1.1.1角的概念的推广
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一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象实际生活的例子并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，时针与分针等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
五、教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
1、播放李小鹏在吊环比赛视频，让学生抽取数学信息，联系实际生活中存在的角度及其作用。
2、角的概念[0o,360o]
3、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。
1、2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛吊环比赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念. 体操是力与美的结合，也充满了角的概念．
2、初中是如何定义角的？能不能用这个定义刻画900度？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”
2、生活中很多实例会不在该范围
体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）
1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。
2、为引入正角与负角的概念做好准备。
新
概
念
产
生
1、思考下面的角度如何表示？调整手表需要注意哪些？（三方面）
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210o，β=-150o，γ=660o，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
1( 角有正负之分 如：(=210( (=(150( (=660(
2( 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360(×2=720(） 3周（360(×3=1080(）
3( 还有零角
一条射线，没有旋转
让学生回答问题调整手表，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
利用教室的钟表进行刻画
2、教师用多媒体演示角的形成。
2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”
3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：
（1）正角与负角有何本质区别？
（2）正角与负角的实际意义有何不同？
（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？
4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
1、使学生通过研究钟表调整时间，获取对新概念的直观印象。
2、促使学生研究调整钟表注意旋转中心、旋转方向和旋转量从本质上认识角的形成以及角的分类。
3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。
4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。
新
概
念
形
成
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例：（1）-300(、210(、(150(.60(、300(、420(、60(.终边在第几象限？
提出问题，学生讨论回答：
（1）在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？
（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？
（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。
学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。
新
概
念
形
成
3．终边相同的角
⑴观察：上述7个角度，那些终边相同？
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0(到360(的角与个周角的和：
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(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍
5、让学生体会“周而复始”的含义。
引导学生观察分析：
（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）。
（2）试表示出与30(终边相同的角。
（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：
①；
②(是任意角；
③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360(的整数倍。
播放几何画板让学生体会其中的含义
从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。
归 纳
总 结
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从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90o的角”“第一象限角”“0o到90o的角”和“锐角”的不同意义.
请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。
课
堂
练
习
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360o（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120o角终边相同的角是( )
A.－600o＋k·360o，ｋ∈Ｚ B.－120o＋k·360o，ｋ∈Ｚ
C.120o＋(2k＋1）·180o，ｋ∈Ｚ D.660o＋k·360o，ｋ∈Ｚ
3.若角α与β终边相同，则一定有( )
A.α＋β＝180o B.α＋β＝0o
C.α－β＝ｋ·360o，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360o，ｋ∈Z
4.与1840o终边相同的最小正角为 ，与－1840o终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360o (2)720o (3)1080o (4)1440o
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本次作业主要涉及以下重要内容：
1、正角、负角、象限角的基本概念；
2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。
这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。
通过作业让学生巩固以下三点：
1、角的概念推广后的范围；
2、弄清角的分类；
3、终边相同的角的集合表示法。
讲课者简介：
汪程，男，2001年参加工作，中教一级教师
