2024-2025学年河南省“天一大联考”10月高二上学期阶段性测试（一）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年河南省“天一大联考”10月高二上学期阶段性测试（一）数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 184.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-22 15:56:11 | ||
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文档简介
2024-2025学年河南省“天一大联考”10月高二上学期阶段性测试（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中条直线中斜率最小的是( )
A. B. C. D.
2.已知向量与平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知平面，均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与平行，且，之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，已知点，，，其中，，，，若四边形为菱形，则( )
A. B. C. D.
11.已知点和，是直线上的动点，则( )
A. 存在，使最小
B. 存在，使最小
C. 存在，使最大
D. 存在，使最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知，平面内三点，，共线，则 ．
14.已知正四棱柱的体积为，侧面积为，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设向量，．
Ⅰ若，求实数的值
Ⅱ若向量与共线，且，求的坐标．
16.本小题分
已知直线的方程为，直线经过点和
Ⅰ若，求的值
Ⅱ若当变化时，总过定点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱的中点．
Ⅰ证明：平面平面
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．
Ⅰ求直线的倾斜角的取值范围．
Ⅱ是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上
Ⅲ设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
Ⅰ若直线与都在平面内，求平面的方程
Ⅱ在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标
Ⅲ若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解析Ⅰ由题意知，，
所以．
因为，所以，
解得．
Ⅱ，，．
因为与共线，所以存在，使得，
所以，
可得．
所以的坐标为或
16.解析 Ⅰ的斜率为，的斜率为，
因为，所以，
即，解得或．
Ⅱ将的方程改写为，
由解得，所以过定点
所以．
17.解析Ⅰ如图，取的中点，连接，．
因为是等边三角形，所以．
设，则，即，，，所以，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
Ⅱ取的中点，连接，由Ⅰ可知，，两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空
间直角坐标系，
同Ⅰ设，则，，，，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则可得可取
设直线与平面所成的角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解析Ⅰ因为，，所以，，
由题图可知，当直线过点时倾斜角最小，此时．
当直线绕点逆时针旋转时，斜率增大，当其过点时，倾斜角最大，此时，
所以的取值范围是
Ⅱ由已知可得直线的斜率为，
若点关于直线的对称点在线段上，则，所以直线的斜率．
由Ⅰ知直线的倾斜角，所以或不存在，矛盾，所以不存在符合条件的直线．
Ⅲ当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
令，得，所以点．
易得直线的方程为，
联立解得
则，
因为，所以，所以
综上，的取值范围是
19.Ⅰ由题意可知和都经过点，
且的方向向量为，的方向向量为．
设平面的法向量为，因为，，
所以可取．
又点在平面内，所以平面的方程为．
Ⅱ因为，平面的法向量为，
所以平面的方程为．
点在平面和平面内，又点在平面内，联立解得
即点的坐标为．
Ⅲ讨论，，的符号，将方程中的绝对值符号去掉，可以得到个不同的方程，则多面体有个面，根据对称性，可知为正八面体，个顶点分别为，，，如图所示．
该正八面体的棱长为，体积为．
平面的方程为，一个法向量为，平面的方程为，一个法向量为
，则，，
所以正八面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中条直线中斜率最小的是( )
A. B. C. D.
2.已知向量与平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知平面，均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与平行，且，之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，已知点，，，其中，，，，若四边形为菱形，则( )
A. B. C. D.
11.已知点和，是直线上的动点，则( )
A. 存在，使最小
B. 存在，使最小
C. 存在，使最大
D. 存在，使最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知，平面内三点，，共线，则 ．
14.已知正四棱柱的体积为，侧面积为，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设向量，．
Ⅰ若，求实数的值
Ⅱ若向量与共线，且，求的坐标．
16.本小题分
已知直线的方程为，直线经过点和
Ⅰ若，求的值
Ⅱ若当变化时，总过定点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱的中点．
Ⅰ证明：平面平面
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．
Ⅰ求直线的倾斜角的取值范围．
Ⅱ是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上
Ⅲ设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
Ⅰ若直线与都在平面内，求平面的方程
Ⅱ在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标
Ⅲ若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解析Ⅰ由题意知，，
所以．
因为，所以，
解得．
Ⅱ，，．
因为与共线，所以存在，使得，
所以，
可得．
所以的坐标为或
16.解析 Ⅰ的斜率为，的斜率为，
因为，所以，
即，解得或．
Ⅱ将的方程改写为，
由解得，所以过定点
所以．
17.解析Ⅰ如图，取的中点，连接，．
因为是等边三角形，所以．
设，则，即，，，所以，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
Ⅱ取的中点，连接，由Ⅰ可知，，两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空
间直角坐标系，
同Ⅰ设，则，，，，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则可得可取
设直线与平面所成的角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解析Ⅰ因为，，所以，，
由题图可知，当直线过点时倾斜角最小，此时．
当直线绕点逆时针旋转时，斜率增大，当其过点时，倾斜角最大，此时，
所以的取值范围是
Ⅱ由已知可得直线的斜率为，
若点关于直线的对称点在线段上，则，所以直线的斜率．
由Ⅰ知直线的倾斜角，所以或不存在，矛盾，所以不存在符合条件的直线．
Ⅲ当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
令，得，所以点．
易得直线的方程为，
联立解得
则，
因为，所以，所以
综上，的取值范围是
19.Ⅰ由题意可知和都经过点，
且的方向向量为，的方向向量为．
设平面的法向量为，因为，，
所以可取．
又点在平面内，所以平面的方程为．
Ⅱ因为，平面的法向量为，
所以平面的方程为．
点在平面和平面内，又点在平面内，联立解得
即点的坐标为．
Ⅲ讨论，，的符号，将方程中的绝对值符号去掉，可以得到个不同的方程，则多面体有个面，根据对称性，可知为正八面体，个顶点分别为，，，如图所示．
该正八面体的棱长为，体积为．
平面的方程为，一个法向量为，平面的方程为，一个法向量为
，则，，
所以正八面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
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