【基础版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
2．（2023九上·衡阳期末）如图，能使∽成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意；
若添加 ，得不到∽，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解.
3．（2023九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形，若CF=4a，则AB=（ ）.
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点；
∴AB=CD=2x，∠DCB=90°；
∵DE和EF都是圆的半径
∴DE=EF=x+4a
∴，解得x=a；
∴AB=2a= （2+2）a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四条边相等，四个角都是直角，可得AB=CD=2x，∠DCB=90°；根据圆的半径处处相等，可得DE=EF=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的值.
4．（2023九上·埇桥期中）如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，且，∴，①符合题意．
②且，∴，②符合题意．
③，但比一定与相等，故与不一定相似，③不符合题意．
④且，∴，④符合题意．
⑤由，得无法确定出，故不能证明与相似，⑤不符合题意．
符合题意的有： ①②④ 。
故答案为：A.
【分析】相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
5．（2019九上·昌图期末）一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
【分析】根据黄金分割点的定义即可求解.
6．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
7．（2023九上·期末）已知是线段AB的黄金分割点)，则下列结论中，正确的有（ ）.
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA2=PB·AB，故①正确；
∴，故②错误
∴PA2=PB·（PA+PB）
解之：即，故③正确；
∴正确结论有2个.
故答案为：C.
【分析】利用黄金分割点可知PA2=PB·AB，可对①②作出判断；由此可推出PA2=PB·（PA+PB），解方程可得到PB与PA的比值，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，且，则①；②.下列关于①②的判断，正确的是（ ）.
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD，又，
∴△AOB∽△COD，故①正确，
在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例，
故判断不出△AOD与△BOC相似，故②错误，
所以A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】由两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断①正确，在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例，故判断不出△AOD与△BOC相似，从而判断②错误.
二、填空题
9．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
10．（2024九上·九台期末）底角相等的两个等腰三角形 相似.(填“一定”或“不一定”)
【答案】一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
底角相等的两个等腰三角形一定相似
故答案为：一定
【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
11．（2023九上·秀洲期中）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠D=∠C，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB；
当∠E=∠B，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB；
∴添加的条件可以是∠D=∠C或∠E=∠B.
故答案为：∠E=∠B.
【分析】根据三角形相似的判定定理，有两对相对应的角相等的两个三角形相似来判定即可.
12．如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是 .(只需写出一个)
【答案】(答案不 一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠ABC时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当时，△ABD∽△ACB；
故答案为：∠ABD=∠C(答案不 一).
【分析】由于△ABD与△ACB中，已经具有∠BAD=∠CAB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得可以随便再添加一组角对应相等即可；根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可以添加，据此即可得出答案.
13．（2021九上·会宁期末）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵D是线段AB的黄金分割点且BD最短，
∴
又AD的长为12厘米
∴ ㎝.
故答案为： .
【分析】由D是线段AB的黄金分割点且BD最短，得出，从而求出BD的长.
三、解答题
14．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
【答案】解：∵ ， ， ，
∴这两个三角形相似
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知这两个三角形相似。
15．如图所示，的三边长分别为，的三边长分別为.与是否相似 为什么
【答案】解：.，理由如下：
∴.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由于两个三角形都给出了三条边长，故可以根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断得出结论.
16．（2023九上·余江期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？
【答案】解：设这双高跟鞋的高度为合适，
由题意得：，解得：，
，
这双高跟鞋的高度偏高．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可.
17．（2023九上·南皮期中）如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
（1）求证：；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，，∴；
（2）解：∵；∴，
∵在中，，，∴
∴，即，∴
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据直角三角形的面积公式结合已知条件即可求解。
18．如图，在△ABC中，AB=AC= 1，BC=，在AC边上截取AD= BC，连结BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系．
（2）求证：△ABC∽△BDC．
【答案】（1）解：AD2=AC·CD，理由如下：
∵AB= AC=1，AD= BC=
∴CD=AC-AD=1- =
∵AD2= ()2=，AC·CD=
∴AD2=AC·CD.
（2）证明：由(1)知AD2= AC·CD，
∵AD= BC，∴BC2=AC·CD，∴
又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC.
【知识点】相似三角形的判定；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）易求CD=AC-AD= ，分别计算出AD2，AC·CD的值，继而判断即可；
（2）由(1)知AD2= AC·CD，即得BC2=AC·CD，由∠C=∠C，利用两边成比例且夹角相等可证△ABC∽△BDC.
19．（2023九上·阜阳期中）已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证：
（1）ΔDEF∽ΔBCD；
（2）．
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，
∴，∴∠CDE=∠BCD，
∵，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF，
又∵∠ADE=∠B，
∴△DEF∽△BCD
（2）证明：∵∠ADE=∠B，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ；
（2）根据DE∥BC，可得出，再根据EF∥CD，可得，故而可得，即 ．
20．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品．如图，P是AB的黄金分割点(BP>AP)．
（1）写出一个与相等的线段比．
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长．
【答案】（1）解：∵ P是AB的黄金分割点 ，
∴.
（2）解：∵BP=7，∴AP=AB-BP=AB-7，
∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴，
∴，
解得：AB=.
∴线段AB的长是.
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】(1)由黄金分割点的定义即可解答；
(2)由黄金分割点的定义可得，然后AP用含AB的式子表示，然后代入计算即可解答.
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·衡阳期末）如图，能使∽成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形，若CF=4a，则AB=（ ）.
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
4．（2023九上·埇桥期中）如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
5．（2019九上·昌图期末）一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
6．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·期末）已知是线段AB的黄金分割点)，则下列结论中，正确的有（ ）.
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，且，则①；②.下列关于①②的判断，正确的是（ ）.
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
二、填空题
9．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
10．（2024九上·九台期末）底角相等的两个等腰三角形 相似.(填“一定”或“不一定”)
11．（2023九上·秀洲期中）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
12．如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是 .(只需写出一个)
13．（2021九上·会宁期末）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是 .
三、解答题
14．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
15．如图所示，的三边长分别为，的三边长分別为.与是否相似 为什么
16．（2023九上·余江期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？
17．（2023九上·南皮期中）如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
（1）求证：；
（2）当时，求的长.
18．如图，在△ABC中，AB=AC= 1，BC=，在AC边上截取AD= BC，连结BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系．
（2）求证：△ABC∽△BDC．
19．（2023九上·阜阳期中）已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证：
（1）ΔDEF∽ΔBCD；
（2）．
20．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品．如图，P是AB的黄金分割点(BP>AP)．
（1）写出一个与相等的线段比．
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意；
若添加 ，得不到∽，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点；
∴AB=CD=2x，∠DCB=90°；
∵DE和EF都是圆的半径
∴DE=EF=x+4a
∴，解得x=a；
∴AB=2a= （2+2）a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四条边相等，四个角都是直角，可得AB=CD=2x，∠DCB=90°；根据圆的半径处处相等，可得DE=EF=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的值.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，且，∴，①符合题意．
②且，∴，②符合题意．
③，但比一定与相等，故与不一定相似，③不符合题意．
④且，∴，④符合题意．
⑤由，得无法确定出，故不能证明与相似，⑤不符合题意．
符合题意的有： ①②④ 。
故答案为：A.
【分析】相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
5．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
【分析】根据黄金分割点的定义即可求解.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
7．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA2=PB·AB，故①正确；
∴，故②错误
∴PA2=PB·（PA+PB）
解之：即，故③正确；
∴正确结论有2个.
故答案为：C.
【分析】利用黄金分割点可知PA2=PB·AB，可对①②作出判断；由此可推出PA2=PB·（PA+PB），解方程可得到PB与PA的比值，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD，又，
∴△AOB∽△COD，故①正确，
在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例，
故判断不出△AOD与△BOC相似，故②错误，
所以A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】由两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断①正确，在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例，故判断不出△AOD与△BOC相似，从而判断②错误.
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
10．【答案】一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
底角相等的两个等腰三角形一定相似
故答案为：一定
【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠D=∠C，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB；
当∠E=∠B，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB；
∴添加的条件可以是∠D=∠C或∠E=∠B.
故答案为：∠E=∠B.
【分析】根据三角形相似的判定定理，有两对相对应的角相等的两个三角形相似来判定即可.
12．【答案】(答案不 一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠ABC时，△ABD∽△ACB；
△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当时，△ABD∽△ACB；
故答案为：∠ABD=∠C(答案不 一).
【分析】由于△ABD与△ACB中，已经具有∠BAD=∠CAB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得可以随便再添加一组角对应相等即可；根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可以添加，据此即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵D是线段AB的黄金分割点且BD最短，
∴
又AD的长为12厘米
∴ ㎝.
故答案为： .
【分析】由D是线段AB的黄金分割点且BD最短，得出，从而求出BD的长.
14．【答案】解：∵ ， ， ，
∴这两个三角形相似
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两个三角形相似，可知这两个三角形相似。
15．【答案】解：.，理由如下：
∴.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由于两个三角形都给出了三条边长，故可以根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断得出结论.
16．【答案】解：设这双高跟鞋的高度为合适，
由题意得：，解得：，
，
这双高跟鞋的高度偏高．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可.
17．【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，，∴；
（2）解：∵；∴，
∵在中，，，∴
∴，即，∴
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据直角三角形的面积公式结合已知条件即可求解。
18．【答案】（1）解：AD2=AC·CD，理由如下：
∵AB= AC=1，AD= BC=
∴CD=AC-AD=1- =
∵AD2= ()2=，AC·CD=
∴AD2=AC·CD.
（2）证明：由(1)知AD2= AC·CD，
∵AD= BC，∴BC2=AC·CD，∴
又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC.
【知识点】相似三角形的判定；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）易求CD=AC-AD= ，分别计算出AD2，AC·CD的值，继而判断即可；
（2）由(1)知AD2= AC·CD，即得BC2=AC·CD，由∠C=∠C，利用两边成比例且夹角相等可证△ABC∽△BDC.
19．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，
∴，∴∠CDE=∠BCD，
∵，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF，
又∵∠ADE=∠B，
∴△DEF∽△BCD
（2）证明：∵∠ADE=∠B，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ；
（2）根据DE∥BC，可得出，再根据EF∥CD，可得，故而可得，即 ．
20．【答案】（1）解：∵ P是AB的黄金分割点 ，
∴.
（2）解：∵BP=7，∴AP=AB-BP=AB-7，
∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴，
∴，
解得：AB=.
∴线段AB的长是.
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】(1)由黄金分割点的定义即可解答；
(2)由黄金分割点的定义可得，然后AP用含AB的式子表示，然后代入计算即可解答.
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