2024-2025学年江苏省泰州市兴化中学强基班高二（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省兴化中学强基班高二（上）学情调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.抛物线：的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
4.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知点在椭圆上，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率其中的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于，两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，下列说法正确的是( )
A. 若，则是圆，其半径为
B. 若，，则是两条直线
C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D. 若时，则是双曲线，其渐近线方程为
10.抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 存在直线，使得、两点关于对称
C. 的最小值为
D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
11.已知曲线：，为上一点，则以下说法正确的是( )
A. 曲线关于原点中心对称
B. 的取值范围为
C. 存在点，使得
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为______．
13.设为直线上的动点，若圆上存在两点，，使，则的取值范围是______．
14.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，且的取值范围为，记的面积为，面积为，则取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两直线：，：．
求直线和的交点的坐标；
若过点作圆的切线有两条，求的取值范围；
若直线与，不能构成三角形，求实数的值．
16.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于、两点，且的周长为．
求的方程；
过作直线与交于、两点，若，求直线的斜率．
17.本小题分
如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于，经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处为河岸，．
求新桥的长；
当多长时，圆形保护区的面积最大？
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
若椭圆上点处的切线方程是，
过直线：上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
设抛物线：的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
求的方程；
设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程．
参考答案
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15.解：联立方程组，，
即直线和的交点的坐标；
由题意知点在圆外，，
的取值范围为；
若直线：与，不能构成三角形，则或或过点，
当时，则，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当过点时，，，
故实数的值为．
16.解：时，，，
，．
由知，显然直线的斜率存在，当的斜率为时，不成立；
当的斜率不为时，设：，，；
，
，，，，；
又，
．
，
得，
，故直线的斜率为或．
17.解：如图，
过作于，过作于，
，，
，
．
设，则．
，
，，
．
，
．
．
，
解得：．
，，
则；
如图，
设与切于，延长、交于，
，
．
设，则，
，
设半径为，
、到上任一点距离不少于，
则，，
，．
解得：．
当且仅当时取到最大值．
时，保护区面积最大．
18.解：由题意可知：，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：设，，，
由题设可知：，
又因为，经过点，
所以，所以，均在直线上，
即：，
由，解得，
所以直线过定点；
设实数存在，因为，所以，
当直线斜率不存在时，此时：，
由，
解得，
所以，
所以，
当直线斜率存在时，，
所以，
联立，
可得，
所以，
所以，
综上可知，存在满足条件．
19.解：由题意可知，当时，，得，可知，．
则在中，，得，解得．
则的方程为；
设，，，，
由可知，，则，
又、、三点共线，则，即，
，
得，即；
同理由、、三点共线，得．
则．
由题意可知，直线的斜率不为，设：，
由，得，
，，则，，
则，
当时，；当时，无最大值，
当且仅当，即时，等号成立，取最大值，
此时的直线方程为，即，
又，，
的方程为，即．
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