；
∵CF＝2，BC＝AD＝4，
在Rt△CBF中，根据勾股定理得：BF＝＝＝2，
∵CD∥AB，
∴△CFN∽△ABN，
∴＝，
∵AB＝CD＝8，FN＝BF﹣BN＝2﹣BN，
∴＝，
∴BN＝，故③正确；
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵＝，∠BCF＝∠ABC＝90°，
∴△BCF∽△ABC，
∴∠CBF＝∠BAC，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠ACB＝90°，
∴∠CNB＝90°，
∴CA⊥BF，故②正确；
∵∠EBF＝45°，
∴∠BMN＝45°，
∴MN＝BN＝，
∵∠CBF＝∠BAC，∠BNC＝∠ABC＝90°，
∴△BCN∽△ABC，
∴＝＝，
∴CN＝BN＝，
∴AM＝AC﹣MN﹣CN＝4﹣﹣＝，CM＝MN+CN＝，
∵AD∥BC，
∴△AME∽△CBM，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，故④错误，
∴结论正确的有①②③，共3个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝（x﹣2）2的顶点坐标是　（2，0）　．
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
【解答】解：因为抛物线y＝（x﹣2）2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（2，0）．
故答案为：（2，0）．
12．若，则＝　　．
【分析】设，得出a＝3k，b＝4k，c＝5k，将其代入，即可求解．
【解答】解：设，
∴a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴，
故答案为：．
13．从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是 　　．
【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【解答】解：1﹣9的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，
则抽到奇数的可能性是．
故答案为：．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为 　60°　．
【分析】连接OC，OD，OE，由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴，
故答案为：60°．
15．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为 　4cm2　．
【分析】，BE＝CE＝4cm，即得△DEF∽△BAF，所以，即可求出，再由DG：GC＝1：2可求得，由此即得答案．
【解答】解：如图所示，连接DE，
∵D、E分别为AC、BC中点，
∴DE∥AB，，，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴，
∴，
∵DG：GC＝1：2，
∴，
∴，
∴四边形DFEG的面积＝．
故答案为：4cm2．
16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论中：
①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③b＜﹣1；④；⑤（a+c）2＜b2．
正确的有 　①②③⑤　（写出所有正确结论的序号）．
【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x＝﹣＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．
【解答】解：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x＝﹣＞﹣1，且c＞0；
①由图可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；
②已知x＝﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），
由图知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由（2）﹣（1）可得2b＜﹣2，
∴b＜﹣1，
故③正确；
④已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），由图知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；
联立（1）（2），得：a+c＜1；
联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；
故3a＜﹣3，即a＜﹣1；
所以④错误；
⑤已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2，
∴a+c＝b+2，
∴（a+c）2＝（2+b）2，
∵（2+b）2＝4+4b+b2，
∵b＜﹣1
∴4+4b＝4（1+b）＜0，
∴4+4b+b2＜b2，
∴（a+c）2＜b2，故⑤正确；
因此正确的结论是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F．AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米．EF＝0.55米，CD＝1.65米，求这棵树的高度（AB的长）．
【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.55米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.65﹣0.55＝1.1（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即 ，
解得：AG＝3.3米，
∴AB＝AG+GB＝3.3+0.55＝3.85（米），
答：这棵树的高度为3.85米．
18．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝　15　，b＝　60　，C类的圆心角为 　54°　；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵B类百分比为×100%＝60%，
∴b＝60，
∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类百分比为×100%＝15%，
∴a＝15，
∴C类的圆心角为360°×15%＝54°，
故答案为：15，60，54°；
（3）列表如下：
A B B C
A / BA BA CA
B AB / BB CB
B AB BB / CB
C AC BC BC /
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴P（全是B类学生）＝．
19．（8分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，且AB＝AD．
（1）求证：△FDB∽△ABC；
（2）求的值．
【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得BE＝CE，进而可得∠FBD＝∠C，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠FDB＝∠ABC，然后利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可；
（2）首先解得，然后利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠FBD＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABC，
∴△FDB∽△ABC；
（2）解：∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴，
∴，
由（1）可知，△FDB∽△ABC，
∴．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝42°，求得∠CAE＝∠BAD，根据全等三角形的性质得到BD＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝DAE＝21°，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
21．（10分）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
22．（10分）某超市销售某种商品，每件商品进价为40元，当每件售价为50元时，每天能售出500件，经市场调查表明：若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件．
（1）若售价每提高x元，则日销售量为　（500﹣10x）　件．设每天利润为y元，则y与x的关系式是　y＝﹣10x2+400x+5000　．
（2）要使日利润达到8750元，且尽量让消费者得到实惠，求每件售价应定为多少元？
【分析】（1）由每天能售出500件，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10件，即可推到出答案；由总利润＝销售数量×单个利润即可求解；
（2）令y＝8750，代入（1）中函数关系式求解即可．
【解答】解：（1）设每天利润为y元，则y与x的关系式是y＝（50+x﹣40）（500﹣x）＝﹣10x2+40x+5000，
故答案为：（500﹣10x）；y＝﹣10x2+400x+5000；
（2）令y＝8750，则﹣10x2+400x+5000＝8750，
解得x1＝15，x2＝25，
∵尽量让消费者得到实惠，
∴x＝15，
∴每件售价应定为50+15＝65元．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠ACD＝90°﹣∠BCD，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，从而得到结论；
（2）连接OC、OE，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到∠A＝∠BOE＝30°，则∠COB＝60°，所以∠COE＝90°，然后利用勾股定理计算CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，
∴∠A＝2∠BCD；
（2）解：连接OC、OE，如图，
由（1）得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A＝60°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°+30°＝90°，
而，
∴．
24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上是否存在一点M，使得MO+MA的值最小，若存在，请求出MO+MA的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
（4）如图3，若点E为抛物线的顶点，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B（3，0），C（0，3），用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）作O关于直线BC的对称点K，可知MO+MA＝MK+MA，当A，M，K共线时，MO+MA最小，最小值为AK的长，因∠OBC＝45°，故K（3，3），可得AK＝＝5，从而知MO+MA的最小值为5；
（3）根据PD∥y轴，点P的横坐标为m，有PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，根据二次函数性质可得答案；
（4）求出抛物线顶点E（1，4），由勾股定理逆定理可知△BCE是直角边的比为的直角三角形，若以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似，则△ACQ也是直角边的比为的直角三角形，①若Q为直角顶点，由A（﹣1，0），C（0，3）知，Q（0，0）；②若C为直角顶点，可求出CQ＝3，AQ＝＝10，得Q（9，0）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在直线BC上存在一点M，使得MO+MA的值最小，理由如下：
作O关于直线BC的对称点K，如图：
∴MO＝MK，
∴MO+MA＝MK+MA，
∴当A，M，K共线时，MO+MA最小，最小值为AK的长，
由B（3，0），C（0，3）知∠OBC＝45°，
∵O，K关于直线BC对称，
∴∠KBC＝∠OBC＝45°，OB＝KB＝3，
∴∠OBK＝90°，
∴K（3，3），
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AK＝＝5，
∴MO+MA的最小值为5；
（3）∵PD∥y轴，点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m+3），D（m，﹣m2+2m+3），
∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，线段PD取最大值；
（4）在x轴上存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点E（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，BE2＝20，CE2＝2，
∴BC2+CE2＝BE2，＝＝，
∴△BCE是直角边的比为的直角三角形，
若以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似，则△ACQ也是直角边的比为的直角三角形，
①若Q为直角顶点，由A（﹣1，0），C（0，3）知，Q与O重合时，△COA∽△BCE，此时Q（0，0）；
②若C为直角顶点，如图：
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝，
∵＝，
∴CQ＝3，
∴AQ＝＝10，
∴OQ＝AQ﹣OA＝10﹣1＝9，
∴Q（9，0）；
综上所述，Q的坐标为（0，0）或（9，0）．