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《二次函数的图象与性质》习题
一、选择题
1．抛物线y=ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限21cnjy.com
2．下列三个函数：①y=x+1；②y=；③y=x2-x+1，其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）21·cn·jy·com
A．0 B．1 C．2 D．3
3．二次函数y=ax2+x+a2-1的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如下图，其中正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．抛物线y=2x2，y=-2x2，y=x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大【来源：21·世纪·教育·网】
7．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
8．对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点www.21-cn-jy.com
二、填空题
9．抛物线y=x2-2x+3的对称轴是___________，顶点坐标是____________．
10．如果抛物线y=(a+3)x2-5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________
11．已知抛物线y=x2+2x-1的对称轴为l，如果点M（-3，0）与点N关于这条对称轴l对称，那么点N的坐标是__________．21·世纪*教育网
12．已知二次函数y=(x-1)2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是_________．
13．将抛物线y=2(x-1)2+1向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的表达式是_________．www-2-1-cnjy-com
14．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c=________．
三、解答题
15．如表给出了一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
请在给出的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象说明：
（1）该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标;
（2）当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围．
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16．已知，抛物线y=-x2-2x+3的顶点为A，与y轴的交点为B，直线y=kx+b过A、B两点，试求该直线的函数表达式．21世纪教育网版权所有
17．已知，二次函数y=-x2+3x-．
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
（3）根据图象回答：该抛物线与x轴是否有交点，若有，请直接写出交点坐标，若没有，请说明理由．
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18．已知二次函数y=ax2-ax（a是常数，且a≠0）图象的顶点是A，二次函数y=x2-2x+1图象的顶点是B，21教育网
（1）判断点B是否在函数y=ax2-ax的图象上，为什么？
（2）如果二次函数y=x2-2x+1的图象经过点A，求a的值．
《二次函数的图象与性质》习题
参考答案
一、选择题
1． B； 2． C； 3． C； 4． D； 5． A； 6． B； 7． B； 8． C
二、填空题
9．x=1，（1，2）； 10． a＜-3； 11．（1，0）； 12． x≤1； 13． y=2(x-1)2+4
14． 0
三、解答题
15．解：
（1）如图所示，抛物线的开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-1）；
（2）当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x＞2．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．解：∵y=-x2-2x+3＝-(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点A的坐标为（-1，4），
∵当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
把（-1，4）和（0，3）代入y＝kx+b得：
，解得： ，
∴该直线的函数表达式为y=-x+3．
17．解：（1）∵y=-x2+3x-
=-(x2-6x)-
=-(x2-6x+9-9)-
=-(x-3)2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3；
（2）函数图象如图所示；
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（3）该抛物线与x轴有交点，交点坐标为（1，0）和（5，0）．
18．解：（1）∵二次函数y=x2-2x+1图象的顶点是B，
∴y=x2-2x+1= (x-1)2，点B的坐标为（1，0），
将（1，0）代入y=ax2-ax，得a-a=0．
故点B在函数y=ax2-ax的图象上；
（2）∵y=ax2-ax=a(x-)2-a，
∴A点坐标为（，-a），
把点A坐标代入y=x2-2x+1得：
-a=-2×+1，
解得：a=-1．
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2.2二次函数的图象与性质
北师大版数学九年级下册
2.2二次函数的图象与性质（1）
知识回顾，问题引入
1.什么是二次函数？
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数.
2.在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
…
…
…
…
-2
4
-1
1
0
1
0
1
2
4
合作学习，探究新知
画二次函数y=x2的图象
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x
y
·
·
·
·
·
(2)在直角坐标系中描点
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象
y=x2
（1）这个函数的图象形状是怎样的？
（2）图象与x轴的交点坐标是什么？
（3）y随x的变化而怎样变化？
（1）图象是一条抛物线；
（2）有交点，坐标为（0,0）；
（3）当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞0时，y随x的增大而增大；
（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0；
（5）是轴对称图形，对称轴是y轴
（直线x=0），如（1，1）和（-1，1）等.
（4）x取何值时，y的值最小？是多少？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0）
二次函数y=-x2 的图象也是一条抛物线，
它与二次函数y=x2的图象关于x轴对称
二次函数y=-x2的图象是什么形状？
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2
y=-x2 向上
向下
y轴
（0，0）
抛
物
线
增减性：
y=x2 : x＞ 0时，y随x的增大而减小
x＜0时，y随x的增大而增大
y=- x2: x＞ 0时，y随x的增大而增大
x＜0时，y随x的增大而减小
最值：
y=x2: x=0时，y最小值=0
y=- x2: x= 0时，y最大值=0
例题讲解
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的
增大而增大？
解：（1）把x=5代入，得
y=52=25.
（2）把y=4代入，得
x2=4，
解得x=±2
（3）当x＞0时，y随x的增大而增大.
1.二次函数y=-x2中，当y=-16时，
x =_________.
2.已知函数y=ax2的图象过点（3，9），和（2，t）
（1）求a和t的值；
（2）试判断这个函数的图象是否
过点（-3，9）.
过点（-3,9）
a =1,t =4
能力小测试：
1.抛物线y=-x2与直线y=kx+3交于点
（2，b），则k=_______.
2.如图，抛物线y=x2中，当-1≤x≤2时，
y的取值范围是______________.
-3.5
0≤y≤4
拓展练习：
二次函数y=x2的图象是怎样的
二次函数y=x2的性质有哪些
作业：习题2.2
二次函数y=-x2的图象是怎样的
二次函数y=x2的性质有哪些
归纳小结
2.2二次函数的图象与性质（2）
知识回顾，问题引入
1.二次函数y=x2、y=-x2的图象
是什么形状的？
2.二次函数y=x2、y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值是怎样的？
抛物线
可列表进行比较
在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：
（1）图象：___________
开口方向：____对称轴：___
顶点坐标：_________
（2）它与y=x2的图象的
相同点：_____________________________；
不同点：______________________.
抛物线
向上
y轴
（0，0）
形状、开口方向、对称轴、顶点坐标
开口大小
合作学习，探究新知
相同：
形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
不同：
开口大小
︱a︱越大，开口越小
在图2-4中画出y= x2的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？
想一想
函数y=ax2（a＞0）的图象性质
图象：
开口方向：______, 对称轴：______
顶点坐标：_______.
向上
y轴
（0，0）
增减性：
x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而增大
最值：
当x=0时，y取得最小值
y最小值=0
函数y=ax2（a＜0）的图象性质
图象：
开口方向：______， 对称轴：_____
顶点坐标：________.
向下
y轴
（0,0）
增减性：
x＜0时，y随x的增大而增大
x＞0时，y随x的增大而减小
最值：
当x=0时，y取得最大值
y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2+1的图象：
由y=2x2的图象向上平移1个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，1）
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1的图象：
由y=2x2的图象向下平移1个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,-1）
二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？
y=2x2
y=2x2-1
函数y=ax2+c（a＞0）的图象性质
平移：
由y=ax2向上或向下
平移︱c︱个单位得到
开口方向：
对称轴： 顶点坐标：
向上
y轴
（0，c）
增减性：
x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而增大
最值：
当x=0时，y取得最小值
y最小值=c
函数y=ax2+c（a＜0）的性质
平移：
由y=ax2向上或向下
平移︱c︱个单位得到
开口方向：
对称轴： 顶点坐标：
向下
y轴
（0，c）
增减性：
x＜0时，y随x的增大而增大
x＞0时，y随x的增大而减小
最值：
当x=0时，y取得最大值
y最大值=c
抛物线y= x2+4是由抛物线y=
x2怎样平移得到的？并说明：
（1）顶点坐标、对称轴及y随x的
变化情况；
（2）函数的最值.
例题讲解
解 ：抛物线y= x2+4是由抛物线
y= x2向上平移4个单位得到的.
（1）顶点坐标：（0，4）
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
1.二次函数y=3x2- 的图象与二次函数
y=3x2的图象有什么关系？它是轴对
称图形吗？它的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2- 的图象与二次函
数y=-2x2+ 的图象有什么关系
随堂练习
y=3x2
y=3x2-
1.y=3x2- 的图象：
由y=3x2的图象向下平移
个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，- ）
2. y=-2x2- 的图象：
由y=-2x2+ 的图象向下平移1个
单位得到
y=-2x2+
y=-2x2-
已知函数y=ax2+c的图象经过点
（1， ）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）抛物线y=ax2+c与x轴的交点
知识拓展
解 （1）由题意，得
解得
∴此函数的关系式为y=- x2+2
（2）顶点坐标为（0,2）
（3）当y=0时，- x2+2=0
解得
∴此抛物线与x轴交点为（ ，0）（- ，0）
二次函数y=ax2的图象、
性质分别是什么
二次函数y=ax2+c的图象、
性质分别是什么
作业：习题2.3
抛物线y=ax2+c与y=ax2有怎样的关系
归纳小结
2.2二次函数的图象与性质（3）
知识回顾，问题引入
1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？
2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？
抛物线
分a＞0和a＜0两种情况
32
0
32
50
18
18
8
8
2
0
2
18
8
2
2
8
18
32
对于同一个y值，这两个函数对应的x值相差1（在对称轴同侧）
合作学习，探究新知
画出二次函数y=2(x-1)2的图象
（1）完成下表：
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x2
2(x-1)2
（2）画函数出y=2(x-1)2的图象
y=2x2
y=2(x-1)2
y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位得到；开口方向：向上；
对称轴：直线x=1；顶点坐标：（1, 0 ）；
x＜1时，y随x的增大而减小，
x ＞1时，y随x的增大而增大.
二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左平移1个单位得到.
类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
y=2(x+1)2
y=2x2
对于二次函数y=-3(x+2)2：
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
（2）当x取哪些值时，y的随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
随堂练习：
（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象
向左平移2个单位得到；
它是轴对称图形；
开口方向：向下；
对称轴：直线x=-2；
顶点坐标：（0,-2）.
(2) x＜-2时，y随x的增大而增大，
x ＞-2时，y随x的增大而减小.
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函
数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-
的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交
流.
y=2x2
y=2x2-
y=2(x+3)2-
y=2(x+3)2
y=2x2- 的图象：由y=2x2的图象向下平
移 个单位得到.
y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到.
y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象
向左平移3个单位，再向下平移 个单位得
到（也可由y=2x2的图象向下平移 个单位，再向左平移3个单位得到）.
形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同.
抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移︱h︱个单位（h＞0时，向右平移，h＜0时，向左平移），再沿y轴方向平移︱k︱个单位（k＞0时，向上平移，k＜0时，向下平移）得到.
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
向上
（a＞0）
向下
（a＜0）
y轴
（h，k）
增减性：
a＞0时，x＞h，y随x的增大而减小
x＜h，y随x的增大而增大
a＜0时，x＞h，y随x的增大而增大
x＜h，y随x的增大而减小
最值：
a＞0时，x=h，y最小值=k
a＜0时，x=h，y最大值=k
（1） 填空：二次函数y=-(x+3)2+2的开口
方向是_____，对称轴是________，顶点坐
标是_______；当x____时，y随x的增大而增
大；当x_____时，y最大值=____.
（2）此抛物线怎样由抛物线y=-x2平移得到？
向下
（-3，2）
＜-3
=-3
2
直线x=-3
由抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位或先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到.
例题讲解
已知一个二次函数的图象的形状和抛物线y=-2x2相同，且它的顶点坐标为（1，3）.
（1）求该二次函数的关系式.
（2）x取何值时，y随x的增大而增大？
（1）y=-2(x-1)2+3
（2）x＜1
知识拓展
练一练：
1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____.
2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小.
3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？
2
4
＞-1
由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是怎样的
作业：习题2.4
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有怎样的关系
二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些
归纳小结
2.2二次函数的图象与性质（4）
知识回顾，问题引入
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是什么形状的？
2.二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？
抛物线
分a＞0和a＜0两种情况
学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质之后，现在你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
化成y=a(x-h)2+k的形式呗！
合作学习，探究新知
例1 :求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶点坐标.
解 y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
∴二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2，-1）.
解 （1）y=3x2-6x+7
=3(x-1)2+4
对称轴：
直线x=1
顶点坐标：
（1，4）
（2） y=2x2-12x+8
=2(x-3)2-10
对称轴：
直线x=3
顶点坐标：
（3，-10）
求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=- ,顶点坐标为（- ， ）.
解 y=ax2+bx+c
=a(x2+ x)+c
=a[x2+2· x+( )2-( )2]+c
=a(x+ )2+
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的
对称轴和顶点坐标
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.
开口 方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2+bx+c
向上
（a＞0）
向下
（a＜0）
直线
x=-
（- ， ）
增减性：
a＞0时，x＞- ，y随x的增大而减小
x＜- ，y随x的增大而增大
a＜0时，x＞- ，y随x的增大而增大
x＜ - ，y随x的增大而减小
最值： a＞0时，x=- ，y最小值=
a＜0时，x=- ，y最大值=
做一做：
如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
解 （1）∵y= x2+ x+10
= (x+20)2+1
∴左侧钢缆最低点坐标为（-20，1）
∴钢缆最低点到桥面的距离是
1×5=5（m）
（2）∵左、右两侧抛物线关于y轴对称
∴左、右两侧抛物线的最低点关于
y轴对称
∵左侧抛物线最低点坐标为（-20，1）
∴右侧抛物线最低点坐标为（20，1）
∴两条钢缆最低点之间的距离是
20×5+20×5=200（m）
解（1）y=2x2-12x+3
=2(x-3)2-15
对称轴：直线x=3
顶点坐标：（3，-15）
（2）y=-5x2+80x-319
=-5(x-8)2+1
对称轴：直线x=8
顶点坐标：（8，1）
随堂练习：
（1）y=2x2-12x+3；（2）y=-5x2+80x-319；
（3）y=2(x- )(x-2)；
（4）y=3(2x+1)(2-x).
（3）y=2(x- )(x-2)
=2(x- )2-
对称轴：
直线x=
顶点坐标：
（4）y=3(2x+1)(2-x)
=-6(x- )2+
对称轴：
直线 x=
顶点坐标：
(1)与a的关系
探究二次函数y=ax2+bx+c的图象的大致位置与a、b、c的关系
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
︱a︱越大，
开口越小.
知识拓展
o
o
x
x
y
y
(2)与a、b的关系
a、b同号
对称轴在
y轴左侧
a、b异号
对称轴在
y轴右侧
b=0
对称轴是y轴
x
x
x
y
y
y
o
o
o
(3)与c的关系
c＞0
与y轴交点在
y轴正半轴
c＜0
与y轴交点在
y轴负半轴
c=0
与y轴交点
在原点
·
·
·
x
x
x
y
y
y
o
o
o
二次函数y=ax2+bx+c的图象是什么？
二次函数y=ax2+bx+c的性质有哪些？
二次函数y=ax2+bx+c的图象的大致位置与a、b、c的关系
作业：习题2.5
课堂小结
