【培优版】北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
2．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
3．（2018九上·温州期中）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1 与S2的大小关系是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB=90°，
∵点E为AD中点，
∴AE=，
在Rt△EAB中，
∴BE=a，
∵EF=BE，
∴EF=a，
∴AF=EF-AE=a-a=a，
∴正方形AFGH边长为a，
∴S1=S正AFGH=（a）2=a2，
∵AH=a，AB=a，
∴BH=AB-AH=a-a=a，
∴S2=S正BCEH=a·a=a2，
∴S1=S2.
故答案为：D.
【分析】设正方形ABCD边长为a，在Rt△EAB中，根据勾股定理得BE=a，结合已知条件得正方形AFGH边长为a，根据正方形面积公式得S1=a2，再由矩形面积公式得，S2=a2，从而可得S1=S2.
4．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
5．（2023九上·石家庄期中）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】
A：根据作图痕迹，判断AD是 的角平分线，不符合题意；
B：根据作图痕迹，判断所作直线是AB的垂线，但无法判断 相似，不符合题意；
C：根据作图痕迹，判断CD是AB的垂线，可以判断相似，符合题意；
D：根据作图痕迹，无法判断 相似，不符合题意。
故选：C
【分析】根据作图痕迹看得到的条件是否符合判定相似的定理，题中给定 ， 故可直接看作图痕迹是否是垂线且能说明 ，能则可判定相似。
6．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
7．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD：AB=AE：AC，
即x：12﹣2x=x：6，
解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC=AE：AB，
即x：12=12﹣2x：6，
解得：x=4.8；
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
二、填空题
9．（2023九上·武侯期中）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ．
【答案】5；5×（）2n﹣2
【知识点】点的坐标；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；探索图形规律
【解析】【解答】设正方形的面积分别为
由题意可得：
(同位角相等)，
在Rt△ADO中，
同理：可得
由正方形公式可得
即
故
【分析】先结合题意证明，进而根据勾股定理先求得AD的值，利用三角函数求得的值，最后利用正方形的面积公式找到规律所在，从而求解.
10．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
11．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
三、解答题
13．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
14．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
15．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，、为边上的两个动点，．
（1）若，，则与相似吗？为什么？
（2）若即、重合，则 时，∽；
（3）当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．
【答案】（1）解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
（2）90
（3）解：结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵PC⊥AB，
∴∠PDA=∠PDB=90°，
∴∠A+∠APD=90°，
若△APC∽△PBD，
∴∠A=∠BPD，
∴∠BPD+∠APD=90°即∠APB=90°，
∴当∠APB=90°时△APC∽△PBD.
故答案为：90.
【分析】（1）利用已知可得到PC=PD=CD，利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，由此可推出∠ACP=∠BDP=120°，再证明∠A=∠BPD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可知∠PDA=∠PDB=90°，可证得∠A+∠APD=90°，要使△APC∽△PBD，若∠A=∠BPD，代入可证得∠APB=90°.
（3）利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC，利用邻补角的定义可证得∠PCA=∠PDB，当时，则有∽，利用相似三角形的对应角相等可知∠A=∠DPB，由此可推出∠PCD=∠APB-∠CPD，利用三角形的内角和定理可证得∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，由此可证得∠CPD与∠APB之间的数量关系.
16．（2023九上·通榆期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：MN=2）．
第－步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中，AB= （保留根号）．
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由．
（3）在图④中，直接写出所有黄金矩形．
【答案】（1）
（2）解：菱形
理由：∵四边形ACBF是矩形，
∴，∠BQA=∠QAD．
由折叠得∠BAQ=∠QAD，AB=AD，
∴∠BQA=∠BAQ，∴BQ=AB，∴BQ=AD．
∵，∴四边形BADQ是平行四边形．
∵AB=AD，∴四边形BADQ是菱形
（3）矩形BCDE，矩形MNDE．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB==.
（3）如图④，∵AD=，AN=AC=1，CD=AD-AC=-1，BC=2，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形，
∵，
∴矩形MNDE是黄金矩形.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）四边形BADQ 菱形，理由：先证四边形BADQ是平行四边形，由折叠知AB=AD，根据菱形的判定定理即证．
（3）根据黄金矩形的定义进行判断即可.
17．（2019九上·丹东月考）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t.
（1）根据题意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代数式表示）
（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 ？
（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA
相似？
【答案】（1）t；4﹣2t
（2）解：当△CPQ 的面积等于△ABC面积的 时，
即 (4-2t) t= × ×3×4，
解得；t= 或 t= ；
答：经过 或 秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积是 ；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 则 = ，即 = ，解得 t=1.2；
②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 则 = ，即 = ，解得 t= ；
由 P 点在 BC 边上的运动速度为 2cm/s，Q 点在 AC 边上的速度为 1cm/s，可求出t 的取值范围应该为 0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的 t 均满足条件.
答：要使△CPQ 与△CBA 相似，运动的时间为 1.2 或 秒.
【知识点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可知CQ=t，CP=BC-BP=4﹣2t；
故答案为：t，4-2t；
【分析】（1）由动点P从点B出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q从C出发以 1cm/s 的速度向点A移动， 设它们的运动时间为 t，可得PC为4﹣2t，CQ为t；
（2）根据三角形的面积计算方法，由△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 列出方程求出t的值即可；
(3)分Rt△ABC∽Rt△QPC与Rt△ABC∽Rt△PQC两种情况讨论，由对应边成比例，可求得t的值.
18．（2018九上·二道月考）如图
（1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
（3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为 ．
【答案】（1）解：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= ．
故答案是： ．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
（1）如图①，由条件AB∥CD，∠B=90°， 易得 ∠C=∠B=90°， 由另一条件∠APD=90° 可知，要证 △ABP∽△PCD 还差一对角相等；接下来需找∠BAP=∠DPC，显然这两个角都与∠APB 互补，故它们相等. 还可以找哪一对角相等呢？
（2）如图②，与第（1）题相比，第（2）题的图形虽然发生了变化，但是结论没变，条件也几乎没变（第（1）的条件可看作∠B=∠C=∠APD=90° ），通过类比可知，它们有相同的证明思路：除已知条件∠B=∠C外，还需找∠BAP=∠DPC，由图可知∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC，而∠B=∠APD，易得∠BAP=∠DPC.
（3）如图③， 由∠B=∠C=45°可知，△ABC是一个等腰直角三角形，由斜边BC=6 ，可求得AC=AB=6，由CE=4，易得AE=2，只需求出AD的长，就可利用勾股定理求出DE的长. 与前两题作比，易得△BDP∽△CPE，，而BP=CP=3 ，CE=4，可求BD，进而求出AD.
19．（2021九上·梁平期末）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知： ， ， ， ，
.
又 ，
，
；
（2）解：结论： 是等边三角形，理由如下：
直线MN是矩形ABCD的对称轴，
点 是EF的中点，即 ，
在 和 中
，
，
， ，
又 ， .
，
，
是等边三角形；
（3）解：DG，EG，FG的数量关系是 ，理由如下：
由(2)可知 是等边三角形；将 逆时针旋转 到 位置，如解图(1)，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，可得结果；
（2）由 点 恰好落在直线MN上 可得 点 是EF的中点，即 ， 由SAS易证，可得结果；
（3） 将 逆时针旋转 到 位置，由(2)可知 是等边三角形 ，由旋转可得
△DGG’是等边三角形，由勾股定理可得结果.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
2．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
3．（2018九上·温州期中）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1 与S2的大小关系是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
5．（2023九上·石家庄期中）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．（2023九上·武侯期中）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ．
10．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
11．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
三、解答题
13．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
14．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
15．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，、为边上的两个动点，．
（1）若，，则与相似吗？为什么？
（2）若即、重合，则 时，∽；
（3）当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．
16．（2023九上·通榆期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：MN=2）．
第－步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中，AB= （保留根号）．
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由．
（3）在图④中，直接写出所有黄金矩形．
17．（2019九上·丹东月考）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t.
（1）根据题意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代数式表示）
（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 ？
（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA
相似？
18．（2018九上·二道月考）如图
（1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
（3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为 ．
19．（2021九上·梁平期末）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
2．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
3．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB=90°，
∵点E为AD中点，
∴AE=，
在Rt△EAB中，
∴BE=a，
∵EF=BE，
∴EF=a，
∴AF=EF-AE=a-a=a，
∴正方形AFGH边长为a，
∴S1=S正AFGH=（a）2=a2，
∵AH=a，AB=a，
∴BH=AB-AH=a-a=a，
∴S2=S正BCEH=a·a=a2，
∴S1=S2.
故答案为：D.
【分析】设正方形ABCD边长为a，在Rt△EAB中，根据勾股定理得BE=a，结合已知条件得正方形AFGH边长为a，根据正方形面积公式得S1=a2，再由矩形面积公式得，S2=a2，从而可得S1=S2.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】
A：根据作图痕迹，判断AD是 的角平分线，不符合题意；
B：根据作图痕迹，判断所作直线是AB的垂线，但无法判断 相似，不符合题意；
C：根据作图痕迹，判断CD是AB的垂线，可以判断相似，符合题意；
D：根据作图痕迹，无法判断 相似，不符合题意。
故选：C
【分析】根据作图痕迹看得到的条件是否符合判定相似的定理，题中给定 ， 故可直接看作图痕迹是否是垂线且能说明 ，能则可判定相似。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD：AB=AE：AC，
即x：12﹣2x=x：6，
解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC=AE：AB，
即x：12=12﹣2x：6，
解得：x=4.8；
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
9．【答案】5；5×（）2n﹣2
【知识点】点的坐标；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；探索图形规律
【解析】【解答】设正方形的面积分别为
由题意可得：
(同位角相等)，
在Rt△ADO中，
同理：可得
由正方形公式可得
即
故
【分析】先结合题意证明，进而根据勾股定理先求得AD的值，利用三角函数求得的值，最后利用正方形的面积公式找到规律所在，从而求解.
10．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
11．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
12．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
14．【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
15．【答案】（1）解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
（2）90
（3）解：结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵PC⊥AB，
∴∠PDA=∠PDB=90°，
∴∠A+∠APD=90°，
若△APC∽△PBD，
∴∠A=∠BPD，
∴∠BPD+∠APD=90°即∠APB=90°，
∴当∠APB=90°时△APC∽△PBD.
故答案为：90.
【分析】（1）利用已知可得到PC=PD=CD，利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，由此可推出∠ACP=∠BDP=120°，再证明∠A=∠BPD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可知∠PDA=∠PDB=90°，可证得∠A+∠APD=90°，要使△APC∽△PBD，若∠A=∠BPD，代入可证得∠APB=90°.
（3）利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC，利用邻补角的定义可证得∠PCA=∠PDB，当时，则有∽，利用相似三角形的对应角相等可知∠A=∠DPB，由此可推出∠PCD=∠APB-∠CPD，利用三角形的内角和定理可证得∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，由此可证得∠CPD与∠APB之间的数量关系.
16．【答案】（1）
（2）解：菱形
理由：∵四边形ACBF是矩形，
∴，∠BQA=∠QAD．
由折叠得∠BAQ=∠QAD，AB=AD，
∴∠BQA=∠BAQ，∴BQ=AB，∴BQ=AD．
∵，∴四边形BADQ是平行四边形．
∵AB=AD，∴四边形BADQ是菱形
（3）矩形BCDE，矩形MNDE．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB==.
（3）如图④，∵AD=，AN=AC=1，CD=AD-AC=-1，BC=2，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形，
∵，
∴矩形MNDE是黄金矩形.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）四边形BADQ 菱形，理由：先证四边形BADQ是平行四边形，由折叠知AB=AD，根据菱形的判定定理即证．
（3）根据黄金矩形的定义进行判断即可.
17．【答案】（1）t；4﹣2t
（2）解：当△CPQ 的面积等于△ABC面积的 时，
即 (4-2t) t= × ×3×4，
解得；t= 或 t= ；
答：经过 或 秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积是 ；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 则 = ，即 = ，解得 t=1.2；
②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 则 = ，即 = ，解得 t= ；
由 P 点在 BC 边上的运动速度为 2cm/s，Q 点在 AC 边上的速度为 1cm/s，可求出t 的取值范围应该为 0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的 t 均满足条件.
答：要使△CPQ 与△CBA 相似，运动的时间为 1.2 或 秒.
【知识点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可知CQ=t，CP=BC-BP=4﹣2t；
故答案为：t，4-2t；
【分析】（1）由动点P从点B出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q从C出发以 1cm/s 的速度向点A移动， 设它们的运动时间为 t，可得PC为4﹣2t，CQ为t；
（2）根据三角形的面积计算方法，由△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 列出方程求出t的值即可；
(3)分Rt△ABC∽Rt△QPC与Rt△ABC∽Rt△PQC两种情况讨论，由对应边成比例，可求得t的值.
18．【答案】（1）解：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= ．
故答案是： ．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
（1）如图①，由条件AB∥CD，∠B=90°， 易得 ∠C=∠B=90°， 由另一条件∠APD=90° 可知，要证 △ABP∽△PCD 还差一对角相等；接下来需找∠BAP=∠DPC，显然这两个角都与∠APB 互补，故它们相等. 还可以找哪一对角相等呢？
（2）如图②，与第（1）题相比，第（2）题的图形虽然发生了变化，但是结论没变，条件也几乎没变（第（1）的条件可看作∠B=∠C=∠APD=90° ），通过类比可知，它们有相同的证明思路：除已知条件∠B=∠C外，还需找∠BAP=∠DPC，由图可知∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC，而∠B=∠APD，易得∠BAP=∠DPC.
（3）如图③， 由∠B=∠C=45°可知，△ABC是一个等腰直角三角形，由斜边BC=6 ，可求得AC=AB=6，由CE=4，易得AE=2，只需求出AD的长，就可利用勾股定理求出DE的长. 与前两题作比，易得△BDP∽△CPE，，而BP=CP=3 ，CE=4，可求BD，进而求出AD.
19．【答案】（1）证明：由折叠的性质可知： ， ， ， ，
.
又 ，
，
；
（2）解：结论： 是等边三角形，理由如下：
直线MN是矩形ABCD的对称轴，
点 是EF的中点，即 ，
在 和 中
，
，
， ，
又 ， .
，
，
是等边三角形；
（3）解：DG，EG，FG的数量关系是 ，理由如下：
由(2)可知 是等边三角形；将 逆时针旋转 到 位置，如解图(1)，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，可得结果；
（2）由 点 恰好落在直线MN上 可得 点 是EF的中点，即 ， 由SAS易证，可得结果；
（3） 将 逆时针旋转 到 位置，由(2)可知 是等边三角形 ，由旋转可得
△DGG’是等边三角形，由勾股定理可得结果.
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