【提升版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·东源期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·铜仁期末） “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·兰州期中）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AF B．DF C．AE D．DE
4．（2023九上·平山月考）如图，在中，为锐角，，，要在边上找一点，使，需添加一个条件，下列方案不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
5．（2024九上·杭州月考） 如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
6．（2024九上·岳阳期末）如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·石家庄期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（ ）
A． B． C． D．2
8．下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（ ）．
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
二、填空题
9．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
10．（2024九上·兰州期中） 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
11．（2023九上·瑶海月考）五角星是我们常见的图形，如图点，分别是线段的黄金分割点，，则 ．
12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
13．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为 时，△PBQ与△ABC相似．
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：△EMC∽△MAB.
15．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由．
16．（2023九上·佛山期中）如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；
（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；
（3）连接BD交AC于点O，连线得和，请证明．
17．（2019九上·昌平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
18．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
19．（2020九上·江阴期中）如图
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
20．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵ ∠ACB=90°+45°=135°，AC=2， CB==，
又∵B、C、D三选项中最大角都小于135°，
∴B、C、D都不对，
又∵选项A中最大角是135°，且夹边之比=∶1=2∶。
故答案为：A.
【分析】由条件可得∠ACB=135，AC∶CB=2∶，对照选项借助相似三角形的判定方法逐个判断即可。
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点P是的黄金分割点，
，
的长为，
，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算即可.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得这里的“■■”指的是线段AF，
故答案为：A
【分析】根据黄金分割点的作图方法结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
B.∵，CD=6cm，
∴BD=BC-CD=2cm，
∴，，
∴，
∵∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
C.∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
此时不能判定△ABC与△ABD相似，
∴该选项符合题意；
D.∵∠ADB=∠BAC，∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，∴△BDE∽△BAC；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，∴△CDE∽△CAB；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D.
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，A不符合题意；
B、若 ，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，B不符合题意；
C、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，C不符合题意；
D、若，且∠DAE=∠BAC，不能判定∽，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先由 ，证得∠DAE=∠BAC，再根据相似三角形的判定定理依次判断即可.
7．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设BP=x，则AP=8-x，
∵，
∴，
整理为：x2-24x+64=0，
解方程可得x1=12-4，x2=12+4（大于8，舍去），
即BP的长度为：12-4。
故答案为：A。
【分析】设BP=x，则AP=8-x，根据 黄金分割的意义，列出相应的比例式，，即可得出等式，解方程，舍去不符合题意的值，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AB=c，AC=b，BC=a，，，，
不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，A错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DF=1，EF=8，DE=12，
∴，，，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，B错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DF=6，EF=8，DE=12，
∴，
∴△ABC和△DEF相似，C正确；
D、∵，，，，EF=3，DF=3，
∴，，，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，D错误；
故答案为：C．
【分析】分别求出两个三角形对应边的比，根据有三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判断，得出答案.
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
10．【答案】△MCB
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠可知，
，
，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质结合题意即可得到，从而运用相似三角形的判定即可求解。
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】点 分别是线段的黄金分割点，且AD>BD，
EC+CD=AC+CD=AD，
【分析】利用黄金分割点的定义求出AD的长，结合图形得到EC=AC从而求得EC+CD的值.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
13．【答案】0.8s或2s
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 设经过x秒后△PBQ与△ABC相似 ，则AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=(8-2x)cm，
当△PBQ∽△ABC时，
∴，即，
解得x=2，
当△PBQ∽△CBA时，
∴，即，
解得：x=0.8，
∴经过0.8s或2s时， △PBQ与△ABC相似．
故答案为：0.8s或2s.
【分析】分两种情况：当△PBQ∽△ABC时和当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别解答即可.
14．【答案】（1）证明：由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∵点M是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：由折叠性质可得：，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）要证ME平分∠PMC，只需证∠PME=∠CME，通过证即可；通过本题已知折叠条件分析，BM=CM=PM，∠MPE=∠C=90° ， EM=EM，符合直角三角形全等的判定条件（HL）；
（2）由AM平分∠BMP，ME平分∠PMC，可知∠AME=90°，构成典型的K型图，△EMC∽△MAB的证明要熟练掌握；其条件是：，.
15．【答案】解：设AP=x，则PB=7-x．若△PAD∽△CBP ，则，即，解得x=3或x=4．
若△PAD∽△PCB，则，即=，解得x=
综上所述，PA长为3，或4，或时，以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】分两种情况：①若△PAD∽△CBP ，则；②若△PAD∽△PCB，则，根据比例式分别求解即可.
16．【答案】（1）解：如图答案图所示，画对菱形并标对字母．
（2）解：如图答案图所示
（3）证明：在正方形方格中，可知，，
由勾股定理，得，，，．
∵，，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的对称性互相垂直平分，可确定出点B，D的位置，然后画出菱形ABCD即可.
（2）利用正方形的性质和格点的特点，画出符合题意的正方形EFGH.
（3）利用勾股定理分别求出CE，OE，CH，CD的长，再分别求出DH与EC，DC与EO，CH与OC的比，可得到它们的比值相等，利用三边对应成比例的两三角形相似，可证得结论.
17．【答案】（1）解：设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，
则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6，
解得：x=2或x=4．
故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
（2）解：设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ，
所以 ，或 ，
解得t= ，或t= ．
因此，经过 秒或 秒，△OCQ与△ACB相似；
【知识点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ= S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
19．【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC= .
∴AD=AE= .
∴ .
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
【知识点】黄金分割；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设AB=2x，BC=x，则AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB；
（2）过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求.
20．【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） 由题意可得∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，然后有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答；
（2）当∠CAD=∠C′B′D′=15°时， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】设∠A=α，∠B=90°-α，∠A′=β，∠B′=90°-β，作∠ACD=β交AB于D，作∠A′C′D′=α交 A′B′于D′，则∠A=∠A′C′D′=α，∠ACD=∠A′=β，∠B=∠B′C′D′=90°-α，∠BCD=∠B′=90°-β，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·东源期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵ ∠ACB=90°+45°=135°，AC=2， CB==，
又∵B、C、D三选项中最大角都小于135°，
∴B、C、D都不对，
又∵选项A中最大角是135°，且夹边之比=∶1=2∶。
故答案为：A.
【分析】由条件可得∠ACB=135，AC∶CB=2∶，对照选项借助相似三角形的判定方法逐个判断即可。
2．（2024九上·铜仁期末） “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点P是的黄金分割点，
，
的长为，
，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算即可.
3．（2024九上·兰州期中）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AF B．DF C．AE D．DE
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得这里的“■■”指的是线段AF，
故答案为：A
【分析】根据黄金分割点的作图方法结合题意即可求解。
4．（2023九上·平山月考）如图，在中，为锐角，，，要在边上找一点，使，需添加一个条件，下列方案不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
B.∵，CD=6cm，
∴BD=BC-CD=2cm，
∴，，
∴，
∵∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
C.∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
此时不能判定△ABC与△ABD相似，
∴该选项符合题意；
D.∵∠ADB=∠BAC，∠ABD=∠CBA，
∴，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
5．（2024九上·杭州月考） 如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，∴△BDE∽△BAC；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，∴△CDE∽△CAB；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D.
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可得出答案.
6．（2024九上·岳阳期末）如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，A不符合题意；
B、若 ，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，B不符合题意；
C、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，C不符合题意；
D、若，且∠DAE=∠BAC，不能判定∽，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先由 ，证得∠DAE=∠BAC，再根据相似三角形的判定定理依次判断即可.
7．（2023九上·石家庄期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设BP=x，则AP=8-x，
∵，
∴，
整理为：x2-24x+64=0，
解方程可得x1=12-4，x2=12+4（大于8，舍去），
即BP的长度为：12-4。
故答案为：A。
【分析】设BP=x，则AP=8-x，根据 黄金分割的意义，列出相应的比例式，，即可得出等式，解方程，舍去不符合题意的值，即可得出答案。
8．下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（ ）．
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AB=c，AC=b，BC=a，，，，
不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，A错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DF=1，EF=8，DE=12，
∴，，，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，B错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DF=6，EF=8，DE=12，
∴，
∴△ABC和△DEF相似，C正确；
D、∵，，，，EF=3，DF=3，
∴，，，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，D错误；
故答案为：C．
【分析】分别求出两个三角形对应边的比，根据有三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判断，得出答案.
二、填空题
9．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
10．（2024九上·兰州期中） 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
【答案】△MCB
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠可知，
，
，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质结合题意即可得到，从而运用相似三角形的判定即可求解。
11．（2023九上·瑶海月考）五角星是我们常见的图形，如图点，分别是线段的黄金分割点，，则 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】点 分别是线段的黄金分割点，且AD>BD，
EC+CD=AC+CD=AD，
【分析】利用黄金分割点的定义求出AD的长，结合图形得到EC=AC从而求得EC+CD的值.
12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
13．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为 时，△PBQ与△ABC相似．
【答案】0.8s或2s
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 设经过x秒后△PBQ与△ABC相似 ，则AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=(8-2x)cm，
当△PBQ∽△ABC时，
∴，即，
解得x=2，
当△PBQ∽△CBA时，
∴，即，
解得：x=0.8，
∴经过0.8s或2s时， △PBQ与△ABC相似．
故答案为：0.8s或2s.
【分析】分两种情况：当△PBQ∽△ABC时和当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别解答即可.
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：△EMC∽△MAB.
【答案】（1）证明：由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∵点M是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：由折叠性质可得：，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）要证ME平分∠PMC，只需证∠PME=∠CME，通过证即可；通过本题已知折叠条件分析，BM=CM=PM，∠MPE=∠C=90° ， EM=EM，符合直角三角形全等的判定条件（HL）；
（2）由AM平分∠BMP，ME平分∠PMC，可知∠AME=90°，构成典型的K型图，△EMC∽△MAB的证明要熟练掌握；其条件是：，.
15．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由．
【答案】解：设AP=x，则PB=7-x．若△PAD∽△CBP ，则，即，解得x=3或x=4．
若△PAD∽△PCB，则，即=，解得x=
综上所述，PA长为3，或4，或时，以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】分两种情况：①若△PAD∽△CBP ，则；②若△PAD∽△PCB，则，根据比例式分别求解即可.
16．（2023九上·佛山期中）如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；
（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；
（3）连接BD交AC于点O，连线得和，请证明．
【答案】（1）解：如图答案图所示，画对菱形并标对字母．
（2）解：如图答案图所示
（3）证明：在正方形方格中，可知，，
由勾股定理，得，，，．
∵，，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的对称性互相垂直平分，可确定出点B，D的位置，然后画出菱形ABCD即可.
（2）利用正方形的性质和格点的特点，画出符合题意的正方形EFGH.
（3）利用勾股定理分别求出CE，OE，CH，CD的长，再分别求出DH与EC，DC与EO，CH与OC的比，可得到它们的比值相等，利用三边对应成比例的两三角形相似，可证得结论.
17．（2019九上·昌平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
【答案】（1）解：设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，
则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6，
解得：x=2或x=4．
故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ；
（2）解：设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ，
所以 ，或 ，
解得t= ，或t= ．
因此，经过 秒或 秒，△OCQ与△ACB相似；
【知识点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ= S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值.
18．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
19．（2020九上·江阴期中）如图
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC= .
∴AD=AE= .
∴ .
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
【知识点】黄金分割；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设AB=2x，BC=x，则AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB；
（2）过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求.
20．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） 由题意可得∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，然后有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答；
（2）当∠CAD=∠C′B′D′=15°时， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】设∠A=α，∠B=90°-α，∠A′=β，∠B′=90°-β，作∠ACD=β交AB于D，作∠A′C′D′=α交 A′B′于D′，则∠A=∠A′C′D′=α，∠ACD=∠A′=β，∠B=∠B′C′D′=90°-α，∠BCD=∠B′=90°-β，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断.
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