相似三角形的性质（第2课时 ） 相似三角形的周长和面积之比课件（25张PPT）2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共25张PPT)
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形的周长和面积之比
九年级上册数学（北师版）
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题导入
问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比=______，
(1)与(2)的周长比=______，
(1)与(2)的面积比=______；
1 : 2
1 : 2
1 : 3
1 : 3
探究新知
相似三角形周长比与面积比
1
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的周长比=______，
(1)与(3)的面积比=______.
A
B
C
A'
B'
C'
A''
B''
C''
1 : 4
1 : 9
如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？
猜一猜
猜想1：相似三角形的周长比等于 ．
相似比
猜想2：相似三角形的面积比等于 ．
相似比的平方
△A′B′C′∽△ABC
∴C△ABC=AB+AC+BC=k(A′B′+A′C′+B′C′)
C△A′B′C′= A′B′+A′C′+B′C′
相似三角形的周长比等于相似比
A
B
C
A′
B′
C′
证一证
分别作BC，BC边上的高A′D，AD，则
因此，
相似三角形的面积比等于相似比的平方
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
相似三角形周长的比等于相似比.
1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9，
周长的比为______ .
1 : 3
2 : 3
4 : 9
练一练
议一议
两个相似四边形的周长等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
连接BD和B′D′
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
连接BD和B′D′
相似多边形周长的比等于相似比，
面积比等于相似比的平方。
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
E′
(3) = ， = .
(4) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的面积比是多少？
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？
周长的比等于相似比，
面积比等于相似比的平方.
k2
k2
例1 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
（相似三角形的面积比等于相似的平方比）
即
∴EC2=2.∴EC= .∴BE=BC－EC= ，
即△ACB平移的距离为 .
例2 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　
B
C
A
D
E
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2).
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC .
∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4.
∴
练一练
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1.
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2.
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
课堂练习
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
4. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF.
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC = 2 : 3，则 AE : AC = 2 : 5.
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25. ∴ S△ABC = 25.
2.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长.
又因为FG∥BC，所以 ，且
BC=12cm，所以FG = cm.
解：因为DE∥FG∥BC，
所以△ADE∽△AFG∽△ABC，
所以S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=AD2∶AF2∶AB2，
又因为DE、FG把△ABC的面积三等分，
所以S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶2∶3，
所以AD∶AF∶AB= ，
3.如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面积.
解：因为DE∥BC
所以∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB
所以△ADE ∽△ABC
又因为BD=3AD
可得相似比k=AD∶AB=1∶2
所以S△ADE = S△ABC =12
课堂小结
相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形面积之比等于相似比的平方
当堂小结