2024-2025学年黑龙江省佳木斯一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省佳木斯一中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.方程表示椭圆，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
3.下列说法正确的是( )
A. 不能表示过点且斜率为的直线方程
B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
C. 直线与轴的交点到原点的距离为
D. 设，，若直线：与线段有交点，则的取值范围是
4.椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
8.已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，，，则直线，，，，这条直线的斜率乘积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆与圆：相外切
D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是
10.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是( )
A. 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
B. 轨迹上的点到直线的最小距离为
C. 若点在轨迹上，则的最小值是
D. 圆与轨迹有公共点，则的取值范围是
11.已知椭圆：，，分别为它的左、右焦点，，分别为它的左、右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 存在点，使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值
C. 有最小值 D. 的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点，圆：，若直线与圆相切，则直线的方程为______．
13.已知圆：，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆的圆周，反射光线所在直线的方程是______．
14.已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面直角坐标系中，圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切，与圆外切．
求动圆的圆心的轨迹方程；
当时，求的大小．
16.本小题分
已知圆的圆心在上，点在圆上，且圆与直线相切．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ过点和点的直线交圆于、两点，求弦的长．
17.本小题分
已知直线：，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等．
求直线的方程；
若直线被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆：，．
证明：圆过定点；
当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积最小值，并写出此时直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
若椭圆上点处的切线方程是，
过直线：上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：圆的方程为，即有圆心为，半径为，
圆的方程为，即有圆心为，半径为．
设动圆的圆心为，半径为，
动圆与圆内切，与圆外切，
得，，
所以，
所以，点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，其中，，故，
所以，动圆的圆心的轨迹方程为椭圆．
记，，，
由知，，
由余弦定理可得，
整理得，即，
所以．

16.解：Ⅰ设圆的标准方程为：分
由题意得：，分
解得：，分
圆的标准方程为：分
Ⅱ直线过点和点，
直线的斜率为，分
直线为：，分
设圆心到直线的距离为，分
，
分
，分
弦的长为．
17.解：由题意设直线，的交点坐标为，则，得，
所以直线，的交点坐标为，
由题意设直线为，则，得，
所以直线的方程为；
设直线交直线，分别于点，，
因为为的中点，所以，，
因为，，
所以，即，
由，解得，，
所以，，所以，，
所以，
所以直线的方程为，即．
18.解：依题意，将圆的方程化为
，
令，即，则恒成立，
解得，，即圆过定点．
当时，圆：，
直线，
设，依题意四边形的面积，
当取得最小值时，四边形的面积最小，
又，即当最小时，四边形的面积最小，
圆心到直线的距离即为的最小值，
即，
，即四边形面积最小值为，
此时直线与直线垂直，
所以直线的方程为，与直线联立，解得，
设以为直径的圆上任意一点，，
故圆的方程为，
即，又圆：，
两式作差可得直线方程．

19.解：由题意可知：，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：设，，，
由题设可知：，
又因为，经过点，
所以，所以，均在直线上，
即：，
由，解得，
所以直线过定点；
设实数存在，因为，所以，
当直线斜率不存在时，此时：，
由，
解得，
所以，
所以，
当直线斜率存在时，，
所以，
联立，
可得，
所以，
所以，
综上可知，存在满足条件．
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