北师大版数学九年级上册期中试卷01（含答案）

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北师大版数学（2024）九年级上册期中试卷01
一、填空题
1．如图，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为，则点D的坐标为　 　．
2．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球共60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在左右，则袋中红球个数可能为　 　．
3．如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则　 　．
4．已知直角三角形两条直角边长为1和 ，则此直角三角形斜边上的中线长是　 　．
5．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使 ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）
6．在矩形 中， 2cm，将矩形 沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线 交于点E，且 3cm，则矩形 的面积为　 　cm2．
二、单选题
7．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8．在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，摸到两个球都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，E是的中点，，连结，则（　　）
A． B． C． D．
11．两个矩形的位置如图所示，若，则（　　）
A． B． C． D．
12．如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
13．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（　　）
A．①表示有一个角是直角 B．②表示有一组邻边相等
C．③表示四个角都相等 D．④表示对角线相等
14．如图，矩形 的顶点 ， ， 分别落在 的边 ， 上，若 ，要求只用无刻度的直尺作 的平分线.小明的作法如下：连接 ， 交于点 ，作射线 ，则射线 平分 .有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
15．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“一袋苹果”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“一袋苹果”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（　　）
A．当n很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”
16．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
三、解答题
17．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．
18．甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译(记为)、导游(记为)、礼仪(记为)三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率．
19．如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．
（1）求AB1和AB2的长．
（2）若ABn的长为56，求n．
20．如图，已知矩形，P是AB上一动点，M、N、E分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，四边形是菱形？并给出证明．
四、计算题
21．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中搅匀，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）“摸到白球的”的概率的估计值是__________．（精确到0.01）
（2）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有大约多少个其它颜色的球？
22．阅读下列材料：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5．
【问题解决】
（1）分解因式： ；
（2）代数式的最小值 ；
（3）某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
2．【答案】个
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
3．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
4．【答案】1
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
5．【答案】AB=AD
【知识点】菱形的判定
6．【答案】 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；内错角的概念
11．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；矩形的性质
12．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
13．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
14．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
15．【答案】D
【知识点】几何概率
16．【答案】A
【知识点】正方形的性质
17．【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6，
所以摸出两球是一红一白的概率＝ ＝
【知识点】用列表法或树状图法求概率
18．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
19．【答案】解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，
∴AB2的长为：5+5+6=16；
（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，
∴ABn=（n+1）×5+1=56，
解得：n=10．
【知识点】矩形的性质；平移的性质
20．【答案】（1）解：∵M，E分别为的中点，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：当时，四边形为菱形．
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵M，N，E分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
21．【答案】（1）
（2）个
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
22．【答案】（1）；
（2）2；
（3）当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；矩形的性质
23．【答案】（1），；
（2）；或或或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
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