浙江省温州市教研院附属教育集团校2023-2024学年第二学期百基作业反馈（开学考试）九年级数学试卷
1．（2024九下·温州开学考）下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．2 B． C．0 D．
2．（2024九下·温州开学考） 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·温州开学考）根据人民银行发布的《金融统计数据报告》，2023年3月末社会融资规模存量为334900000000000元，同比增长．将数字334900000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·温州开学考）在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·温州开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·温州开学考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
7．（2024九下·温州开学考）如图是某校七年级学生参加课外兴趣小组的扇形统计图（每人只参加一项），若参加书法兴趣小组的人数是30人，则参加绘画兴趣小组的人数是（ ）
A．36人 B．40人 C．60人 D．200人
8．（2024九下·温州开学考）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
9．（2024九下·温州开学考）如图，中，，，，经过点且半径为5的与交于，与的延长线交于，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
10．（2024九下·温州开学考）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·温州开学考）因式分解： = ；
12．（2024九下·温州开学考）为了解某校九年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中的40名学生，测试了一分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在20～30之间的频数是 ．
13．（2024九下·温州开学考）不等式组的解为 ．
14．（2024九下·温州开学考）一个扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
15．（2024九下·温州开学考）如图，直线与轴，轴分别相交于点、，四边形是正方形，双曲线 在第一象限经过点，将正方形向下平移个单位后，点刚好落在双曲线上，则 ．
16．（2024九下·温州开学考）如图，在锐角中，，，点，分别在边，上，，沿将翻折到，则的最小值为 ．
17．（2024九下·温州开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2024九下·温州开学考）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作点，使得；
（2）在图2线段上作点，使得：2：1．
19．（2024九下·温州开学考）为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 8 1.88
九年级竞赛成绩 8 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空： ， ， ；
（2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你选择相关的统计量进行分析，应该给哪个年级颁奖？
20．（2024九下·温州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值．
21．（2024九下·温州开学考）如图，在四边形中，∥，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（2024九下·温州开学考）根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景 素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度．
23．（2024九下·温州开学考）如图1，在直角坐标系中，作半径为10的圆，交轴于点， (点在点的左边).点为直径上一动点，过点作弦(点在点上方)，连接，过点作∥交圆于另一点，记为点.直线交轴于点，连接，，.
（1）若，求的度数；
（2）求证：∥；
（3）若，请直接写出点横坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、，
B、；
C、；
D、；
∵，
∴的绝对值最大，
故答案为：D．
【分析】先求出各选项的绝对值，再比较大小即可。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图如图所示：
故答案为：B.
【分析】该组合体上面是一个球，下面是一个正方体，故从上面看到一个正方形和圆的组合体，圆心和正方形的中心重合.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】 大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵ 每个球除颜色外其余均相同， 从袋中任取一个球的可能性相同，
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为：.
故答案为：B.
【分析】由于从袋中任取一个球的可能性相同，利用等可能事件的概率计算摸到红球的即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】，同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意把x=1代入关于x的一元二次方程得：
12+k-6=0，解得：k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意由题意把x=1代入关于x的一元二次方程可得关于k的一元一次方程，解这个方程即可求解.
7．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：参加书法兴趣小组的人数占比是：1－35%－30%－20%=15%.
故总人数为：30÷15%=200（人）
故参加绘画兴趣小组的人数是 200×30%=60（人）.
故答案为：C.
【分析】先计算参加书法小组的人数占比，从而可得总人数，再用总人数×绘画兴趣小组的人数占比，即可得到对应的人数.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DO并延长，交圆O于点F，连接EF，如图：
∵DF为直径，
∴∠DEF=90°，
∵中，，，，
∴.
∵四边形DBEF是圆内接四边形，
∴∠DBE+∠F=180°.
又∵∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABC=∠F.
又∵∠C=∠DEF=90°，
∴△ACB∽△DEF，
∴，即，
∴DE=8.
故答案为：D.
【分析】连接DO并延长，交圆O于点F，连接EF，可得∠DEF=90°，由圆内接四边形和邻补角的性质可证得∠ABC=∠F.证明△ACB∽△DEF，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求得DE的长.
10．【答案】C
【知识点】定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的其他应用
【解析】【解答】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1 a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1 a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故答案为：C．
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有Δ=1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得c的范围是-2＜c＜。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．【答案】28
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵被调查的总人数40，由频率分布直方图可以得出，
∴仰卧起坐次数在20～30次的学生人数为：12+16＝28，
∴仰卧起坐次数在20～30次之间的频数28．
故答案为：28．
【分析】根据被调查的总人数为40名学生以及频数分布直方图，即可得出仰卧起坐的次数在20~30之间的频数。
13．【答案】2≤x<7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥2；
解不等式②得：x<7.
故不等式组的解集为：2≤x<7.
故答案为：2≤x<7.
【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”确定不等式组的解集.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长为：.
故答案为：
【分析】利用扇形的弧长公式计算即可.
15．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图：
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∠EAD+∠EDA=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°.
∠FBC+∠OBA=90°，∠OAB+∠EAD=90°.
∴∠FCB=∠OBA，∠OBA=∠EAD.
∴△FBC≌△OAB≌△EDA（SAS）
∴BF=OA=DE，FC=OB=AE.
∵ 直线与轴，轴分别相交于点、，
∴B（0，4），A（2，0）.
∴OA=2，OB=4，
∴BF=OA=DE=2，FC=OB=AE=4，
∴D（6，2），C（4，6）.
∵经过点D，
∴k=6×2=12，
正方形向下平移个单位后，点C刚好落在双曲线上，且点C平移后坐标为（4，6－m）
∴4(6－m)=12，
∴m=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据正方形的性质和直角三角形的性质可证明△FBC≌△OAB≌△EDA，根据全等三角形的性质可得BF=OA=DE，FC=OB=AE.计算点A和B的坐标，可得OA=2，OB=4，从而可得点D和点C的坐标；把D坐标代入解析式求出k值，再表示出平移后点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得m的值.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BD，BF，过点D作DG⊥BC于点G，如图：
∵AD=DC=2，∠C=60°，
∴GC=DC×cos60°=1，
∵BC=6，
∴BG=BC－CG=5.
∴.
由翻折可得：
DF=AD=2，
∵BF+FD≥BD，
∴，
∴，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接BD，BF，过点D作DG⊥BC于点G，在Rt△DGC中解直角三角形求出DG和GC的长，在Rt△DGB中利用勾股定理求出BD长；由翻折得AD=DF=2，由于BF+FD≥BD，代入数据，即可求出BF的最小值.
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】无理数的混合运算；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算乘方，非零数的零次幂，计算二次根式的乘法，再合并化简即可；
（2）先通分，再进行减法运算，最后约分即可.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）要求取AB的中点，且AB为边长分别为1和3的长方形的对角线，根据矩形的性质作两问一条对角线，取交点即可.
（2）构造相似三角形，即可得到满足条件的P点.
19．【答案】（1）8；7；8
（2）八、九年级的平均数和中位数都相同，但九年级的众数大于八年级，说明九年级大部分学生成绩优秀；九年级的方差比八年级的小，也说明九年级学生的成绩更平稳.
∴应该给九年级颁奖．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）九年级成绩的平均数：；
八年级众数：7分出现15次，次数最多，故众数b=7，
中位数：6和7分的有7+15=22（人），故第25和26人的成绩都是10分，故c=8.
故答案为：8；7；8.
【分析】（1）根据折线图的信息即可求解；
（2）八、九年级的平均数和中位数都相同，但九年级的众数比八年级的高，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解.
20．【答案】（1）解：令，
则，即点，
为中点，
∴点，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
即直线的函数解析式为：；
（2）解：当时，即，，
则，，
则，
则或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令，可得点A的坐标，继而可得点C坐标，代入，求得m的值，即可得的函数解析式；
（2）令y=a，联立方程求得点E和点F的横坐标，根据EF=1建立方程，求解即可.
21．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
∴∠ACD=∠DAC，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，，
∴∠DAB=180°－∠ADC=60°.
∵，
∴∠BAC=30°.
四边形是菱形，
∴，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠CBE=60°.
∵ ，即△ACE和△CBE是直角三角形，
∴，，
∴AB=AE－BE=4.
菱形的面积．
【知识点】菱形的判定；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据平行线和角平分线的性质可证明∠ACD=∠DAC，于是可得AD=CD=AB；再证明四边形ABCD是平行四边形，结合AD=AB，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质证得∠BAC=30°，证明∠CBE=60°，分别在Rt△ACE和Rt△CBE在解直角三角形，求得AE和BE的长，即可得AB的长，最后利用平行四边形的面积计算公式即可得四边形ABCD的面积.
22．【答案】解：任务一：把代入得：
，
抛物线解析式为
顶点的坐标为；
任务二：直线的解析式为，
，，
，
，
在中，当时，，即F(6，8)；
在中，当时，，即；
，
，
，
、是叶片上的一对对称点，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式，求得m的值，即可得抛物线解析式，配方后即可得到顶点坐标.
（2）根据直线AB的解析式求得∠ABO=45°；把x=6代入 求得F点坐标，代入抛物线解析式求得点E的坐标；可得EF长；再根据EF//OB，可得∠GFE=45°；根据对称性可得，，于是得等腰直角三角形，求得EG的长，即可得EE'长.
23．【答案】（1）解：∵
∴，
∵AB为直径，AB⊥DE，
∴，
∴∠DAB=∠BAE=40°，
∴∠DAE=2∠DAB=80°.
∵ ，
∴
（2）证明：设，
∴，
∵AB为直径，AB⊥DE，
∴，
∴，
∴.
∵ ，
∴.
∵四边形ADFB是圆内接四边形，
∴∠ADF+∠ABF=180°.
∴.
∴∠ABF=∠BOE，
∴
（3）点C的横坐标为：.
【知识点】坐标与图形性质；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（3）∵OG=2CG，
∴OG的中点是C，
∵DE⊥AB，
∴GE=OE=10，
∴∠OEC=∠GEC.
①当点C在x轴的正半轴上时，
设∠OEC=α，则∠GEC=∠OEC=α，
由（2）知BF//OE，
∴∠EAB=∠EFB=∠OEG=2α；
∴∠EOC=2∠EAB=4α，
在Rt△OEC中，∠OEC+∠EOC=90°，
∴α+4a=90°
∴α=18°.
连接OF，如图：
即∠OEC=18°，
∴∠OEG=36°，∠EOC=∠OBF=72°.
∵OF=OE，
∴∠OEG=∠OFG=36°，∠EOF=180°－36°×2=108°.
∵GE=OE=10，
∴∠EOG=∠EGO=72°，
∴∠OGF=180°－∠EGO=108°
∴∠OGF=∠EOF.
∴△OFG∽△EFO
∴，故，
设FG=OG=x，则EF=x+EG=10+x.
∴x(x+10)=102，
解得：，（舍去）
∴，
∴，即点C的横坐标为：.
②当点C在x轴的负半轴上时，连接OF，如图：
设∠D=α，
∵AE//DF，
∴∠AED=∠D=α，
∴∠EOF=2∠D=2α，∠EOA=2∠AED=2α，
∴∠EGO=∠EOA=∠EOF=2α，
∴∠AOF=∠EOA+∠EOF=4α，∠OEF=∠EGO+∠EOA=4α，
∴∠AOF=∠OEF.
又∵∠EFO=∠OFG，
∴△∠EFO∽△OFG，
∴，故，
设FG=x，则EF=FG－GE=x－10.
∴x(x－10)=102，
解得：，（舍去）
∴.
∵△∠EFO∽△OFG，
∴，
∴，
∴，
即点C的横坐标为：.
故点C的横坐标为或.
【分析】（1）根据圆周角定理得∠BAE=40°，根据垂径定理得∠DAE=80°，再利用平行线的性质，即可得到结论；
（2）设，参考（1）的解题步骤，可得∠ABF=α，于是有∠ABF=∠BOE，即可根据平行线的判定定理得到结论.
（3）由条件得OG的中点是C，有OE=GE，则∠OEC=∠GEC；再分点①当点C在x轴的正半轴上时，②当点C在x轴的负半轴上时，两种情况分别进行讨论：当①时，设∠OEC=α，由（2）得∠EAB=∠EFB=∠OEG=2α，求得∠α=18°，证明△OFG∽△EFO，利用相似三角形的性质得，，设FG=x，得关于x的方程并求解，即可得到结论；当②时，设∠D=α，可得∠AED=∠D=α，根据圆周角定理可得∠EOF=2∠D=2α，∠EOA=2∠AED=2α；证明△∠EFO∽△OFG，接下来同①的解题思路，即可得到答案；最后综述.
1 / 1浙江省温州市教研院附属教育集团校2023-2024学年第二学期百基作业反馈（开学考试）九年级数学试卷
1．（2024九下·温州开学考）下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、，
B、；
C、；
D、；
∵，
∴的绝对值最大，
故答案为：D．
【分析】先求出各选项的绝对值，再比较大小即可。
2．（2024九下·温州开学考） 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图如图所示：
故答案为：B.
【分析】该组合体上面是一个球，下面是一个正方体，故从上面看到一个正方形和圆的组合体，圆心和正方形的中心重合.
3．（2024九下·温州开学考）根据人民银行发布的《金融统计数据报告》，2023年3月末社会融资规模存量为334900000000000元，同比增长．将数字334900000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】 大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．（2024九下·温州开学考）在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵ 每个球除颜色外其余均相同， 从袋中任取一个球的可能性相同，
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为：.
故答案为：B.
【分析】由于从袋中任取一个球的可能性相同，利用等可能事件的概率计算摸到红球的即可.
5．（2024九下·温州开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】，同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
6．（2024九下·温州开学考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意把x=1代入关于x的一元二次方程得：
12+k-6=0，解得：k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意由题意把x=1代入关于x的一元二次方程可得关于k的一元一次方程，解这个方程即可求解.
7．（2024九下·温州开学考）如图是某校七年级学生参加课外兴趣小组的扇形统计图（每人只参加一项），若参加书法兴趣小组的人数是30人，则参加绘画兴趣小组的人数是（ ）
A．36人 B．40人 C．60人 D．200人
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：参加书法兴趣小组的人数占比是：1－35%－30%－20%=15%.
故总人数为：30÷15%=200（人）
故参加绘画兴趣小组的人数是 200×30%=60（人）.
故答案为：C.
【分析】先计算参加书法小组的人数占比，从而可得总人数，再用总人数×绘画兴趣小组的人数占比，即可得到对应的人数.
8．（2024九下·温州开学考）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
9．（2024九下·温州开学考）如图，中，，，，经过点且半径为5的与交于，与的延长线交于，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DO并延长，交圆O于点F，连接EF，如图：
∵DF为直径，
∴∠DEF=90°，
∵中，，，，
∴.
∵四边形DBEF是圆内接四边形，
∴∠DBE+∠F=180°.
又∵∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABC=∠F.
又∵∠C=∠DEF=90°，
∴△ACB∽△DEF，
∴，即，
∴DE=8.
故答案为：D.
【分析】连接DO并延长，交圆O于点F，连接EF，可得∠DEF=90°，由圆内接四边形和邻补角的性质可证得∠ABC=∠F.证明△ACB∽△DEF，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求得DE的长.
10．（2024九下·温州开学考）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的其他应用
【解析】【解答】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1 a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1 a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故答案为：C．
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有Δ=1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得c的范围是-2＜c＜。
11．（2024九下·温州开学考）因式分解： = ；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．（2024九下·温州开学考）为了解某校九年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中的40名学生，测试了一分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在20～30之间的频数是 ．
【答案】28
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵被调查的总人数40，由频率分布直方图可以得出，
∴仰卧起坐次数在20～30次的学生人数为：12+16＝28，
∴仰卧起坐次数在20～30次之间的频数28．
故答案为：28．
【分析】根据被调查的总人数为40名学生以及频数分布直方图，即可得出仰卧起坐的次数在20~30之间的频数。
13．（2024九下·温州开学考）不等式组的解为 ．
【答案】2≤x<7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥2；
解不等式②得：x<7.
故不等式组的解集为：2≤x<7.
故答案为：2≤x<7.
【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”确定不等式组的解集.
14．（2024九下·温州开学考）一个扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长为：.
故答案为：
【分析】利用扇形的弧长公式计算即可.
15．（2024九下·温州开学考）如图，直线与轴，轴分别相交于点、，四边形是正方形，双曲线 在第一象限经过点，将正方形向下平移个单位后，点刚好落在双曲线上，则 ．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图：
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∠EAD+∠EDA=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°.
∠FBC+∠OBA=90°，∠OAB+∠EAD=90°.
∴∠FCB=∠OBA，∠OBA=∠EAD.
∴△FBC≌△OAB≌△EDA（SAS）
∴BF=OA=DE，FC=OB=AE.
∵ 直线与轴，轴分别相交于点、，
∴B（0，4），A（2，0）.
∴OA=2，OB=4，
∴BF=OA=DE=2，FC=OB=AE=4，
∴D（6，2），C（4，6）.
∵经过点D，
∴k=6×2=12，
正方形向下平移个单位后，点C刚好落在双曲线上，且点C平移后坐标为（4，6－m）
∴4(6－m)=12，
∴m=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据正方形的性质和直角三角形的性质可证明△FBC≌△OAB≌△EDA，根据全等三角形的性质可得BF=OA=DE，FC=OB=AE.计算点A和B的坐标，可得OA=2，OB=4，从而可得点D和点C的坐标；把D坐标代入解析式求出k值，再表示出平移后点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得m的值.
16．（2024九下·温州开学考）如图，在锐角中，，，点，分别在边，上，，沿将翻折到，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BD，BF，过点D作DG⊥BC于点G，如图：
∵AD=DC=2，∠C=60°，
∴GC=DC×cos60°=1，
∵BC=6，
∴BG=BC－CG=5.
∴.
由翻折可得：
DF=AD=2，
∵BF+FD≥BD，
∴，
∴，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接BD，BF，过点D作DG⊥BC于点G，在Rt△DGC中解直角三角形求出DG和GC的长，在Rt△DGB中利用勾股定理求出BD长；由翻折得AD=DF=2，由于BF+FD≥BD，代入数据，即可求出BF的最小值.
17．（2024九下·温州开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】无理数的混合运算；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算乘方，非零数的零次幂，计算二次根式的乘法，再合并化简即可；
（2）先通分，再进行减法运算，最后约分即可.
18．（2024九下·温州开学考）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作点，使得；
（2）在图2线段上作点，使得：2：1．
【答案】（1）
（2）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）要求取AB的中点，且AB为边长分别为1和3的长方形的对角线，根据矩形的性质作两问一条对角线，取交点即可.
（2）构造相似三角形，即可得到满足条件的P点.
19．（2024九下·温州开学考）为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 8 1.88
九年级竞赛成绩 8 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空： ， ， ；
（2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你选择相关的统计量进行分析，应该给哪个年级颁奖？
【答案】（1）8；7；8
（2）八、九年级的平均数和中位数都相同，但九年级的众数大于八年级，说明九年级大部分学生成绩优秀；九年级的方差比八年级的小，也说明九年级学生的成绩更平稳.
∴应该给九年级颁奖．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）九年级成绩的平均数：；
八年级众数：7分出现15次，次数最多，故众数b=7，
中位数：6和7分的有7+15=22（人），故第25和26人的成绩都是10分，故c=8.
故答案为：8；7；8.
【分析】（1）根据折线图的信息即可求解；
（2）八、九年级的平均数和中位数都相同，但九年级的众数比八年级的高，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解.
20．（2024九下·温州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值．
【答案】（1）解：令，
则，即点，
为中点，
∴点，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
即直线的函数解析式为：；
（2）解：当时，即，，
则，，
则，
则或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令，可得点A的坐标，继而可得点C坐标，代入，求得m的值，即可得的函数解析式；
（2）令y=a，联立方程求得点E和点F的横坐标，根据EF=1建立方程，求解即可.
21．（2024九下·温州开学考）如图，在四边形中，∥，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
∴∠ACD=∠DAC，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，，
∴∠DAB=180°－∠ADC=60°.
∵，
∴∠BAC=30°.
四边形是菱形，
∴，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠CBE=60°.
∵ ，即△ACE和△CBE是直角三角形，
∴，，
∴AB=AE－BE=4.
菱形的面积．
【知识点】菱形的判定；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据平行线和角平分线的性质可证明∠ACD=∠DAC，于是可得AD=CD=AB；再证明四边形ABCD是平行四边形，结合AD=AB，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质证得∠BAC=30°，证明∠CBE=60°，分别在Rt△ACE和Rt△CBE在解直角三角形，求得AE和BE的长，即可得AB的长，最后利用平行四边形的面积计算公式即可得四边形ABCD的面积.
22．（2024九下·温州开学考）根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景 素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度．
【答案】解：任务一：把代入得：
，
抛物线解析式为
顶点的坐标为；
任务二：直线的解析式为，
，，
，
，
在中，当时，，即F(6，8)；
在中，当时，，即；
，
，
，
、是叶片上的一对对称点，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式，求得m的值，即可得抛物线解析式，配方后即可得到顶点坐标.
（2）根据直线AB的解析式求得∠ABO=45°；把x=6代入 求得F点坐标，代入抛物线解析式求得点E的坐标；可得EF长；再根据EF//OB，可得∠GFE=45°；根据对称性可得，，于是得等腰直角三角形，求得EG的长，即可得EE'长.
23．（2024九下·温州开学考）如图1，在直角坐标系中，作半径为10的圆，交轴于点， (点在点的左边).点为直径上一动点，过点作弦(点在点上方)，连接，过点作∥交圆于另一点，记为点.直线交轴于点，连接，，.
（1）若，求的度数；
（2）求证：∥；
（3）若，请直接写出点横坐标.
【答案】（1）解：∵
∴，
∵AB为直径，AB⊥DE，
∴，
∴∠DAB=∠BAE=40°，
∴∠DAE=2∠DAB=80°.
∵ ，
∴
（2）证明：设，
∴，
∵AB为直径，AB⊥DE，
∴，
∴，
∴.
∵ ，
∴.
∵四边形ADFB是圆内接四边形，
∴∠ADF+∠ABF=180°.
∴.
∴∠ABF=∠BOE，
∴
（3）点C的横坐标为：.
【知识点】坐标与图形性质；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（3）∵OG=2CG，
∴OG的中点是C，
∵DE⊥AB，
∴GE=OE=10，
∴∠OEC=∠GEC.
①当点C在x轴的正半轴上时，
设∠OEC=α，则∠GEC=∠OEC=α，
由（2）知BF//OE，
∴∠EAB=∠EFB=∠OEG=2α；
∴∠EOC=2∠EAB=4α，
在Rt△OEC中，∠OEC+∠EOC=90°，
∴α+4a=90°
∴α=18°.
连接OF，如图：
即∠OEC=18°，
∴∠OEG=36°，∠EOC=∠OBF=72°.
∵OF=OE，
∴∠OEG=∠OFG=36°，∠EOF=180°－36°×2=108°.
∵GE=OE=10，
∴∠EOG=∠EGO=72°，
∴∠OGF=180°－∠EGO=108°
∴∠OGF=∠EOF.
∴△OFG∽△EFO
∴，故，
设FG=OG=x，则EF=x+EG=10+x.
∴x(x+10)=102，
解得：，（舍去）
∴，
∴，即点C的横坐标为：.
②当点C在x轴的负半轴上时，连接OF，如图：
设∠D=α，
∵AE//DF，
∴∠AED=∠D=α，
∴∠EOF=2∠D=2α，∠EOA=2∠AED=2α，
∴∠EGO=∠EOA=∠EOF=2α，
∴∠AOF=∠EOA+∠EOF=4α，∠OEF=∠EGO+∠EOA=4α，
∴∠AOF=∠OEF.
又∵∠EFO=∠OFG，
∴△∠EFO∽△OFG，
∴，故，
设FG=x，则EF=FG－GE=x－10.
∴x(x－10)=102，
解得：，（舍去）
∴.
∵△∠EFO∽△OFG，
∴，
∴，
∴，
即点C的横坐标为：.
故点C的横坐标为或.
【分析】（1）根据圆周角定理得∠BAE=40°，根据垂径定理得∠DAE=80°，再利用平行线的性质，即可得到结论；
（2）设，参考（1）的解题步骤，可得∠ABF=α，于是有∠ABF=∠BOE，即可根据平行线的判定定理得到结论.
（3）由条件得OG的中点是C，有OE=GE，则∠OEC=∠GEC；再分点①当点C在x轴的正半轴上时，②当点C在x轴的负半轴上时，两种情况分别进行讨论：当①时，设∠OEC=α，由（2）得∠EAB=∠EFB=∠OEG=2α，求得∠α=18°，证明△OFG∽△EFO，利用相似三角形的性质得，，设FG=x，得关于x的方程并求解，即可得到结论；当②时，设∠D=α，可得∠AED=∠D=α，根据圆周角定理可得∠EOF=2∠D=2α，∠EOA=2∠AED=2α；证明△∠EFO∽△OFG，接下来同①的解题思路，即可得到答案；最后综述.
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