2024-2025学年广东省东莞市五校高一上学期第一次联考数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市五校高一上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ，；，；，；，．
A. B. C. D.
4.学校举行运动会时，高一班共有名学生参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有人．
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
6.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知关于的方程，下列结论错误的是( )
A. 方程无实数根的必要条件是
B. 方程有一正一负根的充要条件是
C. 方程有两正实数根的充要条件是
D. 方程有实数根的充要条件是或
8.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若则． B. 若则．
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. “，”是“”的充分不必要条件
11.设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是( )
A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值
C. 的面积有最大值 D. 线段有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.若，则
14.若函数在区间上同时满足：在区间上是单调函数，当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
求
；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为．
求集合
设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围斜线部分均种满宽度相同的鲜花已知两块绿草坪的面积均为平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
18.本小题分
函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为．
求的值；
用定义证明在上是减函数；
当时，求函数的解析式．
19.本小题分
若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
函数；；，其中函数__是在上的“美好函数”；填序号
已知函数．
函数是在上的“美好函数”，求的值；
当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
已知函数，若函数是在为整数上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
【答案】 或；或
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.解：
因为，
所以，
；
由知，所以，
由，得，
所以；
由，可得，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．

16.解：由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，
可得，解得，
故集合
由若是的必要不充分条件，可知，
当时，可得，，满足
当时，可得，若满足，必有等号不可能同时成立，
解得，
由可知，实数的取值范围为

17.解：
设草坪的宽为米，长为米，由面积均为平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为米；
记整个绿化面积为平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米

18.解：因为是奇函数，
所以
当时，
设是上的两个任意实数，且，

因为，
所以，，
所以．
因此 是上的减函数．
设，则，
又因为为奇函数，
所以．

19.解：
对于，
当时，，当时，，
，符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
故答案为 ：；
二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
二次函数为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得舍去；
若，则，解得舍去，；
若，则，解得，舍去；
若，则，解得舍去．
综上所述，或；
由可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，为整数，且，
，即的值为，
又，
，
．

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