江西省九江市同文中学2024-2025学年高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省九江市同文中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.满足的集合有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，则下面选项正确的为( )
A.
B.
C.
D. 整数、属于同一“类”的充分不必要要条件是“”
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
11.若，，，．，则以下说法正确的有( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 恒小于
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.命题“，使”是真命题，则的取值范围是 ．
13.已知，则的最小值为______．
14.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是，请写出所有满足条件的集合：______．
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，，．
求；
若且，求的取值范围．
16.本小题分
已知：关于的方程有实数根，：．
若命题是假命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
不等关系是数学中一种最基本的数量关系．请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是，第二周采购时价格是现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同．哪种采购方案更经济，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
若，试求函数的最小值；
对于任意的，不等式成立，试求的取值范围．
19.本小题分
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
参考答案
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14.或．
15.解：因为，，
所以或，
因为，
所以或；
因为，，
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以或，解得，
综上，的取值范围为．
16.解：命题是假命题，
则为真命题，
：关于的方程有实数根，
则，解得，
故实数的取值范围为．
：，：，
是的必要不充分条件，
则，解得，
故的取值范围为．
17.解：该不等式为，
证明：因为，所以，于是
若按第一种方案采购，每次购买量为，
则两次购买的平均价格为，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是，
则两次购买的平均价格为，
又，
所以第二种方案比较经济．
18.解：依题意得，
因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
所以当时，的最小值为．
因为，
所以要使得“，不等式成立”只需“在上恒成立”．
不妨设，则只需在上恒成立．
因为函数的最大值为、中的较大者，
所以，即，解得，
所以的取值范围是
19.解：由题意知：，，，
解得，，所以不动点为和．
依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，
所以的取值范围是．
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