广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题（含答案）

广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球依此类推，最底层有个小球，共有层现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为( )
A. B. C. D.
5.将棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构如图，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端到江面的距离为，且，则顶端到桥面的距离为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得
到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式的解集为，则( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则( )
A. B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面 D. 直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为 ．
13.已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在公差不为的等差数列中，，且是与的等比中项．
求的通项公式
若，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若点为的中点，且，求的面积．
17.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点、分别是棱的中点．
在底面内是否存在点，满足平面若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；
设平面交棱于点，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知和是椭圆：上两点，是坐标原点．
求椭圆的离心率；
若过点的直线交于另一点，且的面积为，求直线的方程：
过中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在轴上是否存在点使得若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
求函数在处切线方程；
若有两解，，且，求证：．
参考答案
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15.解：设的公差为，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得
又，，所以，则．
由可得，，
则，
，
得
，
则．
16.解：
设，
则由余弦定理得；
在中，，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，
故，．

17.解：
因底面，且是正方形，故可以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则
因点、分别是棱的中点，则，
，
假设在底面内存在点，使得平面，则
则由，解得
故存在点，满足平面；
按照建系，设点，
依题意，四点共面，故必有，
即，则得，，解得
即，又，
设平面的法向量为，则
故可取因，
设与平面所成角为，则．
即与平面所成角的正弦值为．

18.解：由题意得，解得，椭圆方程为：．
所以．
，则直线的方程为，即，
，由知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点．
综上直线的方程为或．

椭圆方程为：．
若过中点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得．
若过点的动直线的斜率不存在，则，
此时需，两者结合可得．
故这个点纵坐标的取值范围为

19.解：的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；
，，所以处切线方程为：，
即；
先证，由可知：，且在区间为减函数，要证，
即证：，
令，，
则，
所以在区间内单调递增，，即，
即；
再证，由可知曲线在点处的切线方程为，
令，
，在处取得极大值为，
故当时，，，
则，即，
又，，
，得证．

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