山东省淄博实验中学2024-2025学年高一（上）第一次诊断数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博实验中学高一（上）第一次诊断
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.以下是真命题的( )
A. ，都有 B. ，都有
C. ，有 D. ，有
3.已知，则( )
A. B.
C. D.
4.设为给定的实常数，命题：，，则“”是“为真命题”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的定义域为，函数，则的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上具有单调性，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的解集为
D. 的最大值为
11.已知函数，若，，记，，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则 ______．
13.已知正实数，满足，则的最小值为______．
14.已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
集合，．
若，求，；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，点，是图象上的两点．
求，的值；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知二次函数满足，且．
求的解析式；
解关于的不等式；
集合，，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，其中，，，，都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数，．
若，，，，直接写出所有满足条件的集合；
若，且对任意，都有，求的最大值；
若，且对任意，都有，求的最大值．
参考答案
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15.解：若，则，
，
，．
是的必要条件，，
，，
实数的取值范围为．
16.解：因为点，在的图象上，
所以，解得，
所以，；
由可知，
易知在上单调递减，
所以，，
所以函数在上的最大值为，最小值为．
17.解：由题意知，利润收入总成本，
所以利润，
所以年的利润关于年产量的函数关系式为
．
当时，，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时取得等号；
综上，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元．
18.解：已知二次函数满足，且，
由题有，
则，得，，
所以，
又，所以，得到，
所以．
由知，由，得到，
即，变形得到
令
则或，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
由，得到，即，
令，因为，且，
所以，得，得，
所以实数的取值范围为
19.解：因为，则和的元素个数均为，
又因为，，，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或．
集合共有个不同的子集，将其两两配对成组，，
使得，，则，不能同时被选中为子集，故．
选择的个含有元素的子集：，，，，，符合题意．
综上，．
结论：，令，，，，，集合符合题意．
证明如下：
若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素，且元素都至多属于个子集，
所以除外的子集至多有个，故．
若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设，其它子集分两类：
或，，，，和或，，，，
其中，，互不相同，，互不相同且均不为，．
若，则，有，
若，则由得每个集合中都恰包含中的个元素不是，且互不相同，
因为中除外至多还有个元素，所以，
所以．
若均为三元集合，不妨设，将其它子集分为三类：
，，，，，，，，，，，，其中．
若，则除，，外，其它元素两个一组与构成集合，
所以．
若，不妨设则由得每个集合中都或者有、或者有，
又，，，中除外无其它公共元素，所以，
所以．
综上，．
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