辽宁省沈阳市重点学校高三上学期10月月考数学（PDF版，含答案）

沈阳市重点学校高三上学期10月月考
2024-2025 学年度上学期 10 月份月考
数学试卷
命题人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每个小题有且只有一个正确选项，每小题 5 分，共 40 分）
1．设集合 A = x Z∣x2 - 2x - 3 0 ， B = {x∣y = 2 - x}，则 A B = （ ）
A．{-1,0,1} B．{0,1,2} C．{-1,0,1,2} D．{1,2}
z + 2
2．若 = 2 - i ，则 z = （ ）
z
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
3．已知 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， p : S4 - S3 = a2 ，q : an 为常数列，则（ ）
A． p 是 q 的充分不必要条件 B． p 是 q 的必要不充分条件
C． p 是 q 充要条件 D． p 是 q 的既不充分也不必要条件
4．已知锐角a ， b 满足 sina - cosa 1= ， tana + tan b + 3 tana tan b = 3 ，则a 与 b 的大小关系
5
为（ ）
p p
A．a < < b B． b < < a
4 4
p
C． < a p< b D． < b < a
4 4
5．在等差数列 an 中，若 a4 + 2a9 = a2 = 8，则下列说法错误的是（ ）
A． a1 = 9 B． S10 = 45
C． Sn 的最大值为 45 D．满足 Sn > 0的 n 的最大值为 19
3p p p 36．已知a 0, ÷， b
0, ÷ ,sin

+a

÷ = ， cos
a b 5 3 cos p b+ = - - 则
4 2 ÷ ÷
= （ ）
è è è 4 3 è 2 9 è 4 2
4 2 4 2 2 2 2 2
A． B．- C． D．-
9 9 3 3
7．已知函数 f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷ 的部分图象如图所示， D(5,0)， B(2, A) ，
è 2
BC ^ CD，则 f (4) = （ ）
A．4 B． 10 C． 2 5 D． 4 2
ì-x2 - 2ax - a, x < 0
8．已知函数 f (x) = í x 的值域为R ，则 a 的取值范围是（ ）
e + ln(x +1) +1, x 0
A． (- , -2] B．[-2,0]
C． (- , -2] [2,+ ) D． (- , -1] [2,+ )
二、多选题（每小题 6 分，每个小题漏选 2 或 3 分或 4 分，有错选不得分，共 18 分）
9．已知 ax2 + bx + c > 0的解集是 (-2,3)，则下列说法正确的是（ ）
A．b + c > 0
B．不等式 cx2 - bx a 1 1+ < 0 的解集为 - , ÷
è 2 3
12
C． - a的最小值是 4
3b + 4
D．当 c = 2时，若 f (x) = 3ax2 + 6bx ， x n1, n2 的值域是[-3,1]，则 n2 - n1 [2, 4]
10．设 f (x) = 3a sin 2x + a cos 2x ，其中 a R ， a 0，则：（ ）
A． f (x) 相邻两个最高点之间的距离是p
B． f (x) 2a
C f (x) é p 2p ù． 的单调递增区间是 êkp + ,kp + 6 3 ú
(k Z)

p
D． f (x) 的图象向左平移 个单位长度得到的函数图象关于 y 轴对称．
6
11．已知函数 f (x) = x3 - ax2 +1，则（ ）
A．曲线 y = f (x) 关于点 (0,1) 成中心对称
B．$a R ， f (x) 无极值
C．若 f (x) 在 (2,+ ) 上单调递增，则 a < 3
D．若曲线 y = f (x) 与 x 轴分别交于点 A x1,0 ， B x2 ,0 ，C x3 ,0 ，且在这三个点处的切线斜率分别
k k 1 1 1为 1 ， 2 ， k3 则 + + 为定值k1 k2 k3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每个小题 5 分，共 15 分）
12．已知函数 f (x) = 2x - sin 2x ，则不等式 f x2 + f (3x - 4) < 0的解集为__________．
2
a a sin a 1 a sin2 a cos
2 a 3
13．已知数列 n 满足 n = 2 - n-1 ÷ + + ÷ an-1(n 2)a1 = ，则 an 的前2 è 2sin a è 2 4
n 项和 Sn = _________．
ì log2 x + 2x, x > 0
14 ．若函数 f (x) = í p 有 4 个零点，则正数w 的取值范围是__________．
sin wx + , -p x 0 è 3
÷

四、解答题（15 题 13 分，16、17 题每小题 15 分，18、19 题每小题 17 分，共 77 分）
15．（本小题满分 13 分）
已知DABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c， 3bsin C - c cos B = c．．
（1）求角 B．
（2）若DABC 为锐角三角形，且 a = 2，求DABC 面积的取值范围．
16．（本小题满分 15 分）
设 an 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn ，已知 an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项．
（1）求数列 an 的通项公式；
1 b a（2）令 = n+1
a
n +
n ÷ n N* ，求 bn 的前 n 项和．2 è an an+1
17．（本小题满分 15 分）
已知曲线 f (x) = aex - x + b 在 x = 0 处的切线过点 1, a2 + 2a -1 ．
（1）试求b - a2 的值；
（2）讨论 f (x) 的单调性；
3
（3）证明：当 a > 0时， f (x) > 2ln a + ．
2
18．（本小题满分 17 分）
在DABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c． AD 为 BC 边上的中线，点 E ， F 分别为边
AB AC EF AD G b = 4 2c sin Acos B a sin A bsin B 1， 上动点， 交 于 ．已知 ，且 = - + bsin C ．
4
（1）求 c边的长度；
cos BAD 21（2）若 = ，求 BAC 的余弦值；
7
uuur uuur
（3）在（2）的条件下，若 S△ABC = 4S△AEP ，求 AG × EF 的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）
已知对任意正整数 n ，均有 cos(nx) = a cosn x + a n-1n n- cos x +L + a cos x + a0 ，我们称
f (x) = an x
n + a n-1n-1x +L + a1x + a0 (-1 x 1)为 n 次切比雪夫函数．
（1）若 f (x) 为 3 次切比雪夫函数，求 f (1)的值．
（2）已知 f (x) 为 2n x x (2k -1)p次切比雪夫函数，若数列 k 满足 k = (k =1,2,L , 2n) ．证明：4n
①数列 cos xk 中的每一项均为 f (x) 的零点；
②当 n 2 x时， cos n-1 + xn p< ．
2 2n cos p
4n
2024-2025 学年度上学期 10 月份月考
数学试卷答案
一、单选题
1-8．CABB DCAC
二、多选题
9．ACD 10．AD 11．BD．
三、填空题
n 1 1 7 10
12． (-4,1) 13． + - n+1 14
é , ．
2 2 2 ê3 3 ÷
四、解答题
15．（1） 3bsin C - c cos B = c，由正弦定理得： 3 sin B sin C - sin C cos B = sin C ，
因为0 < C < p ， sin C > 0 p 1，所以 3 sin B - cos B =1，所以 sin B - ÷ = ，
è 6 2
p p p
因为0 < B < p ，所以 B - = ，解得 B = ；
6 6 3
（2）由题设
3 1
3 sin 2p - A

÷ 3 cos A + sin A1 3 2 2
÷
S = ac sin B = c 3 a= sin C 3 sin C è 3 è 3 3= = = = +
2 2 2 sin A sin A sin A sin A 2 2 tan A
，
VABC 0 A p 0 C 2p p p p因为 为锐角三角形，所以 < < ， < = - A < 从而 < A < ，
2 3 2 6 2
3 3 3 3 3
可得 tan A > ，所以0 < < ，则面积的取值范围是 , 2 3 ．
3 2 tan A 2 2 ÷÷è
n =1 a + 216．（1）由题意，当 时有 1 = 2S1 ， S1 = a2 1
，
a1 + 2 2a a + 2所以 = 1 ，解得： a1 = 2， n = 2Sn n N* ，2 2
1
整理得 Sn = an + 2
2 1
，由此得 Sn+1 = an+1 +1
2
，
8 8
1
所以 a = S é 2 2 ùn+1 n+1 - Sn = an+1 + 2 - an + 2 8 ，
整理得 an+1 + an an+1 - an - 4 = 0，由题意知 an+1 + an 0，
所以 an+1 - an = 4，即数列 an 为等差数列，其中 a1 = 2，公差 d = 4，
所以 an = 4n - 2 ．
（2）令 cn = bn -1，
c 1
an+1 an 2 1 é 2n +1 2n -1 ù 1 1则 n =

+ - ÷ = ê -1÷ +
-1 = - ，
2 a a ÷úè n n+1 2 è 2n -1 è 2n +1 2n -1 2n +1
故b1 + b2 +L + bn - n = c1 + c2 +L + cn ，
T n 1 1 1 1 1 1 1n - = - ÷ + -

÷ +L +
- =1-
è 3 è 3 5 è 2n -1 2n +1÷ 2n +1
所以T 1n = n +1- ．2n +1
17．（1）函数 f (x) = aex - x + b ，求导得 f (x) = aex -1，则 f (0) = a -1，而 f (0) = a + b，因此曲线
f (x) 在 x = 0 处的切线方程为 y - a - b = (a -1)x ，
即 y = (a -1)x + a + b，
依题意， a2 + 2a -1 = a -1+ a + b ，
所以则b - a2 = 0．
2 1 f (x) = aex - x + a2 x（ ）由（ ）知函数 ，其定义域为 R ，求导得 f (x) = ae -1，
当 a 0 时， f (x) < 0， f (x) 在 R 上单调递减；
当 a > 0时，由 f (x) = aex -1 = 0，得 x = - ln a ，
当 x < - ln a时， f (x) < 0， f (x) 在 (- , - ln a)上单调递减；
当 x > - ln a 时， f (x) > 0， f (x) 在 (- ln a, + )上单调递增；
所以当 a 0 时， f (x) 在 R 上单调递减；
当 a > 0时， f (x) 在 (- , - ln a)上单调递减，在 (- ln a, + )上单调递增．
（3）由（2）得 f (x) = f (- ln a) = a e- ln amin + a + ln a =1+ a2 + ln c ，
要证明 f (x) 2 ln a 3 3 1> + ，即证1+ a2 + ln a > 2ln a + ，即证 a2 - ln a - > 0，
2 2 2
2
令 g(a) = a2 - ln a 1- ，求导得 g (a) 1 2a -1= 2a - = ，
2 a a
2 2
由 g (a) < 0，得0 < a < ，由 g (a) > 0，得 a > ，
2 2

g(a) 0, 2
2
即函数 在 ÷÷ 上单调递减，在2
,+
2 ÷÷
上单调递增，
è è
2

因此 g(a) 2 2 1 2min = g ÷÷ = ÷÷ - - ln = ln 2 > 0，
è 2 è 2 2 2
即 g(a) = a2 - ln a 1- > 0 恒成立，
2
a > 0 f (x) 2 ln a 3所以当 时， > + ．
2
18．（1）由已知 2c sin Acos B = a sin A - bsin B 1+ bsin C ，
4
1
由正弦定理角化边可得， 2ca cos B = a2 - b2 + bc ．
4
2 2 2
由余弦定理角化边可得， 2ca c + a - b× = a2 - b2 1+ bc，
2ac 4
1
整理可得， c2 = bc ，即b = 4c．
4
因为b = 4 ，所以 c =1．
uuur 1 uuur uuur
（2）因为 D 为中点，所以 AD = (AB + AC)．
2
uuur uuur
设 AB ， AC 的夹角为q ，
uuur 1 uuuur uuur 2 uuur uuur
则 | AD |= AB2 AC 2AB AC 1+ + × = c2 + b2 + 2bc cosq 17 + 8cosq=
2 2 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuurAB AD AB (AB AC) AB AB AC c
2 + cbcosq 1+ 4cosq
又 × = × + = + × = = ，
2 2 2 2
uuur uuur
cos BAD uAuuBr × AD 1+ 4cosq 21所以 = uuur = = ，
| AB || AD | 17 + 8cosq 7
整理可得 28cos2 q + 8cosq -11 = 0，
1 11
解得 cosq = 或 cosq = - ．
2 14
cos BAD 21
uuur uuur
又 = > 0 ，所以 AB × AD > 0 ，1+ 4cosq > 0 ，
7
所以 cosq 1 1= ，所以 BAC 的余弦值为 ．
2 2
uuur uuur uuur uuur
（3）由（2）可得， AB × AC =| AB | × | AC | cosq = 2．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由已知可设 AD = k AG ， AB = l AE ， AC = m AF (k,l, m [1,+ ))
uuur uuur
uuur uuur uuur | AB | 1 uuur uuur uuur
所以 | AB | l | AE | | AE | | AC | m | AF | | AF | | AC | 4= ， = = ， = ， = = ．
l l m m
1 uuur uuur
S × | AB || AC | ×sinq
1
1 4sinq
因为 VABC = 4 ，所以 2 2
S 1 uuur uuur
= = lm = 4．
VABF × | AE || AF | sinq 1 1 4× × sinq
2 2 l m
uuur
AD 1
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由 = AB + AC 可得， 2k AG = l AE + m AF ，即 AG l= AE m+ AF ．
2 2 2k 2k
由G ， E l m， F 三点共线，得 + =1，即l + m = 2k ．
2k 2k
uuur uuur 1 uuur uuur uuur
所以 AG × EF = AD × (AF - AE)
k
1 uuur uuur uuur uuur é uuur uuur uuur uuur ù
= (AB + AC) 1× AC
1 AB 1 1 1 1 1 - ÷ = × × | AC |
2 - × | AB |2 + - AB × AC
2k è m l 2k
ê m l m l ÷ ú è
4
1 16 1 2 2 3 6l - m 3 6l -
= × - + - = × = ×
l
2k è m l m l
÷
lm l + m 4 l 4+
l
3 6l 2 - 4 3 6l 2 + 24 - 28 3 28
= × 2 = × 2 =

4 l + 4 4 l + 4 4
6 - ．
è l 2 + 4 ÷
m 4因为 = 1，所以l 4 ，
l
l [1, 4] l 2即 ，所以 + 4 [5, 20]，
28 28 28 28 28 28 2 6 28 23所以 ，即- - - ，即 - ，
20 l 2 + 4 5 5 l 2 + 4 20 5 l 2 + 4 5
3 3 28 69
所以 6 - ，
10 4 è l 2 + 4 ÷ 20
3 uuur uuurAG EF 69
uuur uuur é 3 69 ù
所以 × ，所以 AG × EF 的取值范围为 ê , ú ．10 20 10 20
19．（1）（方法一）因为
cos3x = cos 2x cos x - sin 2x sin x = 2cos3 x - cos x - 2sin2 x cos x = 4cos3 x - 3cos x ，
f (x) = 4x3所以 - 3x ，则 f (1) = 4 - 3 =1．
（方法二）由题意得 f (x) = a x33 + a2x
2 + a1x + a0 ，
令 x = 0 ，得 cos 0 = an ×cos
n 0 + a n-1n-1 ×cos 0 + +a1 ×cos 0 + a0 =1，
即 an + an-1 + +a0 =1，则 f (1) = a3 + a2 + a1 + a0 =1．
（2）证明：①由题可知 f (x) = a 2n 2n-12n x + a2n-1x +L + a1x + a0 ，
则 f cos xk = a2n cos2n xk + a2n-1 cos2n-1 xk +L + a1 cos xk + a0 = cos 2nxk ．
x (2k -1)p 2k -1因为 k = ，所以 f cos xk = cos 2nxk = cos 2n × p

÷ = cos
kp p- = 0，
4n 4n ÷è è 2
所以数列 cos xk 中的每一项均为 f (x) 的零点．
g(x) cos x x p p②令 = + - 0 < x <

÷ ，则 g (x) =1- sin x > 0， g(x)
p
在 0, ÷上单调递增，2 è 2 è 2
则 g(x) p< g ÷ = 0 ，即 cos x
p
< - x．
è 2 2
ì p
(2n - 3)p (2n -1)p
cos xn-1 < - xn-1
因为0 < xn-1 = < = x
p
< 2，所以
4n 4n n 2 í cos x pn < - x 2 n
x + x
则 cos x + cos x < p - x + x ，则 cos n-1 n p - xcos xn-1 - xn n-1 + xn n-1 n n-1 n < ．2 2 2
x x (2n - 3)p (2n -1)p p x x (2n - 3)p (2n -1)p (n -1)p因为 n-1 - n = - = ， + = + = ，4n 4n 2n n-1 n 4n 4n n
cos xn-1 - xn cos p= - p x + x
p - x
= cos > 0 cos n-1 n < n-1
+ xn p
所以 ÷ ，从而 = ．2 è 4n 4n 2 2cos xn-1 - xn 2n cos p
2 4n
2024-2025 学年度上学期 10 月份月考
数学试卷答案
一、单选题
1-8．CABB DCAC
二、多选题
9．ACD 10．AD 11．BD．
三、填空题
n 1 1 7 10
12． (-4,1) 13． + - n+1 14
é , ．
2 2 2 ê3 3 ÷
四、解答题
15．（1） 3bsin C - c cos B = c，由正弦定理得： 3 sin B sin C - sin C cos B = sin C ，
因为0 < C < p ， sin C > 0 p 1，所以 3 sin B - cos B =1，所以 sin B - ÷ = ，
è 6 2
p p p
因为0 < B < p ，所以 B - = ，解得 B = ；
6 6 3
（2）由题设
3 1
3 sin 2p - A

÷ 3 cos A + sin A1 3 2 2
÷
S = ac sin B = c 3 a= sin C 3 sin C è 3 è 3 3= = = = +
2 2 2 sin A sin A sin A sin A 2 2 tan A
，
VABC 0 A p 0 C 2p p p p因为 为锐角三角形，所以 < < ， < = - A < 从而 < A < ，
2 3 2 6 2
3 3 3 3 3
可得 tan A > ，所以0 < < ，则面积的取值范围是 , 2 3 ．
3 2 tan A 2 2 ÷÷è
n =1 a + 216．（1）由题意，当 时有 1 = 2S1 ， S1 = a2 1
，
a1 + 2 2a a + 2所以 = 1 ，解得： a1 = 2， n = 2Sn n N* ，2 2
1
整理得 Sn = an + 2
2 1
，由此得 Sn+1 = an+1 +1
2
，
8 8
1
所以 a = S é 2 2 ùn+1 n+1 - Sn = an+1 + 2 - an + 2 8 ，
整理得 an+1 + an an+1 - an - 4 = 0，由题意知 an+1 + an 0，
所以 an+1 - an = 4，即数列 an 为等差数列，其中 a1 = 2，公差 d = 4，
所以 an = 4n - 2 ．
（2）令 cn = bn -1，
c 1
an+1 an 2 1 é 2n +1 2n -1 ù 1 1则 n =

+ - ÷ = ê -1÷ +
-1 = - ，
2 a a ÷úè n n+1 2 è 2n -1 è 2n +1 2n -1 2n +1
故b1 + b2 +L + bn - n = c1 + c2 +L + cn ，
T n 1 1 1 1 1 1 1n - = - ÷ + -

÷ +L +
- =1-
è 3 è 3 5 è 2n -1 2n +1÷ 2n +1
所以T 1n = n +1- ．2n +1
17．（1）函数 f (x) = aex - x + b ，求导得 f (x) = aex -1，则 f (0) = a -1，而 f (0) = a + b，因此曲线
f (x) 在 x = 0 处的切线方程为 y - a - b = (a -1)x ，
即 y = (a -1)x + a + b，
依题意， a2 + 2a -1 = a -1+ a + b ，
所以则b - a2 = 0．
2 1 f (x) = aex - x + a2 x（ ）由（ ）知函数 ，其定义域为 R ，求导得 f (x) = ae -1，
当 a 0 时， f (x) < 0， f (x) 在 R 上单调递减；
当 a > 0时，由 f (x) = aex -1 = 0，得 x = - ln a ，
当 x < - ln a时， f (x) < 0， f (x) 在 (- , - ln a)上单调递减；
当 x > - ln a 时， f (x) > 0， f (x) 在 (- ln a, + )上单调递增；
所以当 a 0 时， f (x) 在 R 上单调递减；
当 a > 0时， f (x) 在 (- , - ln a)上单调递减，在 (- ln a, + )上单调递增．
（3）由（2）得 f (x) = f (- ln a) = a e- ln amin + a + ln a =1+ a2 + ln c ，
要证明 f (x) 2 ln a 3 3 1> + ，即证1+ a2 + ln a > 2ln a + ，即证 a2 - ln a - > 0，
2 2 2
2
令 g(a) = a2 - ln a 1- ，求导得 g (a) 1 2a -1= 2a - = ，
2 a a
2 2
由 g (a) < 0，得0 < a < ，由 g (a) > 0，得 a > ，
2 2

g(a) 0, 2
2
即函数 在 ÷÷ 上单调递减，在2
,+
2 ÷÷
上单调递增，
è è
2

因此 g(a) 2 2 1 2min = g ÷÷ = ÷÷ - - ln = ln 2 > 0，
è 2 è 2 2 2
即 g(a) = a2 - ln a 1- > 0 恒成立，
2
a > 0 f (x) 2 ln a 3所以当 时， > + ．
2
18．（1）由已知 2c sin Acos B = a sin A - bsin B 1+ bsin C ，
4
1
由正弦定理角化边可得， 2ca cos B = a2 - b2 + bc ．
4
2 2 2
由余弦定理角化边可得， 2ca c + a - b× = a2 - b2 1+ bc，
2ac 4
1
整理可得， c2 = bc ，即b = 4c．
4
因为b = 4 ，所以 c =1．
uuur 1 uuur uuur
（2）因为 D 为中点，所以 AD = (AB + AC)．
2
uuur uuur
设 AB ， AC 的夹角为q ，
uuur 1 uuuur uuur 2 uuur uuur
则 | AD |= AB2 AC 2AB AC 1+ + × = c2 + b2 + 2bc cosq 17 + 8cosq=
2 2 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuurAB AD AB (AB AC) AB AB AC c
2 + cbcosq 1+ 4cosq
又 × = × + = + × = = ，
2 2 2 2
uuur uuur
cos BAD uAuuBr × AD 1+ 4cosq 21所以 = uuur = = ，
| AB || AD | 17 + 8cosq 7
整理可得 28cos2 q + 8cosq -11 = 0，
1 11
解得 cosq = 或 cosq = - ．
2 14
cos BAD 21
uuur uuur
又 = > 0 ，所以 AB × AD > 0 ，1+ 4cosq > 0 ，
7
所以 cosq 1 1= ，所以 BAC 的余弦值为 ．
2 2
uuur uuur uuur uuur
（3）由（2）可得， AB × AC =| AB | × | AC | cosq = 2．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由已知可设 AD = k AG ， AB = l AE ， AC = m AF (k,l, m [1,+ ))
uuur uuur
uuur uuur uuur | AB | 1 uuur uuur uuur
所以 | AB | l | AE | | AE | | AC | m | AF | | AF | | AC | 4= ， = = ， = ， = = ．
l l m m
1 uuur uuur
S × | AB || AC | ×sinq
1
1 4sinq
因为 VABC = 4 ，所以 2 2
S 1 uuur uuur
= = lm = 4．
VABF × | AE || AF | sinq 1 1 4× × sinq
2 2 l m
uuur
AD 1
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由 = AB + AC 可得， 2k AG = l AE + m AF ，即 AG l= AE m+ AF ．
2 2 2k 2k
由G ， E l m， F 三点共线，得 + =1，即l + m = 2k ．
2k 2k
uuur uuur 1 uuur uuur uuur
所以 AG × EF = AD × (AF - AE)
k
1 uuur uuur uuur uuur é uuur uuur uuur uuur ù
= (AB + AC) 1× AC
1 AB 1 1 1 1 1 - ÷ = × × | AC |
2 - × | AB |2 + - AB × AC
2k è m l 2k
ê m l m l ÷ ú è
4
1 16 1 2 2 3 6l - m 3 6l -
= × - + - = × = ×
l
2k è m l m l
÷
lm l + m 4 l 4+
l
3 6l 2 - 4 3 6l 2 + 24 - 28 3 28
= × 2 = × 2 =

4 l + 4 4 l + 4 4
6 - ．
è l 2 + 4 ÷
m 4因为 = 1，所以l 4 ，
l
l [1, 4] l 2即 ，所以 + 4 [5, 20]，
28 28 28 28 28 28 2 6 28 23所以 ，即- - - ，即 - ，
20 l 2 + 4 5 5 l 2 + 4 20 5 l 2 + 4 5
3 3 28 69
所以 6 - ，
10 4 è l 2 + 4 ÷ 20
3 uuur uuurAG EF 69
uuur uuur é 3 69 ù
所以 × ，所以 AG × EF 的取值范围为 ê , ú ．10 20 10 20
19．（1）（方法一）因为
cos3x = cos 2x cos x - sin 2x sin x = 2cos3 x - cos x - 2sin2 x cos x = 4cos3 x - 3cos x ，
f (x) = 4x3所以 - 3x ，则 f (1) = 4 - 3 =1．
（方法二）由题意得 f (x) = a x33 + a2x
2 + a1x + a0 ，
令 x = 0 ，得 cos 0 = an ×cos
n 0 + a n-1n-1 ×cos 0 + +a1 ×cos 0 + a0 =1，
即 an + an-1 + +a0 =1，则 f (1) = a3 + a2 + a1 + a0 =1．
（2）证明：①由题可知 f (x) = a 2n 2n-12n x + a2n-1x +L + a1x + a0 ，
则 f cos xk = a2n cos2n xk + a2n-1 cos2n-1 xk +L + a1 cos xk + a0 = cos 2nxk ．
x (2k -1)p 2k -1因为 k = ，所以 f cos xk = cos 2nxk = cos 2n × p

÷ = cos
kp p- = 0，
4n 4n ÷è è 2
所以数列 cos xk 中的每一项均为 f (x) 的零点．
g(x) cos x x p p②令 = + - 0 < x <

÷ ，则 g (x) =1- sin x > 0， g(x)
p
在 0, ÷上单调递增，2 è 2 è 2
则 g(x) p< g ÷ = 0 ，即 cos x
p
< - x．
è 2 2
ì p
(2n - 3)p (2n -1)p
cos xn-1 < - xn-1
因为0 < xn-1 = < = x
p
< 2，所以
4n 4n n 2 í cos x pn < - x 2 n
x + x
则 cos x + cos x < p - x + x ，则 cos n-1 n p - xcos xn-1 - xn n-1 + xn n-1 n n-1 n < ．2 2 2
x x (2n - 3)p (2n -1)p p x x (2n - 3)p (2n -1)p (n -1)p因为 n-1 - n = - = ， + = + = ，4n 4n 2n n-1 n 4n 4n n
cos xn-1 - xn cos p= - p x + x
p - x
= cos > 0 cos n-1 n < n-1
+ xn p
所以 ÷ ，从而 = ．2 è 4n 4n 2 2cos xn-1 - xn 2n cos p
2 4n