2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( )
A. 众数中位数平均数
B. 众数平均数中位数
C. 中位数平均数众数
D. 中位数众数平均数
4.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了场比赛，得分分别为，，，，，，，，那么这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知样本数据，，，的平均数为，方差为，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为，则新样本数据的方差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解各种的使用情况，将使用人数排名前的数据整理得到如下的柱状图，则( )
A. 使用人数最多的是微信
B. 微信的使用人数超过今日头条的使用人数的倍
C. 微信的使用人数超过今日头条与快手的使用人数之和
D. 抖音的使用人数大于快手的使用人数的
10.已知事件，，两两互斥，若，则( )
A. B. C. D.
11.数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角其中对应钟上数字，对应钟上数字设的中点为，，已知长度为的时针指向了钟上数字，长度为的分针指向了钟上数字，现在小王准备安装长度为的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针指向了钟上数字，如图，则
B. 若秒针指向了钟上数字，如图，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字，如图，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字，如图，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数是______．
13.已知点，若，两点在直线上，则点到直线的距离为______．
14.若函数的定义域为，对任意，，，都有，则称为单射函数已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平行六面体中，与相交于，设、、，
用、、表示；
若、、三向量是两两成角的单位向量，求．
16.本小题分
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，将所得数据分成组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名员工所得分数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表和中位数精确到；
现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，求这组中抽取的人数．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，，，．
求证：；
求二面角的余弦值：
18.本小题分
第届亚运会已于年月日至月日在我国杭州举行为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至多有人通过初赛的概率；
求这人都参加市知识竞赛的概率；
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元求三人奖金总额为元的概率．
19.本小题分
已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，．
证明：平行六面体是直四棱柱；
计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系．
参考答案
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15.解：由题意得；
由得，
三向量是两两成角的单位向量，
则，且，
，
．
16.解：由题意知，
解得．
估计这名员工所得分数的平均数．
的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，所以，
解得，即估计这名员工所得分数的中位数为．
的人数：，的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：．
17.
证明：Ⅰ是边长为的正方形，，
又，，平面，
．
解：Ⅱ在中，有，，
分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
同理得平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则．
故二面角的余弦值为．
18.解：由题意可得：人全通过初赛的概率为，
所以这人中至多有人通过初赛的概率为；
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这人都参加市知识竞赛的概率为；
由题意可得：要使得奖金之和为元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为元”为事件，
则．
19.解：证明：由题意，，
，，即，，
，是平面内两相交直线，平面，
平行六面体是直四棱柱；
解：，
由题意，，，，
所以，，，
．
，
故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积．
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