2024-2025学年江苏省南京市南京九中高二（上）段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京九中高二（上）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，且，，则( )
A. B. C. D.
2.设圆的圆心为，直线过点，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
3.若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若直线与互相垂直，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知， ，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
7.点到直线：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
8.已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 若圆与轴相切，则
B. 若，则圆与圆相离
C. 若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D. 直线与圆始终有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
10.已知圆的圆心为原点，且与直线相切动点在直线上，过引圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点的坐标为______．
11.如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则 ______．
12.已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知圆：与直线：，动直线过定点．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线与圆相交于、两点，点是的中点，直线与直线相交于点探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
14.本小题分
已知在平面直角坐标系中，点、点其中、为常数，且，点为坐标原点．
设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
如图，设点，，，，，是线段的等分点，，其中，，，，求用含和的式子表示，并且当时，求的值用含、的式子表示；
若，，求的最小值．
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.解：当直线的斜率不存在时，
的方程为，与圆不相切；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
，解得或，
直线的方程为或；
由题易知的斜率存在，
设的方程为，，
由消去得，，
，
，，
由得，，
，，
，
为定值．
14.解：因为，
点为线段上靠近点的三等分点，所以，
所以，即；
由题意得，，
，
事实上，对任意的正整数，，且，
有，，
，
所以；
时，线段上存在一点，使得，，且存在点，，
则，，
，
所以，
即线段上一点，到点和点的距离之和，作点关于线段的对称点，
则最小值为．
15.解：点，中点坐标为：，两点连线斜率为．
则两点连线中垂线斜率为，故这两点中垂线方程为：．
将中垂线方程与联立，，
即圆心坐标为，则半径，
故圆的标准方程为：．
设直线到圆心距离为，由垂径定理，则．
当直线斜率不存在时，方程为，到圆心距离为，满足题意；
当直线斜率存在时，设，由其到圆心距离为，结合点到直线距离公式，
可得．
则此时，直线方程为．
故直线方程为：或．
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