2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.数列中，若，，，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
5.在中，为中点，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 是函数图象的一个对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象
10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 若点在线段上，则的最小值为
B. 三棱锥的体积为
C. 异面直线、所成的角为
D. 三棱锥外接球的表面积为
11.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 函数有两个零点
B. 恒成立
C. 若方程有两个不等实根，则的范围是
D. 直线与函数图象有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中，是其前项和若，，则 ______．
13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______．
14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱柱中，，，，，为中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数，若在恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，．
求；
若，为中点，，求；
若，求内切圆半径的取值范围．
18.本小题分
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示．
求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第百分位数；
以频率估计概率，若在这段时间内随机选择天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有天的汽车销售量不超过辆的条件下，求的分布列及数学期望；
为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为的正三角形，，现从写有数字的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，．
求四棱锥体积的最大值；
设，为线段上的动点．
求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；
四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积．
参考答案
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15.解：证明：如图，连接，
因为，为中点，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，所以，
又，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，所在直线为，轴，
过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
16.解：由题意，函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增，
当且，即时，，函数在上单调递增，
当时，，当且仅当时，，
函数在上单调递增，
当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，，
则，，
由，知，，，
所以当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
函数在上单调递增．
因为，，
所以，
不等式可化为，
因为在恒成立，
所以，
设，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
故，
所以的取值范围为．
17.解：已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，
因为，
根据正弦定理，
得，
所以，
因为，所以，
又，
所以；
因为为中点，所以，
所以，
又，，，
所以，
所以，解得或舍去，
故；
由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，
所以
，
，
设内切圆半径为，
则，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，即，
即内切圆半径的取值范围是：．
18.解：根据频率分布直方图可得，，
前几组的频率依次为，，，，
每日汽车销售量的第百分位数在，且为辆；
抽取的天汽车销售量不超过辆的概率为，
抽取的天汽车销售量在内的概率为．
在恰有天的汽车销售量不超过辆的条件下，抽取的天汽车销售量在内的概率为．
由题意可得的值可以为，，，，
又，，
，，
的分布列为：
；
如图：取中点，链接，，，，，
，都是边长为的等边三角形，
，，又，
平面，又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，，又，
在中，由正弦定理可得，
，此时，，
要想中奖，须有，
，是从写有数字的八个标签中随机选择的两个，基本事件有个，
而满足的基本事件有：，，，，，，，，，共个，
中奖的概率为：．
19.解：设，则，
所以四棱锥体积，，
所以，
令，则，所以在上单调递增；
令，则，所以在上单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，
所以四棱锥体积的最大值为．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则为锐角，
所以，
因为，所以，
所以，
故平面与平面的夹角余弦值的取值范围为；
由题意知，，，
则，平面的法向量，
所以点到平面的距离为，
设四棱锥的外接球半径为，则，
所以平面截球所得的截面圆半径，
所以平面截球所得的截面面积为．
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