【培优版】北师大版数学九年级上册4.6利用相似三角形测高 同步练习
一、选择题
1．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，工人分别按图中甲、乙两种方式把它加工成一个正方形桌面，则正方形的面积较大的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法判断
2．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
3．（2023九上·宁远期中）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．18
4．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·寿阳月考）如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（ ）米．
A．6.2 B．10 C．11.2 D．12.4
6．（2023九上·泗县月考）如图，一间学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，低头观察湖面，看到树的顶端在水中的倒影距自己远．若该同学的眼睛到地面的距离为，则树高为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·运城期中）据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像点、的对应点分别是、若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·新田月考）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2017九上·深圳月考）墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A站测得他的影长与身长相等都为1.5m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m.
10．如图，在测量小玻璃管口径的量具ABC．上，AB的长为14 mm，AC被分为70等份．如果小管口DE正好对着量具40刻度线上处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是 mm．
11．（2024九上·裕华开学考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
12．如图所示，放置在水平地面上的一油桶高AC=1m，桶内有油，一根木棒长.将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底处，另一端恰好与桶盖小口处相齐.抽出木棒，若量得棒上的浸油部分DE的长为，则桶内油的深度是 .
13．（2023九上·通川期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
三、解答题
14．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
15．（2023·锦江模拟）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上.
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度.
16．（2024九上·渠县期末）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．
（1）求的长；
（2）求点E到地面的高度的长．
17．（2024九上·贵阳期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在BE的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离DE＝2m，小阳的眼睛点C到地面的距离CD＝1.6m；
②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离GH＝3.2m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB．
18．（2022九上·宝山期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
19．（2022九上·济南期末）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．
（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求的长；
（2）求水面高度．
20．（2024·吉安模拟）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
（1）课本再现
在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少
（2）类比探究
如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为 ▲ （直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在甲中：设小正方形边长为a，三角形面积1=，则BC=2，
AD=AC-CD=1-a，BF=BC-CF=2-a，
∵DE∥CF，
∴∠AED=∠B，
又 ∠ADE=∠EFB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为；
在乙中：设小正方形边长为b，过点C作CM⊥AB于点M，交DE于N，
由题意AB=，
∵三角形面积1=，
∴CM=，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∵，
∴甲的面积大于乙的面积.
故答案为：A.
【分析】要比较两个正方形面积面积，求出两个边长即可；在甲中，∠AED=∠B， ∠ADE=∠EFB=90°，两个角对应相等，两三角形相似，得出，相似三角形的对应边成比例，，解得；在乙中，要求DE，以现在的已知条件无法求出，题目给出三角形面积，由此可得三角形的高，故过C作三角形的高CM，由DE∥AB得，相似三角形对应高的比等于相似比，，由此，，因此甲中正方形的面积大于乙中正方形的面积.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由镜面反射原理知
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵米，米，米，
∴（米）.
故该古城墙的高度是8米．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质求解。由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值求解．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵CD=5cm，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∵零件的外径为12cm，
∴，
故答案为：C.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再结合，CD=5cm，求出AB=2CD=2×5=10cm，最后求出x的值即可.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】
解：如图所示，由题知：小明身高CD=1.6m，小明影子DE=0.4m，树影地面DF=2.8m，树墙影高FH=AB=1.2m，
∴
∴ BD=4DF=11.2m
∴ AD=BD+AB=12.4m
故答案为D
【分析】本题考查三角形相似的性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键。根据题意，可得，计算BD，可得树高。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：OB=5m，OD=40-5=35m，AB=1.7m，
∵∠AOB=∠COD，∠B=∠D=90°，
∴△ABO∽△CDO，
∴，即，
∴CD=11.9cm.
故答案为：B.
【分析】证明△ABO∽△CDO，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题可得
AB=5cm，OE=2cm，
解得
故答案为：A.
【分析】先证明得到再证明得到从而得到把AB=5cm，OE=2cm，代入计算即可求解.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=，
∵车头近似看成一个矩形，
∴FA∥CD，
∴△PFA∽△PEB，
∴，
∴，
解得：x=，
即FA的长度为米。
故答案为：D。
【分析】如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=，然后根据△PFA∽△PEB，可得，即可得出，解方程即可得出FA的长度。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，
则 ， ，
解得：x=2，y=4.5，
即CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数得出△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例得出AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，根据比例式建立出方程组，求解即可得出答案。
10．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∵AB=14，CD=40，AC=70，
∴，解得：DE=8.
故答案为：8.
【分析】由题意得DE∥AB，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEC∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式求解.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出，可得，即，再求出CD的长即可.
12．【答案】0.375
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥BE，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
即，
∴BC=0.375m.
故答案为：0.375.
【分析】，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长，从而得到答案.
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得：＝ ．
解得：x＝6．
∴蜡烛火焰的高度是6cm．
故答案为：6．
【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算，即可求解.
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意易得FC∥DE，推出△BFC∽△BED，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得BC的长；
（2）根据光学知识，∠FCB=∠GAB，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGA∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AG的长，从而得出答案.
16．【答案】（1）解：光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
，
，
，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）解：由题意可得：，
，
，
，
解得：，
答：点到地面的高度的长为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由入射角等于反射角证得，再根据相似三角形的对应边成比例建立方程求解即可；
（2）由得到，再再利用相似三角形的性质列方程求解即可.
17．【答案】解：由题意可知，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，∠AHB＝∠FHG，∠FGH＝∠ABH，
∴△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH，
∴，
∴，
∴，
解得，BE＝10，
∴AB＝8m，
答：树的高度AB为8m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法求出 △CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH， 再根据相似三角形的性质求出 ， 最后计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：古树的高度是．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出DE的长即可；
（2）先证明，可得，将数据代入可得，求出，最后求出即可。
19．【答案】（1）解：如图所示，
设DE=xcm，则AD=（8－x）cm，
根据题意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4（cm）
（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，
∴CD=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，
∴∠DCE=∠BCF
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴CF=（cm），
答：CF的高是cm
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1） 设DE=xcm，则AD=（8－x）cm， 根据“ 图1、图2所示水的体积相等 ”列出方程并解之即可；
（2）由勾股定理求出CD的长，再证△CDE∽△CBF，可得，据此即可求解.
20．【答案】（1）解：设正方形零件的边长为xmm，则，
∵，∴．
∴，∴，解得．
∴正方形零件的边长为
（2）解：．理由如下：如图．
设每个正方形的边长为a
∵
∴
∴，∴
∴
∴
又∵
∴．，
∴
∴
∴
（3）解：①；
②如图，设每个正方形的边长为a．
∵，∴．
∴
∴，∴
∵，∴．
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，设小正方形边长为2a，
∴EF=MN=ND=2a
由（2）中结论可知，
∴
∴
∴AM=a
∴
∴AD=5AM=5a
由（1）中结论可知，
∴
∴BC=5EF=10a
∴
【分析】（1）通过设正方形零件边长，分别表示出，在证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，列出等式，即可求出边长；
（2）通过设正方形边长为a，先证明，得到边长，在表示出AD长为3a，继而得到边之比：，在证明，得到边之比：，在表示出BC长为3a，最后得到AD=BC；
（3）①设小正方形边长为2a，即EF=MN=ND=2a，结合（1）、（2）问可知，先证明，得到边长比：，则，则AM=a，可知，则AD=5a，在证明，得到边长比：，则BC=10a，则；②设小正方形边长为a，根据，得到相似比为：，继而得到关系式：，再根据，得到边之比：，则。
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一、选择题
1．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，工人分别按图中甲、乙两种方式把它加工成一个正方形桌面，则正方形的面积较大的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法判断
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在甲中：设小正方形边长为a，三角形面积1=，则BC=2，
AD=AC-CD=1-a，BF=BC-CF=2-a，
∵DE∥CF，
∴∠AED=∠B，
又 ∠ADE=∠EFB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为；
在乙中：设小正方形边长为b，过点C作CM⊥AB于点M，交DE于N，
由题意AB=，
∵三角形面积1=，
∴CM=，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∵，
∴甲的面积大于乙的面积.
故答案为：A.
【分析】要比较两个正方形面积面积，求出两个边长即可；在甲中，∠AED=∠B， ∠ADE=∠EFB=90°，两个角对应相等，两三角形相似，得出，相似三角形的对应边成比例，，解得；在乙中，要求DE，以现在的已知条件无法求出，题目给出三角形面积，由此可得三角形的高，故过C作三角形的高CM，由DE∥AB得，相似三角形对应高的比等于相似比，，由此，，因此甲中正方形的面积大于乙中正方形的面积.
2．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
3．（2023九上·宁远期中）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．18
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由镜面反射原理知
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵米，米，米，
∴（米）.
故该古城墙的高度是8米．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质求解。由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值求解．
4．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵CD=5cm，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∵零件的外径为12cm，
∴，
故答案为：C.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再结合，CD=5cm，求出AB=2CD=2×5=10cm，最后求出x的值即可.
5．（2023九上·寿阳月考）如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（ ）米．
A．6.2 B．10 C．11.2 D．12.4
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】
解：如图所示，由题知：小明身高CD=1.6m，小明影子DE=0.4m，树影地面DF=2.8m，树墙影高FH=AB=1.2m，
∴
∴ BD=4DF=11.2m
∴ AD=BD+AB=12.4m
故答案为D
【分析】本题考查三角形相似的性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键。根据题意，可得，计算BD，可得树高。
6．（2023九上·泗县月考）如图，一间学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，低头观察湖面，看到树的顶端在水中的倒影距自己远．若该同学的眼睛到地面的距离为，则树高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：OB=5m，OD=40-5=35m，AB=1.7m，
∵∠AOB=∠COD，∠B=∠D=90°，
∴△ABO∽△CDO，
∴，即，
∴CD=11.9cm.
故答案为：B.
【分析】证明△ABO∽△CDO，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
7．（2023九上·运城期中）据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像点、的对应点分别是、若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题可得
AB=5cm，OE=2cm，
解得
故答案为：A.
【分析】先证明得到再证明得到从而得到把AB=5cm，OE=2cm，代入计算即可求解.
8．（2023九上·新田月考）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=，
∵车头近似看成一个矩形，
∴FA∥CD，
∴△PFA∽△PEB，
∴，
∴，
解得：x=，
即FA的长度为米。
故答案为：D。
【分析】如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=，然后根据△PFA∽△PEB，可得，即可得出，解方程即可得出FA的长度。
二、填空题
9．（2017九上·深圳月考）墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A站测得他的影长与身长相等都为1.5m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m.
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，
则 ， ，
解得：x=2，y=4.5，
即CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数得出△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例得出AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，根据比例式建立出方程组，求解即可得出答案。
10．如图，在测量小玻璃管口径的量具ABC．上，AB的长为14 mm，AC被分为70等份．如果小管口DE正好对着量具40刻度线上处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是 mm．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∵AB=14，CD=40，AC=70，
∴，解得：DE=8.
故答案为：8.
【分析】由题意得DE∥AB，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEC∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式求解.
11．（2024九上·裕华开学考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出，可得，即，再求出CD的长即可.
12．如图所示，放置在水平地面上的一油桶高AC=1m，桶内有油，一根木棒长.将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底处，另一端恰好与桶盖小口处相齐.抽出木棒，若量得棒上的浸油部分DE的长为，则桶内油的深度是 .
【答案】0.375
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥BE，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
即，
∴BC=0.375m.
故答案为：0.375.
【分析】，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长，从而得到答案.
13．（2023九上·通川期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得：＝ ．
解得：x＝6．
∴蜡烛火焰的高度是6cm．
故答案为：6．
【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算，即可求解.
三、解答题
14．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
15．（2023·锦江模拟）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上.
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度.
【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意易得FC∥DE，推出△BFC∽△BED，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得BC的长；
（2）根据光学知识，∠FCB=∠GAB，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGA∽△BFC，由相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AG的长，从而得出答案.
16．（2024九上·渠县期末）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．
（1）求的长；
（2）求点E到地面的高度的长．
【答案】（1）解：光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
，
，
，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）解：由题意可得：，
，
，
，
解得：，
答：点到地面的高度的长为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由入射角等于反射角证得，再根据相似三角形的对应边成比例建立方程求解即可；
（2）由得到，再再利用相似三角形的性质列方程求解即可.
17．（2024九上·贵阳期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在BE的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离DE＝2m，小阳的眼睛点C到地面的距离CD＝1.6m；
②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离GH＝3.2m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB．
【答案】解：由题意可知，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，∠AHB＝∠FHG，∠FGH＝∠ABH，
∴△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH，
∴，
∴，
∴，
解得，BE＝10，
∴AB＝8m，
答：树的高度AB为8m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法求出 △CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH， 再根据相似三角形的性质求出 ， 最后计算求解即可。
18．（2022九上·宝山期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：古树的高度是．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出DE的长即可；
（2）先证明，可得，将数据代入可得，求出，最后求出即可。
19．（2022九上·济南期末）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．
（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求的长；
（2）求水面高度．
【答案】（1）解：如图所示，
设DE=xcm，则AD=（8－x）cm，
根据题意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4（cm）
（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，
∴CD=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，
∴∠DCE=∠BCF
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴CF=（cm），
答：CF的高是cm
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1） 设DE=xcm，则AD=（8－x）cm， 根据“ 图1、图2所示水的体积相等 ”列出方程并解之即可；
（2）由勾股定理求出CD的长，再证△CDE∽△CBF，可得，据此即可求解.
20．（2024·吉安模拟）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
（1）课本再现
在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少
（2）类比探究
如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为 ▲ （直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
【答案】（1）解：设正方形零件的边长为xmm，则，
∵，∴．
∴，∴，解得．
∴正方形零件的边长为
（2）解：．理由如下：如图．
设每个正方形的边长为a
∵
∴
∴，∴
∴
∴
又∵
∴．，
∴
∴
∴
（3）解：①；
②如图，设每个正方形的边长为a．
∵，∴．
∴
∴，∴
∵，∴．
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，设小正方形边长为2a，
∴EF=MN=ND=2a
由（2）中结论可知，
∴
∴
∴AM=a
∴
∴AD=5AM=5a
由（1）中结论可知，
∴
∴BC=5EF=10a
∴
【分析】（1）通过设正方形零件边长，分别表示出，在证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，列出等式，即可求出边长；
（2）通过设正方形边长为a，先证明，得到边长，在表示出AD长为3a，继而得到边之比：，在证明，得到边之比：，在表示出BC长为3a，最后得到AD=BC；
（3）①设小正方形边长为2a，即EF=MN=ND=2a，结合（1）、（2）问可知，先证明，得到边长比：，则，则AM=a，可知，则AD=5a，在证明，得到边长比：，则BC=10a，则；②设小正方形边长为a，根据，得到相似比为：，继而得到关系式：，再根据，得到边之比：，则。
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