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《二次函数与一元二次方程》教案（一）
一、教学目标
1．知识与技能：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
2．过程与方法：
（1）通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
（2）理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
3．情感态度与价值观：
（1）经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
（2）通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性．
二、教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
三、教学难点：
理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
四、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心 ( http: / / www.21cnjy.com )填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业． 21*cnjy*com
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1．（a，b，c是常数，a≠0），y叫做x的__________．它的图象是一条抛物线．它的对称轴是直线x=_____，顶点坐标是（ ， ）．
2．二次函数的解析式中的一般式是：（a≠0）
顶点式：
交点式：
3．抛物线的对称轴是_______，开口方向是______，顶点坐标是___________．
4．抛物线与x轴的交点为_______________，与y轴的交点为___________．
5．已知抛物线与轴交于A（-1，0）和（1，0），并经过点M（0，1），则此抛物线的解析式为_______________ ．www.21-cn-jy.com
活动目的：
教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来．问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾．目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心．第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究．第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣．热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛，为之后的新课学习作好准备．www-2-1-cnjy-com
实际教学效果：
课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本 ( http: / / www.21cnjy.com )，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛．特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫．
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
（1）图象上每个点的横、纵坐标含义是什么
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）h和t的关系式是什么
（3）小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法 与同伴进行交流．
2．分别求出二次函数，，的图象与x轴的交点的坐标，并快速作出草图．
思路点拨：与x轴交点就是求当y=0时这个方程的解，然后写成点的坐标．
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（1）观察下列二次函数，，的图象，每个图象与x轴有几个交点
（2）一元二次方程，有几个根？验证一下一元二次方程有根吗
（3）说说二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？
3．归纳整理：
a．二次函数的图象和x轴交点有三种情况：
1．有两个交点，
2．有一个交点，
3．没有交点．
b．当二次函数的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程的根．21cnjy.com
c．完成下列表格，观察二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系 21·cn·jy·com
二次函数的图象和x轴交点 一元二次方程的根 一元二次方程根的判别式
有两个交点 有两个相异的实数根
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点 没有实数根
例 不画图象，判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由．
解：
∴此方程有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴有两个交点．
∴此方程没有实数根．
∴该抛物线与x轴没有公共点．
活动目的：
这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生 ( http: / / www.21cnjy.com )活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v0和h0，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式．教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义 ”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点（h，t）一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度．21教育网
当学生理解了这个关系后，再 ( http: / / www.21cnjy.com )引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点（0，0）和（8，0），至此求h、t就转化为求解方程组的问题．
学生在此认识的基础上，教师再出示第3问 ( http: / / www.21cnjy.com )，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间．【来源：21cnj*y.co*m】
紧接着给出求出三个函数，，与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快 看谁画图快 在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识．【版权所有：21教育】
随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了．
为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力．最后通过练一练这个例题检测学生对知识的掌握和巩固．
实际教学效果：
由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解．2·1·c·n·j·y
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少
（2）t为何值时，h最大
（3）经过多长时间球落地
（4）方程的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗
（5）方程的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗
解：（1）t=1时，h=14.7
（2）∵∴当t=2时，h最大
（3）对于 球落地表示h=0
即
解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地．
（4）方法一：解方程 得t1=0， t2=4
根t1=0，t2=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
（5）方法一：解方程 得t1=1， t2=3
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可．
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系．前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出．第四问引导学生观察到方程是函数 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系．当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻．这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性．在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了．在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗 启发学生用形的一面去考虑问题．目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法．
以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程的根就是二次函数 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚．教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处．
实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程的根就是二次函数 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈．第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点．但第5问给出后，学生静了下来．我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达 特别是用图形来表示一元二次方程的根这个问题对于他们很陌生．此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么 学生回答h=0表示直线x轴．那么h=14.7的几何意义又是什么呢 他们恍然大悟，明白了方程 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点．5个问题一步步逐渐揭示出方程的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程的根的几何意义又是什么呢 学生就不难理解一元二次方程的根就是二次函数 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标了．学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了．
第四环节 开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60cm 你是如何知道的
活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出．
实际教学效果：
教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根．全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法．看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的．我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法 另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决．画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论．他的讲解赢得了同学热烈的掌声．我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗 你能比较一下两种解法的优劣吗 此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷．
第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例： 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么
错解：由Δ=（-7）2-4×k×（-7）=49+28k＞0，
得k＞- ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴Δ=（-7）2-4×k×（-7）= 49+28k≥0，
得k≥- ，
故k≥- 且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为Δ≥0．
活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢 学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑．使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化．在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有
实际教学效果：学生基本都能把问题转 ( http: / / www.21cnjy.com )化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果．但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为Δ≥0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到．教学中先让有问题的学生板演出他的解法Δ＞0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为Δ≥0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法．同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯．
第六环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
1．抛物线与x轴的交点坐标为 _______．
2．抛物线与两坐标轴交点的个数为 个．
3．抛物线与x轴只有一个交点，则m= ____________．
4．二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，Δ＞0，那么抛物线 经过 象限．
活动目的：用课堂形成性评价方式检 ( http: / / www.21cnjy.com )查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强．由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结．进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法．
实际教学效果：学生迅速的完成了前4个小题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )答，但被第5小题难住了．在第5分钟时我让同桌相互交换批改打分．大多同学得到80分，他们很不服气，我反问他们知道为什么答不出第5小题的原因吗 以此来强调在函数学习中，一要注意知识前后的联系，及时复习巩固，我鼓励同学们认真回顾二次函数系数a、b、c是如何决定抛物线的位置的，让学生结合本节课新知识的学习，就可以更加准确的判断出抛物线的位置；二是应注意研究方法：用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线，是两把相互配合的利器，希望同学们认真体会、自觉应用．【来源：21·世纪·教育·网】
第七环节 归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
实际教学效果：学生畅所欲言 ( http: / / www.21cnjy.com )自己的切身感受与实际收获，师生互相交流总结完善同学们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，教师用前面学生出现的错误认识为例，再次强调研究函数问题时，用“数”研究“形”，用“形”研究“数”要相互配合使用，结合两种方法的优势．学生此时对本章的学习真正有了完整的认识．
五、作业布置
课本习题2.10第一题，第二题．
《二次函数与一元二次方程》教案（二）
一、教学目标：
（一）知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
2．巩固理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
（二）过程与方法
1．经历一元二次方程的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程的根的近似值的探索得到的过程．
（三）情感态度与价值观
通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．
二、教学重点：
1．理解利用二次函数图象求方程的根；
2．理解一元二次方程的根与二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标的关系．
三、教学难点：
理解一元二次方程的根与二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标的关系．
四、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节 ( http: / / www.21cnjy.com )：仔细观察、大胆联想；课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；教材题变形、拓展提高；大胆尝试、练一练；知识拓展、迁移运用；课堂小结；课内外提高、布置作业．21教育名师原创作品
第一环节 仔细观察、大胆联想
问题：函数的图象如下图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
为该图象的对称轴，根据图象
信息你能得到关于系数a，b，c的一些
什么结论
分析点拨：
（1） a＞0 （2）
1 -1＜c＜0
2 （3）对称轴；
（4）∵ ， ∴2a=-3b；
（5）由（1），（4）得b＜0
（6）由（1），（2），（5）得abc＞0；
（7）考虑x=1时y＜0，所以有
（8）又x=-1时y＞0，所以有；
（9）考虑顶点的纵坐标，有．
活动目的：
通过一道开放性的训练题，来训练学生由“ ( http: / / www.21cnjy.com )形”到“数”的形数结合能力，由于结论开放，可以考察出不同层次学生的思维能力，观察问题的是否仔细、全面．教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论的形式，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识和团队精神．21*cnjy*com
实际教学效果：
由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈．教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来．有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答．当同学们回答完我事先准备好的答案后，他们还提出了另一些结论：如a+2b+4c＜0，等．课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈．
第二环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1．抛物线经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ ．
2．若a＞0，b＞0，c＞0，Δ＞0，那么抛物线经过 象限．
3．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点 最高点的高度是_____ （2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸
4．一元二次方程的根就是二次函数的图象抛物线与直线________交点的________坐标．
5．一元二次方程的根就是二次函数的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 ．21世纪教育网版权所有
活动目的：
教学第二个环节课前热身训练准备利用5分 ( http: / / www.21cnjy.com )钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来．问题（1）的设置解题入手方向有三个，可以分别从一般式、顶点式、交点式考虑解决．以此来巩固学生求二次函数解析式的分析、运算能力．问题（2）是考察学生对二次函数系数a、b、c、Δ如何决定抛物线图象位置，培养学生从“数”到“形”的探究能力．问题（3）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确．问题（4）、（5）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫．
实际教学效果：
学生对第（1）小题的解答确实出现了 ( http: / / www.21cnjy.com )三种解法，由于时间有限，我没有做详细点评，只是提示了可以用三种方法得到，但三种方法的简洁程度的确不同．第（2）小题从已知a、b、c的条件只能判断出图象的开口、对称轴的位置，还不能判定顶点的位置，但学生很容易联想到上节课学习的Δ＞0可以决定图象与x轴有两个交点的结论，最终较准确判断出抛物线的位置．第（3）小题由于是上节课例题的简单变形，学生通过变形为顶点式和解方程很快的得到结论．第（4）（5）小题考察学生对上节课学习内容的理解，在实际教学中，他们大多能够准确回答出，为随后的新课作好了引如的准备．
第三环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根吗
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数的图象
(2)
（2）观察估计二次函数的图象与
x轴的交点的横坐标；由图象可知：图象与
x轴有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，
另一个在2与3之间，分别约为-4.3和2.3．
（3）确定方程的解；
由此可知，方程
的近似根为：x1≈-4.3，x2≈2.3
活动目的：
这一环节是本节新课的重点内容，例题的设计意图一是让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识，其二主要是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．
实际教学效果：
在带领学生回顾二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程的根的原理之后，我引导学生明确了除应用求根公式计算二次方程的根之外，还可以利用画二次函数图象与x轴的交点求二次方程的根．起初学生不明白为什么能用求根公式很快计算出根来，偏偏还要用画图的方法．此时，我向同学们解释说，用求根公式求解是体现数形结合思想中“数”的一面，我们现在准备利用“形”的一面来解题．于是学生便饶有兴趣的思考下去了．
利用列表、描点画抛物线的方法学生显的比较陌生了，我就在黑板上边启发、边示范、边讲解，取自变量之前，最好先把一般式转化为顶点式，先找出顶点的横坐标，再在它左右等距离取不同的自变量值，然后分别求出对应的纵坐标值．在坐标系中描出各个点后，用光滑的曲线连接即成草图．在观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标时，由于画图误差，观察数据与实际值有较大偏差．此时我向同学们提出一个问题：“如何更准确的估计出根的取值 如果精确到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一个更准确呢 ”我故意把这9个数值在黑板上一一列出来，学生马上想到可将-4到-5之间的单位长再十等分，把这9个自变量值分别代入函数中，借助计算器确定哪一个的函数值最接近0，那么它就是根的近似值．教学中虽然我发现了学生普遍感觉到这种方法很麻烦，但在探索求根的近似值的过程中，有必要让他们感受到数学探索的过程并不是总充满乐趣，有时还是很艰辛的．
第四环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．分析解答：
（1）用描点法作二次函数的图象
（2）作直线y=3；
（3）观察估计抛物线
和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知，它们有两个
交点，其横坐标一个在-5与-4之间，
另一个在2与3之间，分别约为-4.7和2.7．
（4）确定方程的解；
由此可知，
方程的近似根为：
x1≈-4.7，x2≈2.7
活动目的：
巩固学生理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力．由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识．
实际教学效果：
学生经过前一例题的学习，他们都跃跃欲试．我知道要完整给出图象解法是很费时间的，于是我组织了小组间的画图竞赛，看哪个小组完成的又好又准确．学习小组之间首先设计好解题思路，列表、取点、计算、描点、连线．当他们发现左边的交点横坐标在-5到-4之间时，模仿例题的方法也对将单位长进行了十等分，借助计算器求出了函数值，起初他们发现值都在3的左右而不是0时有些迷惑，随后便恍然大悟．看到他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中的样子，我心理很欣慰．【出处：21教育名师】
在小组成果对比中，同学们发现有个小组的图象和别人的不同，起初有些议论，我就请了这个小组的成员上了讲台发言．原来他们把方程转化成了，这样问题就转化成前面已经解决了问题了．
附创新解法2：
（1）原方程可变形为；
(1)
（2）用描点法作二次函数的图象
（3）观察估计抛物线和x轴的交
点的横坐标；
由图象可知，它们有两个交点，其横坐
标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间，分别约
为-4.7和2.7．
（4）确定方程的解；
由此可知，方程
的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2. 7
同学们明白了这种解法的简洁原因，我也不失时机的向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性．
第五环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
问题1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
分析解答：
1）用描点法作二次函数的图象；
1)
2）观察估计二次函数的图象与x
轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有
两个交点，其横坐标一个在-1与0之间，另一个
在2与3之间，分别约为-0.2和2.2
（3）确定方程的解；
由此可知，方
程的近似根为：x1≈-0.2， x2≈2.2
问题2：利用二次函数的图象求一元二次方的近似根．
分析解答：
(1) 原方程可变形为；
(2)
（2）用描点法作二次函数的图象
(3)
(2) 观察估计抛物线和x轴的交
点的横坐标；
（4）图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在
-1与0之间，另一个在0与1之间，分别约为-0.4和0.8
即．
（4） 可估计x1≈-0.4，x2≈0.8
活动目的：本环节是考察同学们是否理解了用 ( http: / / www.21cnjy.com )图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决．21·世纪*教育网
实际教学效果：在课堂巡视观察中，学生基本上掌握了用图象法估计方程根的方法，对第（2）小题也都能自觉转化为简单情况加以解决，说明学生基本上都掌握了本节课的学习任务．但他们也表示以后真的碰到这个问题时，他们准备先用求根公式把根计算出来，估计出根的近似值，再同时画出图象会更加快捷一些．
第六环节 知识拓展，迁移运用
利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y =﹣x，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解．（结果保留两个有效数字）
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）；
（2）图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
由图象可得，方程的近似解为：x1=﹣1.4，x2=4.4．
活动目的：本环节是考察同学们是否理解 ( http: / / www.21cnjy.com )了用图象法求方程根的方法，是否掌握了用图象法求方程根的思路，是否了解了数学中化归的思想方法，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决． 使学生通过本题的解答意识到，对于含有一个未知数的方程，我们可以借助学过的几种类型的函数的图象的交点近似地求解．
实际教学效果：在课堂巡视观察中，学生基 ( http: / / www.21cnjy.com )本上掌握了用图象法估计方程根的方法，一部分学生对第（1）小题的填空也能看懂并填出来，对于第（2）小题，也是一部分学生能很好地做出来，说明这部分学生灵活运用学过知识解决问题的能力还是不错的．
第七环节 归纳小结、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程的根就是二次函数 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法．2-1-c-n-j-y
实际教学效果：学生畅所欲言自己 ( http: / / www.21cnjy.com )的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 ．但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些．
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北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
第五节
二次函数与一元二次方程(1)
1、二次函数式 (a,b,c是常数,a≠0),
y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线 , 顶点坐标是（ , ）
2、二次函数的解析式中
一般式:
顶点式:
交点式:
二次函数
课前热身、耐心填一填
3. 抛物线 的对称轴是_______,
开口方向是______,顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为______ 和,
与y轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物 线的解析式为
___________
x= -1
向上
（-1,-5）
(2 ,0)
(0 ,12)
课前热身、耐心填一填
(3 ,0)
【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
用心想一想,马到功成
【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:
用心想一想,马到功成
（1）h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、
纵坐标分 别代表什么含义？
（3）小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴
进行交流.
【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:
用心想一想,马到功成
(1)h和t的关系式是什么
解:由题意可知:
由图象可得:
所以h与t的关系式为:
【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:
用心想一想,马到功成
（2）图象上的每一个点的横、 纵坐
标分 别代表什么含义
解:图象上的每一点的横坐标表
示小球运动的时间,纵坐标
表示的是在这一瞬时时间里,
小球的运动速度.
【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:
用心想一想,马到功成
（3）小球经过多少秒后落地？你有
几种求解方法？与同伴进行交
流.
解法思路: 8s. 可以利用图象直接得出,也可以解方程 得出
分别求出二次函数 的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
比一比,看谁快
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后 写成点的坐标.
（1,0）
图象与x轴无交点
（-2,0）和（0,0）
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 有几个根
验证一下,一元二次方程 有根吗
(3) 二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系？
观察下列二次函数 的图象.
议一 议、取长补短
二次函数与一元二次方程的联系
如果二次函数的值为y, 求相应的自变量x,就是求相应的一元二次方程的根
合作探索
例如:如果已知二次函数
的值为-1,
求自变量x值,就是求一元二次方程
的根
反之.解方程
,又可以看做已知
二次函数
的值为-1,
求自变量x值
归纳整理:
二次函数 的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系？
当二次函数 的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程
的根.
议一 议、取长补短
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系？
一元二次方程的根 一元二次方程根的判别式
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
归纳整理、理清关系
二次函数的图象与x轴的交点
例、 不画图象,判断下列函数的图象与x轴是否有公共点,并说明理由.
∴此方程有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴有两个交点.
∴此方程没有实数根．
∴该抛物线与x轴没有公共点.
练一练,
解:
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h ( m )可以用公式 来表示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的间．
（1）t=1时,足球的高度是多少
（2）t为何值时,h最大？
（3）球经过多长时间球落地
（4）方程 的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗
（5）方程 的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗？
教材题变形,拓展延伸！
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m )可以用公式 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．
（1）t=1时,足球的高度是多少
（2）t为何值时,h最大
解: (1)t=1时,h=14.7
教材题变形,拓展延伸！
(2)∵
∴当t=2时,h最大
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（3）球经过多长时间球落地？
（4）方程-4.9t2+19.6t =0的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗？
解:
教材题变形,拓展延伸！
（3）对于 球落地意味着h=0
即 ,解得t1=0（舍去）,
t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4) 方程 的根的实际意义是球离地和落地的时间,图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间．
（5）方程 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗？
解:
教材题变形,拓展延伸！
(5)解方程
得t=1, t=3表明球被踢出1秒
和3秒时,离地面的高度都是
14.7米图上表示为抛物线与
直线h=14.7 的交点的横坐标
例: 已知二次函数 的图象与x轴有交点,
求k的取值范围.
点拨:①因为是二次函数，因而k≠0;
②有交点，所以应为△≥0．
错解:由△=(－7)2－4×k×(－7)=49+28k＞0,
得 ．
正确解法:
此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点,
∴△=(－7)2－4×k×(－7)= 49+28k≥0,
得 , 即 且k≠0
拓展延伸,知识升华
大胆尝试,练一练！
1．抛物线 与x轴的交点坐标
.
2．抛物线 与x轴的交点个 个．
3．抛物线 与x轴只有一个交点,m=
4．二次函数 的图象与x轴有两个交点,
则k 的取值范围 ．
5．若a＞0,b＞0,c＞0,△＞0,那么抛物线
经过 象限．
(2,0)(-5,0)
0
8
一、二、三
且
1、二次函数 的图象和x轴交
点的坐标与一元二 次方程
的根有什么关系？
归纳小结、课后反思
2、本节课你有什么收获？
3、本节课你还有哪些困惑？
课内拓展延伸
习题2.5 1,2题.
(选作)补充思考题:
若二次函数 的函数值恒为正,则需满足 ,若二次函数 的函数值恒为负,则需满足 ．
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
第五节 二次函数与一元二次方程（2）
函数
的图象如下图所示,
为该图象的对称轴,根据图象
信息,你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论
仔细观察、大胆联想
解:（1）a＞0
（2）-1＜c ＜ 0
（3）对称轴:
（5）由（1）,（4）得:b＜0
(6)由（1）,（2）,（5）得:abc＜0
(7)因为:x =1时,y＜0.所以有:a+b+c＜0
(8)因为:x =-1时,y＞0.所以有:a-b+c＞0
(9)由图象可知:
（4）
1. 抛物线 经过点（0,0）与（12,0）,
坐标是3,求这条抛物线的表达式
2．若a＜0,b＞0,c＜0,△＜0,那么抛物线 经过 象限．
3. 在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足 ．
（1）经过_____ s,炮弹达到它的最高点,最高点的高度是_____ m ．
（2）经过____ s,炮弹落在地上爆炸．
4.一元二次方程 的根就是二次函数
5.一元二次方程 的根就是二次函数
三、四
5
25
10
x轴
横
y= h
横
与直线_______交点的_________坐标 .
与____交点的____坐标.
课前热身、耐心填一填
(1) 用描点法作二次函数 的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
的根吗？
(2) 观察估计二次函数
的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
用心想一想,马到功成
(如何更准确估计近似值？)
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
的根吗
(3) 用等分计算的方法确定方程 的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
用心想一想,马到功成
(1) 用描点法作二次函数图象;
利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
(3) 观察估计抛物线 和直线y=3 的交点的横坐标;
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 借助等分计算的方法确定方程 的方程的近似根为:x1≈-4.7, x2≈2.7.
(2) 作直线y=3;
教材题变形,拓展延伸！
(如何更准确估计近似值？)
(1) 原方程可变形为 ;
利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
(3) 观察估计抛物线 和x轴的交点的横坐标;
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(2) 用描点法作二次函数 的图象;
创新解法
利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
(4) 借助计算器确定方程 的近似根
创新解法
为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8
y -1.75 -1.04 -0.31 0.44
x 2.5 2.6 2.7 2.8
y -1.75 -1.04 -0.31 0.44
_
利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
(1)用描点法作二次函数 的 图象;
(2)观察估计二次函数 的图象
与x轴的交点的横坐标;
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
大胆尝试,练一练！
方程 的近似根为:
x1≈-0.4,x2≈0.8.
(3)确定方程 的解;
利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
(1)用描点法作二次函数 的图象;
(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标;
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2.
（3）确定方程 的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
做一做:
（1）填空:利用图象解一元二次方程 ,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y=-x,其交点的横坐标就是该
方程的解．
（2）已知函数 的图象（如图所示）,利用图象求方程 的近解．
（结果保留两个有效数字）
例题:利用图象解一元二次方程 时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线y=-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解．
知识拓展、迁移运用
（1）填空:利用图象解一元二次
方程 ,也可以这样
求解:在平面直角坐标系中画出抛
物线 和直线y=-x,其
交点的横坐标就是该方程的解．
例题:利用图象解一元二次方程 时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线y=-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数 的图象（如图所示）,利用图象求方程 的近似解．
（结果保留两个有效数字）
例题:利用图象解一元二次方程 时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线 y=﹣x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解．
解:（2）由图象可得,方程
的近似解为:x1=-1.4,x2=4.4．
一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
既可以用求根公式求二次方程的根,也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根
归纳小结、说一说
作业布置:
1、习题2.11第1大题第2小题.
第2大题
2、课外阅读课本第55页《走进
函数大家庭》
