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《二次函数的应用》第一课时练习题（附答案）
1、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）21教育网
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A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2、为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（ ）21cnjy.com
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A．600m2 B．625m2 C．650m2 D．675m2
3、用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积
最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）
A．m2 B．m2 C．m2 D．4m2
4、如图所示，在一个直角△MBN的内部作一 ( http: / / www.21cnjy.com )个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
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A．m B．6 m C．15 m D．m
5、将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方
形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体
积最大（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数
关系式是：，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6 m B．12 m C．8 m D．10m
7、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一
部分，如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ ）
A．4.6m B．4.5m C．4m D．3.5m
8、某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷
水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）21·cn·jy·com
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A．y=x2+4 B．y=-10（x+）2+4
C．y=4（x-）2+ D．y=-10（x-）2+4
9、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积.www.21-cn-jy.com
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10、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 ( http: / / www.21cnjy.com )米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
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11、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图a所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图b所示)，求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行 ( http: / / www.21cnjy.com )车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．
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12、如图所示，在生产中，为了节约原材料，加工零件时常用一些边角余料，
△ABC为锐角三角形废料．其中BC＝12 cm，BC边上高AD＝8 cm，在
△ABC上截取矩形PQMN，与BC边重合，画出草图说明P，N两点落在什
么位置上，才能使它的面积最大？最大面积是多少？并求出这时矩形的长和宽．
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附答案：
1、A 2、B 3、C 4、D 5、D 6、D 7、B 8、D
9、解：设矩形PNDM的边
则矩形PNDM的面积
易知CN=4-x，EM=4-y.
过点B作于点H，则有
有△AFB∽△BHP
此二次函数的图象开口向下，对称轴
当时，函数值随的增大而增大，
对于来说，当时，
10、 解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米
则长为： (米)
则：
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT S与的二次函数的顶点不在自变量范围内，
而在 内，S随的增大而减小
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 当 时，
答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大.
11、 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（-100，0），（10，0），（0，6）.
设抛物线的解析式为则由题意可得：
解得.
（2）可设F（5，），于是
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7、0）.
过GH点作GH垂直AB交抛物线于H，则
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
12、
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解：设ED=cm，则AE=（8-）cm，由矩形的性质可得：ED=PQ=MN，
△APN∽△ABC
则
设矩形的面积为Scm2
当=4cm时，矩形的最大面积为24cm2，这时，矩形的长PN为6cm，宽PQ为4cm。PN这AD的中点.21世纪教育网版权所有
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2.4 二次函数的应用（第一课时）
九年级上册第二章二次函数
回顾与练习
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
（1） y ＝ ﹣x2＋58x－112; （2）y＝﹣x 2＋4x
解：（1）配方得： y ＝﹣（x－29）2＋729
所以：当x ＝ 29时， y 达到最大值为729
又因为： ﹣1 ＜ 0，则：图像开口向下，
（2） ﹣1 ＜ 0，
则：图像开口向下，函数有最大值
所以由求最值公式可知，当x ＝ 2时， y达到最大值为4.
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为：
y＝ 2x2＋8 x ＋13
﹣2
0
2
4
6
2
﹣4
x
y
（1）若﹣3 ≤ x ≤ 3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）（ ）。
（2）又若0 ≤ x ≤ 3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）（ ）。
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
55 5
55 13
情景建模问题：
8米
4米
4米
（4 － x）米
（4 － x）米
x米
x米
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
x
4－x
又有：﹣1 ＜ 0，
则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值
解：设窗框的一边长为x米，
则另一边的长为（4－x）米，
又令该窗框的透光面积为y米2，那么：
y ＝ x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4
即： y ＝ ﹣ x 2＋ 4x
而图像的对称轴为直线x＝ 2，且0 ＜ 2 ＜ 4
所以由求最值公式可知，当 x ＝ 2时，该函数达到最大值为4.
答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4米2
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
（1） ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4 x ）米
（3） ∵墙的可用长度为8米
（2）当x ＝ 时，S最大值＝ ＝ 36（平方米）
∴ S ＝ x （24 － 4 x ）
＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x （0 ＜ x ＜ 6）
∴ 0 ＜ 24－4 x ≤ 6 4 ≤ x ＜ 6
∴当x ＝ 4cm时，S最大值＝ 32 平方米
练习感悟
（1）数据（常量、变量）提取；
（2）自变量、应变量识别；
（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；
（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值。
探究与建模
3.图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大 （结果精确到0.01米）
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r＋πr ＋ 2r ＋ 2l ＝ 8,
即：l＝ 4－0.5（π＋7） r
又因为：l ＞ 0且r ＞ 0
则：0 ＜ r ＜
（0＜ r ＜ ）
所以： 4－0.5（π＋7） r ﹥ 0
故透光面积:
则：
在
的范围内，
故：当 时，
此时，
答：当窗户半圆的半径约为0.47米，矩形窗框的一边长约为1.63米时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.87米2.
归纳与小结
对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；
建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题。
关于函数建模问题？
用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；
例1:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
（1）设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为何值时，S△PCQ ＝ S△ABC
拓展训练
解：(１)∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
CQ PB
＝
AP PB
＝
∴AP ＝ CQ ＝ x
即S ＝ （0 ＜ x ＜ 2）
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ ＝
即S ＝ （x ＞ 2）
（2）当S△PCQ ＝ S△ABC时，有
＝ 2
② ＝2
∴ x1 ＝ 1＋ , x2 ＝ 1－ （舍去）
∴当AP长为1＋ 时，S△PCQ ＝ S△ABC
此方程无解
课堂练习1：
如图，在ΔABC中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 12cm，BC ＝ 16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1
厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边
向点C以2厘米／秒的速度移动，如果P,Q
分别从A,B同时出发，且P，Q分别到达
A、B时停止，几秒后ΔPBQ的面
积最大？最大面积是多少？
C
B
A
Q
P
解：则由题意可知：P最多运动12秒，Q最 多运动8秒，设P运动的时间为t 秒，则PB ＝（12－t）cmBQ ＝ 2tcm，设ΔPBQ的面积为Scm2
所以
因为，t ＝6＜8，所以，当t ＝6秒时，ΔPBQ的面积最大，最大面积为36cm2.
答:6秒时，ΔPBQ的面积最大，最大面积是36cm2.
（1）二次函数与一元二次方程关系密切，解题的关键 是要善于进行转化，且注意根的判别式的取值。
（2）二次函数的最值在实际问题中的运用广泛, 求解时应注意自变量的取值范围。
（3）二次函数在几何问题中的运用，在求解进应注 意图形位置的变化，注意运用分类讨论的思想 方法。
归纳总结
作业
1.教材P55，习题2、3；第4题选作。
2.北师大版配套作业本课第一时作业
