2024-2025学年江西省部分学校高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江西省部分学校高二（上）质检数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
4.在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.若圆与圆相切，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.莱莫恩定理指出：过的三个顶点，，作它的外接圆的切线，分别和，，所在直线交于点，，，则，，三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的线的方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则( )
A. 顺次连接，的四个焦点构成一个正方形
B. 的面积为的倍
C. 的方程为
D. 线段的中点始终在直线上
11.若点的坐标是，圆：关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点在直线上
B. 的取值范围是
C. 以为直径的圆过定点
D. 若直线与圆切于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是______．
13.已知直线：，点是圆：上的一点，则点到直线的距离的最大值为______．
14.在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线：与直线：相交于点，直线经过点．
若直线，求直线的方程；
若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知在椭圆上，，分别为的左、右焦点．
求，的值及的离心率；
若动点，均在上，且，在轴的两侧，求四边形的周长及四边形的面积的取值范围．
17.本小题分
已知圆，圆．
讨论圆与圆的位置关系；
当时，求圆与圆的公切线的方程．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长与焦距均为，，是椭圆上的动点，为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
若直线与斜率的乘积为，动点满足，其中实数为常数，若存在两个定点，，使得，求，的坐标及的值．
19.本小题分
已知圆：，直线：与圆交于，两点，过，分别作直线：的垂线，垂足分别为，分别异于，．
求实数的取值范围；
若，用含的式子表示四边形的面积；
当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程．
参考答案
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15.解：联立，解得，即．
，不妨设直线的方程为，
将点代入，得，
直线的方程为．
当直线经过坐标原点时，直线的方程是，即；
当直线不经过坐标原点时，设直线的方程为，
将点代入，得，
直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程是或．
16.解：在椭圆上，
，解得，
，椭圆的离心率．
动点，均在上，且，在轴的两侧，
由椭圆的定义，得四边形的周长为，
四边形的面积为
四边形的面积的取值范围是．
17.解：，两圆的半径分别为和，
当，即或时，圆与圆内含；
当，即或时，圆与圆内切；
当，即时，圆与圆相交；
当时，，即圆与圆不可能外切也不可能外离．
当时，由得与圆相交，
设圆，圆的公切线的方程为，
则，，
所以，
所以或，代入，
得，
所以公切线的方程为或．
18.解：根据题意可得，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
设，，，
由，可得，，
因为，在椭圆上，
所以，，
所以
，
因为，
所以，
所以，即，
所以点是椭圆上的点，
所以两定点，是该椭圆上的两焦点，
由椭圆的定义可得，
所以，
又因为，
所以两定点坐标分别为，或，．
19.解：圆的方程为：，
其圆心为，半径为，
又直线：与圆交于，两点，
圆心到直线的距离，
，
解得，
实数的取值范围为；
当时，设，，
则，，
联立，可得，
，，，
，
四边形为直角梯形，
四边形的面积为
；
证明：由可知，，
，，且直线、的斜率存在，
当时，由知：
，，，，
直线的方程为，直线的方程为，
、相交，，即，，
，，
联立，
可得
，
，
，
点在定直线上运动．
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