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《二次函数与一元二次方程》习题（一）
一、选择题：
1．函数（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．关于二次函数的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，且函数的图像开口向下时，方程必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 ；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．关于的二次函数的图像与x轴有交点，则m的范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
4．抛物线与x轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它 个单位．
A．向右平移4个单位 B．向左平移4个单位
C．向右平移4或者9个单位 D．向左平移4或者9个单位
5．二次函数与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0）（3，0） B．（，0）（，0）
C．（0，2）（0，3） D．（0，）（0，）
6．下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．抛物线的图象与坐标轴交点的个数是（ ）
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有且只有两个交点 D．有且只有三个交点
8．若二次函数，当x取、时，函数值相等，则当x取时，函数值为（ ）
A． B． C．-c D．c
二、填空题：
9．二次函数 的图像与x轴的交点坐标为 ．
10．二次函数的图像与x轴有 个交点．
11．对于二次函数，当时，y= ．
12．抛物线与x轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ．
13．关于x的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与x轴必然相交于 点，此时m= ．
14．如图所示，函数的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x0=
三、解答题：
15．已知函数．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值 ，求函数表达式．
16．下图是二次函数 的图像，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点．
（1）根据图像确定a，b，c的符号，并说明理由；
（2）如果A点的坐标为(0，3)， ，，求这个二次函数的函数表达式．
《二次函数与一元二次方程》习题（二）
一、选择题：
1．函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D.没有实数根
2．根据下列表格中的对应值，判断方程 （a，b，c为常数）的根的个数是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1 或者2
3．已知二次函数的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是x1=1.3，则x2=（ ）
A．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
4．根据抛物线 与x轴的交点坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A. B.
C． D.
5．已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）]
A．－2 B．12 C．24 D．－2或24
二、填空题：
6．小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取自变量的5个值，分别计算出对应的值，如下表
… 0 1 2 …
… 11 2 2 5 …
由于粗心，小颖算错了其中的一个值，请你指出这个算错的值所对应 ．
7．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示．经过___ ___s，火箭达到它的最高点．21世纪教育网版权所有
8．已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为
9．如图是二次函数的图象，那么方程
的两根之和 0（填“>”或“<”或“=”）
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10．设函数 的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1∶4，则k= _________ ．21教育网
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三、解答题：
11．试说明一元二次方程的根与二次函数的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．
12．一元二次方程 的两根为且 ，点A（3，8）在抛物线上，求点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标．
13．已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
14．利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的 坐标就是该方程的解．
（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解．（结果保留两个有效数字）
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《二次函数与一元二次方程》习题（一）
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D
9．（3，0） 10．0 11． 12．0 -92 < 没有实数根．13． m=421cnjy.com
14．
15．（1），不论m为何值时，都有，
此时二次函数图像与x轴有两个不同交点．
（2），
， 或，
所求函数式为或．
16．（1）抛物线开口向上，a>0图像的对称轴在y轴左侧，
，又a>0，
；图像与y轴交点在x轴下方， ．
（2）A(0，-3)， ，
设二次函数式为
把(0，-3)代入上式，得 ，
所求函数式为．即
《二次函数与一元二次方程》习题（二）
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．A 5．D
6．2 7．15 8． 9．> 10．-6或者-21
11．一元二次方程的根是二次函数与直线的交点的横坐标，
12．（1，）
13．解：（1）证明：
法一：依题意，，是一元二次方程的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得，．
∴，， ∴．
法二：由题意得， ①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，所以．
法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．
（2）解：法一：依题意，，∴．
由（1）得．
∴．
∴二次函数的最小值为．
法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），
所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线，
所以，故抛物线与x轴的两交点为、，
所以抛物线的解析式为，
当时，，
∴二次函数的最小值为．
14．解答
解：（1）；横（2）图象如图所示：由图象可得，方程的近似解为：．
Ｏ
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
3
Ｏ
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北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
二次函数与一元二次方程
（1）
1、二次函数式 (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线 , 顶点坐标是（ ， ）
2、观察下列函数的图象，
（1）抛物线与x轴有
个交点，它们的横坐标是
.
二次函数
（2）当x=1时，y=
当x= 时， y=-2.
-2或者1
两
0
0
温故检测
（例）我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
讲授新课
（例）竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
(1)h和t的关系式是什么？
(2) 小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴
进行交流.
做一做
做一做
解：（1）由题意可知：
由图象可得：
所以h与t的关系式为：
(2)解法思路： 8s.
可以利用图象直接得出，
也可以解方程
得出.
分别求出二次函数 的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
灵活运用
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后写成点的坐标.
（1，0）
图象与x轴无交点
（-2，0）和（0，0）
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 有几个根
验证一下,一元二次方程 有根吗
(3) 二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系
观察下列二次函数 的图象.
探究总结
考考你
探究1：求二次函数图象y=x2-5x+4与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-5x+4=0
解得：x1=1，x2=4；
∴A（1，0） ， B（4，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-5x+4=0
结论：方程x2-5x+4=0的解就是抛物线y=x2-5x+4与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）
x1，0
x2，0
x
O
A
B
x1
x2
y
二次函数与一元二次方程的联系
如果二次函数的值为y, 求相应的自变量x，就是求相应的一元二次方程的根
合作探索
例如：如果已知二次函数
的值为-1，
求自变量x值，就是求一元二次方程
的根
反之，解方程
，又可以看做已知
二次函数
的值为-1，
求自变量x值
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关系
当二次函数 的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程
归纳整理
的根.
归纳整理:
二次函数 的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
二次函数 的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程 的根关系表
二次函数的图象和x轴的交点 一元二次方程 的根 一元二次方程根的判别式
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
归纳小结
例：已知二次函数
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图象
与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A、
B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标.
拓展延伸，灵活运用
拓展延伸，灵活运用
（2）
∵A(1,0)在抛物线 上
B点坐标为（-2，0）
解：（1）证明：令y=0,得
无论m取何值，抛物线与x轴总有公共点.
（1）抛物线
与x轴的交点个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（2）抛物线 经过原点，则其顶点坐标为（ ）
（3）关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
练一练
C
A
A
归纳小结，课后反思
1、二次函数
的图象和x轴交点
一元二次方程
的根
2、数形结合
3、函数思想
作业布置：
习题2.10 1,2题.
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
二次函数与一元二次方程
（2）
预习检测
1、二次函数
的图象与x轴交点有三种情况:
时,有两个交点,
时,有一个交点
时,无交点
2、一元二次方程
的根就是二次函数
的图象与直线
交点的
坐标.
3、已知函数
的图象与x轴有公共点,
则k的取值范围是（ ）
且
且
4、下列二次函数中.其图象与x轴有两个交点的是（ ）
横
D
C
(1) 用描点法作二次函数 的图象;
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
的根吗？
(2) 观察估计二次函数
的图象与x轴的交点的横坐标;
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在 与 之间,另一个在 与 之间 .
(3) 用等分计算的方法确定方程 的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
导学知识
(如何更准确估计近似值？)
导学步骤:
- 4
-5
2
3
（1）填空:利用图象解一元二次方程 ,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线
和直线 y=-x,其交点的
横坐标就是该方程
的解．
解:（2）由图象可得,方程
的近似解
为 ．
抛物线
抛物线 与x轴的交点个数可由
一元二次方程 的根的情况说明:
1、△＞0 一元二次方程
有两个不等的实数根
与x轴有两个交点
抛物线
2、△=0 一元二次方程
有两个相等的实数根
与x轴有唯一公共点
抛物线
3、△＜0 一元二次方程
没有实数根
与x轴没有公共点
归纳小结
课后反思
1、我今天学到了什么知识？
2、我感受到了什么？
3、还存在什么困惑呢？
作业布置:
1、习题2.11第1大题第2小题.第2大题
2、课外阅读课本第55页《走进函数大家庭》
