(共87张PPT)
第二节 二次函数的图象与性质(1)
北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
知识回顾
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做 x 的二次函数.
(1)列表
(3)连线
(2)描点
2. 画函数图象的主要步骤是什么？
1. 二次函数的定义
3. 一次函数的性质
一次函数 y = kx+b (k、b为常数，且 k≠0)中，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而＿＿＿；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而＿＿＿.
增大
减小
思考
在二次函数 y=x2中，y 随 x 的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
知识讲解
请你画出二次函数 y=x2 的图象.
(1) 观察 y = x 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y值，完成下表：
x
y
0
0
9
4
1
9
4
1
3
2
1
-3
-2
-1
(2) 在直角坐标系中描点：
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x 的图象.
议一议
对于二次函数 y=x 的图象.
(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
(2) 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
抛物线
图象与 x 轴有交点. 交点坐标是 (0，0)
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x＞0 时呢？
x＜0 时，y 随 x 的增大而减小.
x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
(4)当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当 x=0 时，y 的值最小. 最小值是 0.
因为抛物线上的最低点坐标是 (0，0 )
(5) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
图象是轴对称图形. 它的对称轴是 y 轴.
对称点： (-3，9)与(3，9)关于 y 轴对称；(-2，4)与(2，4)关于 y 轴对称……
总结新知
函数 y=x2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y 轴对称.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？与同伴进行交流.
做一做
(2)在直角坐标系中描点：
(3) 用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=-x 的图象.
解：(1) 列表：
x
y
0
0
-9
-4
-1
-9
-4
-1
3
2
1
-3
-2
-1
(1)图象与 x 轴交于原点(0，0).
(2)y≤0.
(3)当 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小.
(4)当 x=0时，y最大值=0.
(5)图象关于 y 轴对称.
议一议
说说二次函数 y=-x2 的图象有哪些性质,与同伴交流.
读一读
二次函数的广泛应用
教材第33页至34页内容
体会二次函数在实际生活中的应用
知识拓展
(1)抛物线 y=2x2 的开口方向是怎样的？
(2)抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？
(3)当x为何值时, y 随着 x 的增大而增大；
当x为何值时, y随着 x 的增大而减小.
(4)函数 y 有最大值还是最小值？为什么？
1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象
回答下列问题，
(4)因为抛物线开口向上，所以函数 y 有最小值.
(1)抛物线 y=2x2 的开口
方向是向上的.
(2)抛物线 y=2x2顶点
坐标为(0，0),对称轴
为y轴.
(3)当x＞0时,y随着x的增大而增大；
当x＜0时,y随着x的增大而减小.
C
2．给出下列四个函数：
当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小的函数有【 】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
①
②
③
④
2.二次函数 y=±x2 的性质
(2) 顶点坐标与对称轴.
(1)位置与开口方向.
(3)增减性与最值.
课堂小结
1.二次函数 y=±x2 图象的形状.
课本第34~35页：习题2.2
布置作业
第二节 二次函数的图象与性质(2)
北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
知识回顾
函数y=x 和y=-x 的图象
函数 图象 形状 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
y=x
y=-x
抛物线
抛物线
向上
向下
y 轴
(0，0)
y 轴
(0，0)
y=2x
y=-2x
画一画
在右图中画出 y=2x2 的图象.
x
y
···
···
···
···
2
2
8
0
8
-1
-2
1
2
0
y=x2
y=2x2
思考
二次函数 y=2x 的图象是什么形状？它与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和原点坐标分别是什么？
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数
y=2x
y=x
抛物线
向上
y轴
(0，0)
抛物线
向上
(0，0)
y轴
结论：
x
y
···
···
2
2
8
0
8
-2
-4
2
4
0
···
···
画一画
在右图中画出 y= x2 的图象.
思考
二次函数 y= x 的图象与 y=x 、y=2x 的图象有什么相同和不同？
y= x2
函数 图象 形状 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
y=2x
y=x
y= x
抛物线
抛物线
抛物线
向上
向上
向上
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
合作探究：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
x -2 -1 0 1 2
y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8
y=-x2 -4 -1 0 -1 -4
问题：它们与二次函数y=x 和y=2x 的图象又有什么异同？
在下列平面直角坐标系中，作出y=-x 及y=-2x 的图象.
做一做
y=-x2
y=-2x2
函数 图象 形状 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
y=2x
y=x
y=-2x2
y=-x
抛物线
抛物线
抛物线
向上
向上
向下
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
合作探究：
抛物线
向下
y轴
(0，0)
函数y=3x 及y=-3x 的图象会有哪些特点？
函数 图象 形状 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
y=3x
y=-3x
抛物线
向上
y轴
(0，0)
抛物线
向下
y轴
想一想：
(0，0)
知识讲解
(1)y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线
y=ax2(a≠0)的图象有哪些特征？
(2)顶点坐标是(0，0)
(3)对称轴是y轴(也可写作直线 x=0)
(4)当a＞0时，开口向上
当a＜0时，开口向下
(5)随着 的增大，开口将越来越小
二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
动手验证一下你的想法.
探究
你是怎么想的？
x -2 -1 0 1 2
y=2x2
y=2x2+2
y=2x2-2
8
2
0
2
8
10
4
2
4
10
6
0
-2
0
6
y=2x2
y=2x2+2
y=2x2-2
二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位
解析
二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位
你能肯定吗？
探究
二次函数y=-3x2+ , y=-3x2- 的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？
解析
二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=2x2的图象向上平移 个单位
二次函数y=-3x2- 由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位
二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象与y=ax2+c (a≠0) 的图象有什么异同？
探究
函数 关系式 图象 开口方向 对称轴 顶点
坐标
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的.
当c＞0 时，向上平移c个单位；
当c＜0 时，向下平移︱c︱个单位.
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
(0，0)
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
(0，c)
y=ax 及y=ax +c (a≠0) 的图象和性质
知识讲解
课堂练习
1. 将抛物线 y=-x2 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ).
A. y=(x+2)2 B. y=-x2+2
C. y=-x2+2 D. y=-(x-2)2
A
2.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2-1 与 x 轴的交点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
B
3．坐标平面上有一函数y=24x2 48的图象，其顶点坐标为( )
A. (0， 2) B. (1， 24)
C. (0， 48) D. (2，48)
C
4．将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
y=x2-1
5．小汽车刹车距离 s(m) 与速度 v(km/h) 之间的函数关系式为 ，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车 有危险(填“会”或“不会”).
会
课堂小结
(1)y=ax2的图象是一条抛物线.
(2)其顶点坐标是(0，0).
(3)对称轴是y轴(也可写作直线x=0).
(4)当 a＞0 时，开口向上；当a＜0 时，开口向下.随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当 c＞0 时，向上平移c个单位;
当 c＜0 时，向下平移︱c︱个单位.
课本第36页：习题2.3
布置作业
第二节二次函数的图象与性质(3)
北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
知识回顾
1. 函数 的图象的顶点坐标是 ；开口方向是 ；最 值是 .
(0，3)
小
向上
3
2. 函数y=-2x2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.
y=-2x2
上
3
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数________的图象.
y=-3x2-2
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
(1) y=2x2 (2) y=2(x-1)2
探究
解：
(1) 完成下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x2
2(x-1)2
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？
32
18
8
2
0
32
18
8
2
18
8
2
0
2
50
32
18
8
(2) 在图中画出y=2x2与y=2(x-1)2的图象.
y=2(x-1)2
思考：它们的图象
之间有什么关系？
议一议
(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？
二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位得到的.
（2） 二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向：
向上
对称轴：
直线 x=1
顶点坐标：
(1，0)
x=1
(3) 二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
当x＜1时，y的值随x值的增大而增大；
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.
(4)你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
二次函数y=2(x+1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位得到的.
y=2(x+1)2
二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.
想一想
由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？
由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位长度可得二次函数y=2x2- 的图象.
由二次函数y=2x2的图象向左平移 3 个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象.
由二次函数y=2x2的图象先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2- 的图象.
归纳总结
二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.
h＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移.
k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移.
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：
图象二次函数 开口方向 对称轴 顶点
坐标
y=a(x-h)2+k 向上(a＞0) 直线x=h (h，k)
向下(a＜0) 练一练
1.对于二次函数y=-3(x+2)2.
(1) 它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
二次函数y=-3x2的图象向左平移 2个单位长度得到函数y=-3(x+2)2的图象.
二次函数y=-3(x+2)2的开口方向向下、对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2，0).
对于二次函数y=-3(x+2)2.
(2) 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
当x＜-2时，y的值随x值的增大而增大；当x＞-2时，y的值随x值的增大而减小.
2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A. y=(x-2)2+1
B. y=(x+2)2+1
C. y=(x-2)2-3
D. y=(x+2)2-3
【解析】根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
C
3.将抛物线 向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为____________.
4.将抛物线 先向上平移
2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为
___________________________．
或
5.若把函数 y=x 的图象用 E(x，x)
记，函数 y=2x+1的图象用 E(x，2x+1)记，…,则 E(x，x2-2x+1)可以由 E(x，x2)怎样平移得到 ( )
A. 向上平移１个单位
B. 向下平移１个单位
C. 向左平移１个单位
D. 向右平移１个单位
D
y=a(x-h)2+k 开口 方向 对称轴 顶点
坐标
a＞0
a＜0
向上
直线x=h
(h，k)
向下
直线x=h
(h，k)
1. y=a(x-h)2+k的图象的特征.
2. y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
课堂小结
课本第39页：习题2.4
布置作业
第二节 二次函数的图象与性质(4)
北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
二次函数 y = -2 (x-3)2+5 的开口＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，当 x=＿＿时，y 有最＿＿值是＿＿；当 x＿＿＿时，y 随 x 的增大而增大；当 x＿＿＿时，y 随 x 的增大而减小. 它是由二次函数 y=-2x2 先向＿＿平移＿＿个单位长度，再向＿＿平移＿＿个单位长度得到的.
向下
直线 x=3
(3，5)
3
大
5
＜ 3
＞3
右
3
上
5
知识回顾
二次函数 y =a(x-h)2+k (a＞0) 的开口＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，当 x=＿＿时，y 有最＿＿值是＿＿；当 x＿＿时，y 随 x 的增大而增大；当 x＿＿时，y 随 x 的增大而减小.
向上
直线 x=h
(h，k)
h
小
k
＞ h
＜ h
二次函数 y=a (x-h)2+k (a ＜ 0) 的开口＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，当 x=＿＿时，y 有最＿＿值是＿＿；当 x＿＿时，y 随 x 的增大而增大；当 x＿＿时，y 随 x 的增大而减小.
向下
直线 x=h
(h，k)
h
大
k
＜ h
＞h
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的
二次函数的图象和性质，你能研究二次
函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
合作交流
请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.
解： y=2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2-2x+1-1)+5
=2(x-1)2-2+5
=2(x-1)2+3
知识讲解
例 1：求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.
解析
要求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为 y=a(x-h)2+k 的形式.
解： y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2，-1).
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y=3x2-6x+7 (2) y=2x2-12x+8
解： (1) y=3x2-6x+7
=3(x2-2x)+7
=3(x2-2x+1)-3+7
=3(x-1)2+4
因此，二次函数 y=3x2-6x+7 图象的对称轴是直线 x=1，顶点坐标为(1，4).
(2) y=2x2-12x+8
=2(x2-6x)+8
=2(x2-6x+9)-18+7
=2(x-3)2-11
因此，二次函数 y=2x2-12x+8
图象的对称轴是直线 x=3，顶点
坐标为(3，-11).
例 2 ：求二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数 y=ax2+bx+c 的右边配方，得：
y=ax2+bx+c
=a[x2+2· x+( )2-( )2]+c
=a(x+ )2+
=a(x2+ x)+c
因此，二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=- ，顶点坐标为(- ， ).
求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式
探究
对于二次函数y=ax2+bx+c ，
对称轴为：直线 x=-
顶点坐标为(- ， )
1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？
随堂练习
解 (1)∵y= x2+ x+10
= (x+20)2+1
∴左侧钢缆最低点坐标为(-20，1)
∴钢缆最低点到桥面的距离是
1×5=5(m)
(2)∵左、右两侧抛物线关于y轴对称
∴左、右两侧抛物线的最低点关于
y轴对称
∵左侧抛物线最低点坐标为(-20，1)
∴右侧抛物线最低点坐标为(20，1)
∴两条钢缆最低点之间的距离是
20×5+20×5=200(m)
解(1)y=2x2-12x+3
=2(x-3)2-15
对称轴：直线x=3
顶点坐标：(3，-15)
(2)y=-5x2+80x-319
=-5(x-8)2+1
对称轴：直线x=8
顶点坐标：(8，1)
2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标
(1)y=2x2-12x+3；(2)y=-5x2+80x-319；
(3)y=2(x- )(x-2)；
(4)y=3(2x+1)(2-x).
(3)y=2(x- )(x-2)
=2(x－ )2-
对称轴：
直线x=
顶点坐标：
(4)y=3(2x+1)(2-x)
=-6(x- )2+
对称轴：
直线 x=
顶点坐标：
合作交流
二次函数图象与系数a、b、c之间的关系
a决定抛物线的形状、开口方向
当a＞0时，抛物线开口向上，
当a＜0时，抛物线开口向下，
︱a︱越大抛物线的开口越小.
b影响对称轴的位置
c确定抛物线与y轴的交点位置
当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，
当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
当c=0时，抛物线经过坐标原点，
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上.
挑战自我
1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法
正确的是( )
A.图象的开口向下，
B.当x＞1时，y随x的增大而减小
C.当x＞1时，y随x的增大而减小
D.图象的对称轴是直线x=-1
C
2.(2014 遵义)已知抛物线y=ax2+bx和
直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，
其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
D
3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交
为(0，-3)，则此二次函数有( )
A.最小值-2 B.最小值-3
C.最小值-4 D.最大值-4
4.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴
交于点A(-1，0)，B，顶点为P，
求△PAB的面积.
C
解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴抛物线的对称轴为：
直线x=1,
顶点坐标为(1，-4),
∴点P到x轴的距离为4，
∵A(-1,0) ∴B(3，0)
∴AB=4
∴S△PAB= ×4×4=8.
交流小结，收获感悟
1.对自己说，你在本节课中学习了哪些知识
点？有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
课本第41页：习题2.5
布置作业
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《二次函数的图象与性质》教案
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；
2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；
3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；
2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.
教学重点与难点
重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.
难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：什么叫做二次函数？
生：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
问题2：画函数图象的主要步骤是什么？
生：（1）列表，（2）描点，（3）连线
问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？
生：一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
二、探究交流，获取新知
操作：请你画出二次函数y=x2的图象.
（1）观察y=x 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象.
议一议：
对于二次函数y=x2的图象.
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
生：抛物线
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
生：图象与x轴有交点.交点坐标是 (0，0).
（3）当 x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？
当 x＞0时呢？
生：当 x＜0 时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
（4）当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？你是如何知道的？
生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.
因为抛物线上的最低点坐标是 ( 0，0 ) .
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
生：图象是轴对称图形. 它的对称轴是y轴.
对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称……
师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
做一做：
二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数 y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x 的图象.
议一议：说说二次函数y=-x 的图象有哪些性质,与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点（0，0）.
（2）y≤0.
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
读一读：让同学们自主学习课本第33页至34页“二次函数的广泛应用”.
让学生感悟到数学知识与实际问题的联系，用函数知识能解决实际生活中的很多问题.
三、知识拓展
1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）抛物线 y=2x2的开口方向是怎样的？
（2）抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？
（3）当x为何值时, y随着x的增大而增大；当x为何值时, y随着x的增大而减小.
（4）函数y有最大值还是最小值？为什么？
2.给出下列四个函数： y=x， y=-x， y=x2，y=，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
四、自我小结，获取感悟
1.二次函数y=±x2的图象是什么形状？
2.二次函数y=±x2有哪些性质？
（1）位置与开口方向；
（2）顶点坐标与对称轴；
（3）增减性与最值.
五、布置作业
课本第34～35页：习题2.2的第1、2题.
《二次函数的图象与性质》教案（2）
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；
2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；
3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；
2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
教学重点与难点
重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.
难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 抛物线 向上 y轴 （0，0）
y=-x2 抛物线 向下 y轴 （0，0）
2.画一画
在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
二、探究交流，获取新知
思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 抛物线 向上 y轴 （0，0）
y=2x2 抛物线 向上 y轴 （0，0）
画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=x2的图象.
探索交流：二次函数y=x 的图象与y=2x 、y=x 的图象有什么相同和不同？
相同点：
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x 抛物线 向上 y轴 （0，0）
y=2x 抛物线 向上 y轴 （0，0）
y=x 抛物线 向上 y轴 （0，0）
不同点：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
做一做：
在下列平面直角坐标系中，作出y=-x 和y=-2x 的图象.
生：动手操作画图，
思考：它们与二次函数y=x 和y=2x 的图象又有什么异同？
生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x 和y=-2x 的图象开口向下.
探究：函数y=3x 及y=-3x 的图象会有哪些特点？
点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.
师生共同总结：y=ax2(a≠0)的图象与性质特征，
探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.
生：学生动手操作，老师巡视,
结论：1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位；
2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.
共同交流：二次函数y=-3x2+, y=-3x2-的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？
生：让学生总结出它们之间的关系.
思考：二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象与y=ax2+c (a≠0) 的图象有什么异同？
老师点拨：y=ax2及y=ax2+c (a≠0) 的图象和性质：
y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的，
当c＞0 时，向上平移c个单位；
当c＜0 时，向下平移︱c︱个单位.
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2 抛物线 a＞0向上a＜0向下 y轴 （0，0）
y=ax2+c 抛物线 a＞0向上a＜0向下 y轴 （0，c）
四、随堂练习
1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.
A. y=-(x+2)2 B.y=-x2+2 C.y=-x2+2 D. y=-(x-2)2
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1 与x轴的交点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3.坐标平面上有一函数y=24x2-48的图象，其顶点坐标为（ ）
A. （0，-2） B. （1，-24） C.（0，-48） D.（2，48）
4．将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
5．小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车__________有危险（填“会”或“不会”）.
五、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
六、布置作业
课本：习题2.3 .
《二次函数的图象与性质》教案（3）
教学目标
知识与技能
1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；
2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；
4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.
过程与方法
1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
情感、态度与价值观
1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；
2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.
教学重点与难点
重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.
难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最__值是________.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.
问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？
二、探究交流，获取新知
请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y=2x2 （2）y=2(x-1)2
完成下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
2x2 … …
2(x-1)2 … …
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？
生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，
议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？
生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.
（2）二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）
（3）二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
生：当x＜1时，y的值随x值的增大而增大；当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.
（4）你能发现二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.
结论：二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.
想一想：由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2-，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？
生：由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度可得二次函数y=2x2-的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2-的图象.
归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.
H＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移.
k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移.
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a(x-h)2+k 向上（a＞0） 直线x=h （0，0）
向下（a＜0）
三、随堂练习
1.回答下列问题：
（1）二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
（2）对于二次函数y=-3(x+2)2.当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3
3.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _____________.
4.将抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
5.若把函数y=x的图象用 E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用 E（x，2x+1）记，…，则E（x，x2-2x+1）可以由 E（x，x2）怎样平移得到（ ）
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
六、自我小结，获取感悟
1.y=a(x-h)2+k的图象特征.
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
七、布置作业
课本第39页：习题2.4.
《二次函数的图象与性质》教案（4）
教学目标
知识与技能
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；
3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.
过程与方法
1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；
2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.
情感、态度与价值观
1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；
2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点与难点
重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：二次函数y=-2 (x-3)2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.当x=_________时，y有最_______值，是__________；当x___________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小. 它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.
问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k
（1）当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是__________________.
当x=_________时，y有最_____值是_______；当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y 随x的增大而减小.
（2）当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.当x=_________时，y有最_______值是______；当 x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小.
问题3：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
二、探究交流，获取新知
请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.
解： y=2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2-2x+1-1)+5
=2(x-1)2-2+5
=2(x-1)2+3
三、例题讲解
例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解析：要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y=a(x-h)2+k的形式.
解：y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）.
做一做：
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7 （2）y=2x2-12x+8
生：学生解答，教师巡视，发现问题即时解答.
例2:求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得：
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+2·x+()2-()2]+c
=a(x+)2+
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=-，顶点坐标为（-，）.
点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式
四、随堂练习
1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标
（1）y=2x2-12x+3； （2）y=-5x2+80x-319；
（3）y=2(x-)(x-2)； （4）y=3(2x+1)(2-x).
合作交流：二次函数图象与系数a、b、c之间有何关系？
a决定抛物线的形状、开口方向
当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，越大抛物线的开口越小.
b影响对称轴的位置
当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.
c确定抛物线与y轴的交点位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c=0时，抛物线经过坐标原点，当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上
五、挑战自我：
1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是（ ）
A.图象的开口向下 B.当x＞1时，y随x的增大而减小
C.当x＞1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=-1
2.（2014 遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( )
A.最小值-2 B.最小值-3 C.最小值-4 D.最大值-4
4.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A(-1，0)，B，顶点为P，
求△PAB的面积.
六、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
七、布置作业
课本第41页：习题2.5
图
象
特
征
二
次
函
数
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