【基础版】北师大版数学九年级上册4.6利用相似三角形测高 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
2．（2023九上·历下期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
3．（2020九上·周口期中）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
4．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
5．（2018九上·襄汾期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
6．（2019九上·榆树期末）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
7．（北师大版数学九年级上册第四章第6节利用相似三角形测高同步检测）如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（ ）
A．2m B．4m C．4.5m D．8m
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（ ）米．
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
9．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
10．（2021九上·太原期末）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 cm的地方．
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．
12．（2023九上·长清期中） 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝8cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 cm．
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形 单元检测a卷）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米．
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
15．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
16．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
17．（2024九上·嘉兴期末）如图，屋架跨度的一半，高度．现要在屋顶上开一个天窗，在水平位置，且．求天窗高度的长．
18．（2024九上·简阳期末）“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点．某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔的高度．小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．如图，此时测得，，，求印鳌阁塔的高度．
19．（2023九上·永修月考）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画（）的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置处，且与垂直．已知油画的长度为．
（1）视线的度数为 ；（用含的式子表示）
（2）当小然到墙壁的距离时，求油画顶部点到墙壁的距离；
（3）当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可）
20．（2023九上·宁远期中）有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．
（1）问加工成的正方形零件的边长是多少？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请计算．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，BC=1，EF=6，
∴，
解得：DE=12，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则 ，
∴x＝5.1m.
故答案为：B.
【分析】由题意易得三角形相似，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC。∴△EAB∽△EDC。∴ 。
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴ ，解得：AB＝40（m）。
故答案为：B。
【分析】先根据已知条件判定△EAB∽△EDC，再根据相似三角形的性质得，然后将BE、EC、CD的值代入，解所得比例方程即可求得AB的值。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得 ，然后利用比例性质求出CD即可．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】解答：设长臂端点升高x米，
则 ，
∴x=4．
故选：B．
分析：栏杆长短臂在升降过程中，形成的两个三角形相似，利用对应边成比例求解．此题考查相似三角形在实际生活中的运用．
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE，
∴ = ，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D．
【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
9．【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
10．【答案】60
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【分析】先证明△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
11．【答案】18
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
12．【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，△ACO∽△BDO，
∴，
∵OA＝3OB，BD＝8cm，
∴，
∴AC=24cm.
故答案为：24.
【分析】根据得意得△ACO∽△BDO，根据相似三角形的性质即可求解.
13．【答案】3.42
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴ ，
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，
∴BM=OB+OM=4+5=9（米），
∴ ，
解得：NM=3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AO∥NM，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABO∽△NBM，根据相似三角形对应边成比例建立方程即可求出MN的长度。
14．【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，
∴DE＝1.5CD＝3，
∵，
∴AB＝＝16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据比例关系得DE＝1.5CD＝3，然后再利用，计算求解即可.
15．【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST，则△PQR∽△PST，故 = ，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴ = ，解得：PQ=90（m），∴河的宽度为90米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 = ，进而代入求出即可．
16．【答案】解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M，且AM=AH-MH=80-40=40（m） ＝ ，即DG＝ ＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
17．【答案】解：由题意得，
又，
，
天窗高度的长
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可证得，所以有，代入各段长度，即可得AC长.
18．【答案】解：由题可知：，，
，
，，，
答：印鳌阁塔的高度为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据已知条件证明，利用相似三角形的性质得到，将数据代入计算即可求解.
19．【答案】（1）
（2）∵，，
∴，
∴，
∵=100cm，点E是AD的中点，
∴AE=50cm，
∴，
∴，
∴油画顶部到墙壁的距离是；
（3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁．
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）连接BD，如图所示：
∵，AB∥MN，
∴∠CAB=90°，
∴∠PAD+∠DAB=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DAB+∠ABE=90°，
∴∠PAD=∠ABE，
∵点E是AD的中点，
∴AB=BD，
∴∠ABD=2∠EAB，
∵，
∴，
故答案为；
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，根据等腰三角形的性质得到所以∠ABD=2∠EAB，进而得出答案；
（2）根据相似三角形的判定证得， 再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果．
（3）当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁．
20．【答案】（1）解：设正方形零件的边长为a，
在正方形中，，
∴，
∴，，
∴，
即：，
解得：．
即正方形零件的边长为．
小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（2）解：设矩形的边长，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
答：这个矩形零件的两条边长分别为，．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解。根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，从而得出边长之比，，得到，进行求出正方形的边长；
（2）根据相似三角形的性质求解。设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比例出比例式求出即可．
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册4.6利用相似三角形测高 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
2．（2023九上·历下期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，BC=1，EF=6，
∴，
解得：DE=12，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
3．（2020九上·周口期中）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则 ，
∴x＝5.1m.
故答案为：B.
【分析】由题意易得三角形相似，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
4．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
5．（2018九上·襄汾期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC。∴△EAB∽△EDC。∴ 。
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴ ，解得：AB＝40（m）。
故答案为：B。
【分析】先根据已知条件判定△EAB∽△EDC，再根据相似三角形的性质得，然后将BE、EC、CD的值代入，解所得比例方程即可求得AB的值。
6．（2019九上·榆树期末）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得 ，然后利用比例性质求出CD即可．
7．（北师大版数学九年级上册第四章第6节利用相似三角形测高同步检测）如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（ ）
A．2m B．4m C．4.5m D．8m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】解答：设长臂端点升高x米，
则 ，
∴x=4．
故选：B．
分析：栏杆长短臂在升降过程中，形成的两个三角形相似，利用对应边成比例求解．此题考查相似三角形在实际生活中的运用．
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（ ）米．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE，
∴ = ，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D．
【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
二、填空题
9．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
10．（2021九上·太原期末）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 cm的地方．
【答案】60
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【分析】先证明△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．
【答案】18
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
12．（2023九上·长清期中） 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝8cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 cm．
【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，△ACO∽△BDO，
∴，
∵OA＝3OB，BD＝8cm，
∴，
∴AC=24cm.
故答案为：24.
【分析】根据得意得△ACO∽△BDO，根据相似三角形的性质即可求解.
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形 单元检测a卷）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米．
【答案】3.42
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴ ，
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，
∴BM=OB+OM=4+5=9（米），
∴ ，
解得：NM=3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AO∥NM，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABO∽△NBM，根据相似三角形对应边成比例建立方程即可求出MN的长度。
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，
∴DE＝1.5CD＝3，
∵，
∴AB＝＝16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据比例关系得DE＝1.5CD＝3，然后再利用，计算求解即可.
15．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST，则△PQR∽△PST，故 = ，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴ = ，解得：PQ=90（m），∴河的宽度为90米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 = ，进而代入求出即可．
16．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
【答案】解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M，且AM=AH-MH=80-40=40（m） ＝ ，即DG＝ ＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
17．（2024九上·嘉兴期末）如图，屋架跨度的一半，高度．现要在屋顶上开一个天窗，在水平位置，且．求天窗高度的长．
【答案】解：由题意得，
又，
，
天窗高度的长
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可证得，所以有，代入各段长度，即可得AC长.
18．（2024九上·简阳期末）“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点．某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔的高度．小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．如图，此时测得，，，求印鳌阁塔的高度．
【答案】解：由题可知：，，
，
，，，
答：印鳌阁塔的高度为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据已知条件证明，利用相似三角形的性质得到，将数据代入计算即可求解.
19．（2023九上·永修月考）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面欣赏悬挂在墙壁上的油画（）的示意图，设油画与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置处，且与垂直．已知油画的长度为．
（1）视线的度数为 ；（用含的式子表示）
（2）当小然到墙壁的距离时，求油画顶部点到墙壁的距离；
（3）当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁，还是不动或者远离墙壁？（直接回答即可）
【答案】（1）
（2）∵，，
∴，
∴，
∵=100cm，点E是AD的中点，
∴AE=50cm，
∴，
∴，
∴油画顶部到墙壁的距离是；
（3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁．
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）连接BD，如图所示：
∵，AB∥MN，
∴∠CAB=90°，
∴∠PAD+∠DAB=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DAB+∠ABE=90°，
∴∠PAD=∠ABE，
∵点E是AD的中点，
∴AB=BD，
∴∠ABD=2∠EAB，
∵，
∴，
故答案为；
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，根据等腰三角形的性质得到所以∠ABD=2∠EAB，进而得出答案；
（2）根据相似三角形的判定证得， 再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果．
（3）当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁．
20．（2023九上·宁远期中）有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．
（1）问加工成的正方形零件的边长是多少？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请计算．
【答案】（1）解：设正方形零件的边长为a，
在正方形中，，
∴，
∴，，
∴，
即：，
解得：．
即正方形零件的边长为．
小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（2）解：设矩形的边长，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
答：这个矩形零件的两条边长分别为，．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解。根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，从而得出边长之比，，得到，进行求出正方形的边长；
（2）根据相似三角形的性质求解。设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比例出比例式求出即可．
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