一 二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数的定义
1.下列函数中不是二次函数的是( )
A.y=(x-1)2 B.y=x2-1
C.y=3x2+2x-1 D.y=(x+1)2-x2
2.(2024·泉州期末)若函数y=mx(x-1)-x2是关于x的二次函数,则m的取值范围是( )
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠1 D.m≠±1
3.(易错警示题·概念不清)若y=(m-1)+2x-3是二次函数,则m= .
4.(2024·西安模拟)已知函数y=-(m+2)(m为常数),求当m为何值时:
(1)y是x的一次函数;
(2)y是x的二次函数,并求出当y=-8时x的值.
知识点2 根据实际问题列二次函数关系式
5.(2024·泰州期中)某商场第1年销售计算机5 000台,如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,第3年的销售量为y台,则y关于x的函数表达式为( )
A.y=5 000(1+2x) B.y=5 000(1+x)2
C.y=5 000+2x D.y=5 000x2
6.(2024·深圳期末)长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(x>0),面积为y cm2,则这样的长方形中y与x的关系式为( )
A.y=x2 B.y=12-x2
C.y=(12-x)·x D.y=2(12-x)
7.(2024·丽水期中)某超市销售一种饮料,每瓶进价为3元,当售价为5元时,每天可卖出100瓶,据调查若每瓶售价每涨0.5元,每天销量减少5瓶.设每瓶定价为x元,每天利润为y元,则下列表达式正确的是( )
A.y=(x-3)(150-10x)
B.y=(x-3)(100-10x)
C.y=(x+2)(100-10x)
D.y=(x-3)(100-5x)
8. (2024·苏州期中)如图,某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材围成栅栏,栅栏的总长为24 m,设羊圈的总面积为S(m2),垂直于墙的一边长为x(m),则S关于x的函数关系式为 .(不必写出自变量的取值范围)
9.如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地,一边靠墙,另三边除大门外用篱笆围成.已知篱笆总长为30 m,门宽是2 m,若设这块场地的宽为x m.
(1)求场地的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围.
【B层 能力进阶】
10.下列函数:①y=3-x2;②y=;③y=x(3-5x);④y=(1+2x)(1-2x),是二次函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(2024·莆田期末)如图,等边三角形ABC边长为20 cm,点D在边AB上(不与A,B重合),过点D作DE∥BC交AC于点E.当BD=x cm时,△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1 cm,面积减少了y2 cm2,当x在一定范围内变化时,y1和y2都随x的变化而变化,则y1与x,y2与x满足的函数关系分别是( )
A.反比例函数关系、一次函数关系
B.反比例函数关系、二次函数关系
C.一次函数关系、一次函数关系
D.一次函数关系、二次函数关系
12.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数关系式是 .
13.(2024·上海期末)在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数关系式是 .(不必写自变量的取值范围)
14.(2024·嘉兴期末)学校准备将一块长20 m,宽14 m的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加x m,设增加的面积是y m2.
(1)求x与y之间的函数关系式;
(2)若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加多少米
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)如图,为了绿化小区,某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.
已知:PH∥AE,PK∥BC,DE=100米,EA=60米,BC=70米,CD=80米.以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,坐标原点为O.
(1)求直线AB的表达式;
(2)若设点P的横坐标为x,矩形PKDH的面积为S,求S关于x的函数关系式.一 二次函数
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数的定义
1.下列函数中不是二次函数的是(D)
A.y=(x-1)2 B.y=x2-1
C.y=3x2+2x-1 D.y=(x+1)2-x2
2.(2024·泉州期末)若函数y=mx(x-1)-x2是关于x的二次函数,则m的取值范围是(C)
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠1 D.m≠±1
3.(易错警示题·概念不清)若y=(m-1)+2x-3是二次函数,则m= -1 .
4.(2024·西安模拟)已知函数y=-(m+2)(m为常数),求当m为何值时:
(1)y是x的一次函数;
(2)y是x的二次函数,并求出当y=-8时x的值.
【解析】(1)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的一次函数,得,
解得m=±,
当m=±时,y是x的一次函数;
(2)由y=-(m+2)(m为常数)是二次函数,得,解得m=2,
当m=2时,y是x的二次函数,
当y=-8时,-8=-4x2,
解得x=±,
故当y=-8时x的值是±.
知识点2 根据实际问题列二次函数关系式
5.(2024·泰州期中)某商场第1年销售计算机5 000台,如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,第3年的销售量为y台,则y关于x的函数表达式为(B)
A.y=5 000(1+2x) B.y=5 000(1+x)2
C.y=5 000+2x D.y=5 000x2
6.(2024·深圳期末)长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(x>0),面积为y cm2,则这样的长方形中y与x的关系式为(C)
A.y=x2 B.y=12-x2
C.y=(12-x)·x D.y=2(12-x)
7.(2024·丽水期中)某超市销售一种饮料,每瓶进价为3元,当售价为5元时,每天可卖出100瓶,据调查若每瓶售价每涨0.5元,每天销量减少5瓶.设每瓶定价为x元,每天利润为y元,则下列表达式正确的是(A)
A.y=(x-3)(150-10x)
B.y=(x-3)(100-10x)
C.y=(x+2)(100-10x)
D.y=(x-3)(100-5x)
8. (2024·苏州期中)如图,某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材围成栅栏,栅栏的总长为24 m,设羊圈的总面积为S(m2),垂直于墙的一边长为x(m),则S关于x的函数关系式为 S=-4x2+24x .(不必写出自变量的取值范围)
9.如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地,一边靠墙,另三边除大门外用篱笆围成.已知篱笆总长为30 m,门宽是2 m,若设这块场地的宽为x m.
(1)求场地的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围.
【解析】(1)由题意得y=x(32-2x)=-2x2+32x;
(2)∵32-2x>0,∴x<16,
又∵门宽是2 m,
∴x≥2,∴2≤x<16.
【B层 能力进阶】
10.下列函数:①y=3-x2;②y=;③y=x(3-5x);④y=(1+2x)(1-2x),是二次函数的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(2024·莆田期末)如图,等边三角形ABC边长为20 cm,点D在边AB上(不与A,B重合),过点D作DE∥BC交AC于点E.当BD=x cm时,△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1 cm,面积减少了y2 cm2,当x在一定范围内变化时,y1和y2都随x的变化而变化,则y1与x,y2与x满足的函数关系分别是(D)
A.反比例函数关系、一次函数关系
B.反比例函数关系、二次函数关系
C.一次函数关系、一次函数关系
D.一次函数关系、二次函数关系
12.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数关系式是 y=(500-20x)(10+x) .
13.(2024·上海期末)在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数关系式是 y=-x2+10x .(不必写自变量的取值范围)
14.(2024·嘉兴期末)学校准备将一块长20 m,宽14 m的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加x m,设增加的面积是y m2.
(1)求x与y之间的函数关系式;
(2)若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加多少米
【解析】(1)由题意可得,
y=(20+x)(14+x)-20×14
化简,得y=x2+34x,
即x与y之间的函数关系式是y=x2+34x;
(2)将y=72代入y=x2+34x,
得72=x2+34x,
解得,x1=-36(舍去),x2=2,即若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加2 m.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)如图,为了绿化小区,某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.
已知:PH∥AE,PK∥BC,DE=100米,EA=60米,BC=70米,CD=80米.以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,坐标原点为O.
(1)求直线AB的表达式;
(2)若设点P的横坐标为x,矩形PKDH的面积为S,求S关于x的函数关系式.
【解析】(1)∵OE=80米,OC=ED=100米,AE=60米,BC=70米,
∴OA=20米,OB=30米,
即A,B的坐标分别为(0,20),(30,0).
设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),则,
解得,
则直线AB的表达式为y=-x+20;
(2)设点P的坐标为(x,y).
∵点P在直线AB上,∴点P的坐标可以表示为(x,-x+20),
∴PK=100-x,PH=80-(-x+20)=60+x,
∴S=(100-x) (60+x)
=-x2+x+6 000(0≤x≤30).
