浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷A（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷A
满分：120分 范围：第1-4章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
2．下列事件是必然事件的为（　　）
A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“瑞安新闻”
3．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
4．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．如图，直线l1∥l2∥l3，则（　　）
A． B． C． D．
6．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．把二次函数y＝（x+2）2+m﹣4的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（　　）
A．m＞3 B．m＝3 C．m≥3 D．m＜3
8．如图，△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BAA′的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上位于直径AB两侧，且∠OAC＝20°，连结CD交AB于点E，若DE＝OD，则∠ODE的度数为（　　）
A． B． C．30° D．40°
10．如图，E，F、G，H分别是矩形ABCD四边上的点，连结EF，GH相交于点K，且GH∥AD，EF∥AB，设矩形AEKG、矩形EKHD、矩形BFKG、矩形KHCF的面积分别为S1、S2、S3，S4，矩形BFKG∽矩形EKHD，连接AC交GH，EF于点M，N．下列一定能求出△BMN面积的条件是（　　）
A．S3﹣S2 B．S1+S2+S3 C．S3﹣S4 D．S3﹣S1
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　 　．
12．有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1～6．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是 　 　．
13．点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的半径为　 　．
14．如图，点A、B、C均在⊙O上，D是AB的延长线上的一点．若∠CBD＝70°，则∠AOC的大小为　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝　 　．
16．已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）求CD的长度．
18．（6分）如图所示，已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（5，0），（0，﹣1）．当x＝4时，求函数值．
19．（6分）“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．
（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；
（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？
20．（8分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）求该函数解析式；
（2）求ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
21．（8分）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
22．（10分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D为AC上一点，且CD＝BE，取AB的中点F，连结FD，CE，CF，分别取DF，CF的中点G，H．
（1）求∠AHG的值．
（2）连结AG，求证：△AHG∽△CBE．
（3）延长AG交EC于点M，已知AC＝3．
①求CM CE的值；
②设CD＝x（0＜x＜3），CM2＝y，求y与x的关系式．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
浙江省2024年九年级上册精选期中考试模拟卷A
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
【解答】解：A、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，是二次函数，所以A选项正确；
B、y＝x2﹣x3，最高次数是3，不是二次函数，所以B选项错误；
C、y＝2x﹣3，最高次数是1，不是二次函数，所以C选项错误；
D、y＝+1，右边不是整式，不是二次函数，所以D选项错误．
故选：A．
2．下列事件是必然事件的为（　　）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视机，正在播放“瑞安新闻”
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，故此选项错误；
B、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，故此选项正确；
C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、打开电视机，正在播放“瑞安新闻”，是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
3．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴＝+1
＝+1
＝，
故选：B．
4．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】由多边形的外角和为360°，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．
【解答】解：∵一个正n边形的每一个外角都是30°，
∴n＝360°÷30°＝12，
故选：B．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理得到＝或＝，然后利用比例的性质得到＝，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝或＝，
∴＝．
故选：D．
6．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案．
【解答】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，
∴估计摸出黑球的概率为0.667，
则摸出绿球的概率为1﹣0.667＝0.333，
∴袋子中球的总个数为1÷0.333≈3，
∴由此估出黑球个数为3﹣1＝2，
故选：C．
7．把二次函数y＝（x+2）2+m﹣4的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（　　）
A．m＞3 B．m＝3 C．m≥3 D．m＜3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标，再求得平移后的顶点坐标，根据题意得到等式，即可求解．
【解答】解：∵y＝（x+2）2+m﹣4，此时抛物线的顶点坐标为（﹣2，m﹣4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为
（﹣2+3，m﹣4+1），即（1，m﹣3），
∵平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3，
故选：B．
8．如图，△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BAA′的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝50°，A′B＝AB，得出∠BAA′＝65°．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝50°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上位于直径AB两侧，且∠OAC＝20°，连结CD交AB于点E，若DE＝OD，则∠ODE的度数为（　　）
A． B． C．30° D．40°
【分析】如图，连接OC、BC，由圆周角定理可求∠BOC＝40°，由等边对等角，三角形内角和求∠5＝∠2+∠4＝70°，∠1＝∠2，则∠4＝70°﹣∠1，由圆周角定理求∠3＝2∠4＝140°﹣2∠1，由等边对等角可求∠DEO＝∠3，由三角形内角和定理得∠1+2∠3＝180°，即∠1+2（140°﹣2∠1）＝180°，计算求解即可．
【解答】解：如图，连接OC、BC，
∵，
∴∠BOC＝2∠OAC＝40°，
∵OC＝OB，
∴，
∵OD＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝70°﹣∠1，
∵，
∴∠3＝2∠4＝2（70°﹣∠1）＝140°﹣2∠1，
∵DE＝OD，
∴∠DEO＝∠3，
∵∠1+2∠3＝180°，
∴∠1+2（140°﹣2∠1）＝180°，
解得，
∴∠ODE的度数为，
故选：A．
10．如图，E，F、G，H分别是矩形ABCD四边上的点，连结EF，GH相交于点K，且GH∥AD，EF∥AB，设矩形AEKG、矩形EKHD、矩形BFKG、矩形KHCF的面积分别为S1、S2、S3，S4，矩形BFKG∽矩形EKHD，连接AC交GH，EF于点M，N．下列一定能求出△BMN面积的条件是（　　）
A．S3﹣S2 B．S1+S2+S3 C．S3﹣S4 D．S3﹣S1
【分析】根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵矩形BFKG∽矩形EKHD，
∴设矩形EKHD与矩形BFKG的相似比为k，即，
设BF＝a，BG＝b，
则在矩形AEKG、矩形KHCF中，AG＝EK＝bk，FC＝KH＝ak，
∵矩形ABCD、矩形EKHD、矩形BFKG的对边互相平行，GH∥AD，EF∥AB，
∴AD∥GH∥BC，AB∥EF∥DC，
∴△AGM∽△ABC，△CFN∽△CBG，
∴，
∴GM＝ak，FC＝bk，
∴S△BMN＝S△ABC﹣S△ABM﹣S△BCN
＝
＝，
∵S矩形GBFK﹣S矩形EKHD＝ab﹣ak bk＝ab（1﹣k2），
∴＝（S3﹣S2），
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　﹣2　．
【分析】根据定义解答即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|+1是二次函数，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1～6．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是 　　．
【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中朝上面的点数为3的结果有1种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中朝上面的点数为3的结果有1种，
∴任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数为3的概率是．
故答案为：．
13．点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的半径为　3或2　．
【分析】当点P在圆内时，最大距离与最小距离之和就是圆的直径，可以求出圆的半径．当点P在圆外时，最大距离与最小距离之差就是圆的直径，可以求出圆的半径．
【解答】解：当点P在圆内时，因为点P到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为6，半径为3．
当点P在圆外时，因为点P到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为4，半径为2．
故答案为：3或2．
14．如图，点A、B、C均在⊙O上，D是AB的延长线上的一点．若∠CBD＝70°，则∠AOC的大小为　140°　．
【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质和等角的补角相等得到∠P＝∠CBD＝70°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝70°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×70°＝140°．
故答案为140°．
15．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝　　．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再证明＝，接着证明△DEG∽△CFG，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵＝，
∴＝，
∵F为BC中点，
∴BC＝2CF，
即＝
∴＝，
∵DE∥CF，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：．
16．已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　（，）或（11，35）　．
【分析】由两点坐标公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可证∠ACB＝90°，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，过点M作EM⊥AP于E，
∵抛物线y＝x2﹣x+c过点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣+c，
∴c＝2，
∴点A（0，2），抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，
当y＝0时，则0＝x2﹣x+2，
∴x1＝1，x2＝4，
∴点C（4，0），
∵点A（0，2），点C（4，0），点B（3，﹣1），
∴AC＝2，BC＝，AB＝3，
∵AB2+BC2＝20＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
设点M（m，m2﹣m+2），
∴ME＝m，AE＝m2﹣m+2﹣2＝m2﹣m，
当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠PAM时，△ACB∽△PAM，
∴tan∠ACB＝tan∠PAM＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴点M（，），
当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠PAM时，△ACB∽△APM，
∴tan∠BAC＝tan∠PAM＝＝，
∴＝，
∴m＝11，
∴点M（11，36），
综上所述：点M坐标为（，）或（11，36）．
故答案为：（，）或（11，36）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）求CD的长度．
【分析】（1）由AB∥CD，易得∠A＝∠D，∠B＝∠C，则可证得：△AOB∽△DOC；
（2）由△AOB∽△DOC，OA＝2，OD＝4，AB＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长度．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC；
（2）解：∵△AOB∽△DOC，
∴，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3，
∴，
解得：CD＝6．
18．（6分）如图所示，已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（5，0），（0，﹣1）．当x＝4时，求函数值．
【分析】求得抛物线对称轴，然后根据二次函数的对称性即可求得．
【解答】解：∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（5，0），
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴点（0，﹣1）关于对称轴的对称点为（4，﹣1），
∴当x＝4时，则函数值﹣1．
19．（6分）“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．
（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；
（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？
【分析】（1）根据题意列表得出所有等可能的结果数即可；
（2）从（1）中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）列表如下：
青 年 北 仑
青 青青 青年 青北 青仑
年 年青 年年 年北 年仑
北 北青 北年 北北 北仑
仑 仑青 仑年 仑北 仑仑
由表可知共有16种等可能的结果数；
（2）∵共有16种等可能的结果数，其中能拼出“北仑”（不分先后）的有2种结果，
∴能拼出“北仑”（不分先后）的概率为＝．
20．（8分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）求该函数解析式；
（2）求ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx﹣3图象经过（﹣1，0），（1，﹣4），
∴，
解得，
∴该函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，
∵经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2．
21．（8分）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
【分析】（1）由总利润＝每套利润×销售量可列出函数关系式；
（2）由（1）可知y与x的函数关系式，令y＝1200，即可求出x，进而得到定价；
（3）根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知：y＝（140﹣x﹣100）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+60x+800．
（2）令﹣2x2+60x+800＝1200，
解得x1＝10，x2＝20，
∴140﹣x1＝130（舍去），140﹣x2＝120，
答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为120元．
（3）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值1250，此时140﹣x＝140﹣15＝125，
答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润．最大利润为1250元．
22．（10分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
【分析】（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝α，连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB＝90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE＝∠ADC，等量代换得到∠ACE＝∠CAE，于是得到结论；
（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB，等量代换得到∠COB＝∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH＝5，根据勾股定理得到AB＝＝26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．
23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D为AC上一点，且CD＝BE，取AB的中点F，连结FD，CE，CF，分别取DF，CF的中点G，H．
（1）求∠AHG的值．
（2）连结AG，求证：△AHG∽△CBE．
（3）延长AG交EC于点M，已知AC＝3．
①求CM CE的值；
②设CD＝x（0＜x＜3），CM2＝y，求y与x的关系式．
【分析】（1）由∠C＝90°，∠B＝30°，F为AB中点，可得△ACF是等边三角形，∠ACF＝60°，而G，H是DF，CF的中点，即得GH∥CD，∠GHF＝∠ACF＝60°，又∠AHF＝90°，故∠AHG＝∠AHF﹣∠GHF＝30°；
（2）在Rt△ABC中，可得AC＝BC，在Rt△ACH中，可得AC＝＝，从而BC＝2AH，根据GH是△FCD的中位线，可得CD＝2GH，则BE＝2GH，且∠B＝30°＝∠AHG，即可证△AHG∽△CBE；
（3）①过E作ET⊥BC于T，由∠B＝30°，BE＝CD＝x，可得ET＝x，BT＝x，又AC＝3，可得CE＝＝，根据△AHG∽△CBE，可得∠MAC＝∠AEC，而∠ACM＝∠ECA，故△ACM∽△ECA，进而得到＝，进而得解；
②由＝得到＝，进而求得y＝．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵F为AB中点，
∴CF＝AB＝AF＝BF，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠ACF＝60°，
∵G，H是DF，CF的中点，
∴GH是△FCD的中位线，
∴GH∥CD，
∴∠GHF＝∠ACF＝60°，
∵H是CF的中点，△ACF是等边三角形，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AHG＝∠AHF﹣∠GHF＝30°；
（2）证明：在Rt△ABC中，＝tanB，
∴AC＝BC，
在Rt△ACH中，＝sin∠ACH，
∴AC＝＝，
∴BC＝，
∴BC＝2AH，
∵GH是△FCD的中位线，
∴CD＝2GH，
∵CD＝BE，
∴BE＝2GH，
∴＝＝2，
∵∠B＝30°＝∠AHG，
∴△AHG∽△CBE；
（3）解：过E作ET⊥BC于T，如图2：
∵∠B＝30°，BE＝CD＝x，
∴ET＝x，BT＝x，
∵AC＝3，
∴BC＝AC＝3，
∴CT＝BC﹣BT＝3﹣x，
∴CE＝＝＝，
①由（2）知△AHG∽△CBE，
∴∠GAH＝∠BCE，
∵∠HAC＝∠B＝30°，
∴∠GAH+∠HAC＝∠BCE+∠B，
∴∠MAC＝∠AEC，
而∠ACM＝∠ECA，
∴△ACM∽△ECA，
∴＝，
∴CM CE＝AC2＝9；
②由①得＝，
∴＝，
整理化简得：y＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN＝2解方程可得答案；
（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．