二 二次函数y=ax2的图象与性质
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.(2024·苏州质检)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是( )
A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上
B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下
C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方
D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点
2.下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是( )
3.(2024·黄冈质检)若抛物线y=(m+1)的开口向上,则m的值为 .
4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
知识点2 二次函数y=ax2的性质
5.下列关于抛物线y=2x2和抛物线y=-2x2的说法中,不正确的是( )
A.对称轴都是y轴
B.在y轴左侧的部分都是上升的
C.开口方向相反
D.顶点都是原点
6.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-5),则a= .
7. (2024·厦门期中)如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
8.(2024·杭州期中)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2).
(1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式.
(2)判断该二次函数的图象是否经过点(-1,2),并说明理由.
【B层 能力进阶】
9.(2024·潮州期末)已知A,B是抛物线y=-x2上关于对称轴对称的两点,若点A的横坐标是-2,则点B的横坐标为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:
①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.a>b>c>d B.a>b>d>c
C.b>a>c>d D.b>a>d>c
11.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1C.y212.(2024·南京期中)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是 .
13.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
(1)求满足条件的k的值;
(2)当k为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大
(3)当k为何值时,函数有最小值 最小值是多少 此时,x为何值时,y随x的增大而减小
14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2.
(1)求S与C之间的表达式.
(2)画出此函数的图象.
(3)求当S=1时,正方形的周长.
(4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、应用意识、运算能力)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2)
(1)求出这个函数的表达式;
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积;
(3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍 如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.二 二次函数y=ax2的图象与性质
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.(2024·苏州质检)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是(D)
A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上
B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下
C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方
D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点
2.下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是(D)
3.(2024·黄冈质检)若抛物线y=(m+1)的开口向上,则m的值为 2 .
4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
【解析】两个函数的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0).y=x2,a=>0,故函数图象开口向上.当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小;
y=-x2,a=-<0,故函数图象开口向下.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
二次函数的y与x的部分对应值如表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 3 0 3 …
y=-x2 … -3 - - 0 - - -3 …
根据表格描点绘图:
知识点2 二次函数y=ax2的性质
5.下列关于抛物线y=2x2和抛物线y=-2x2的说法中,不正确的是(B)
A.对称轴都是y轴
B.在y轴左侧的部分都是上升的
C.开口方向相反
D.顶点都是原点
6.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-5),则a= - .
7. (2024·厦门期中)如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 2π .
8.(2024·杭州期中)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2).
(1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式.
(2)判断该二次函数的图象是否经过点(-1,2),并说明理由.
【解析】(1)由于二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2),所以-2=a,
故二次函数的表达式为y=-2x2;
(2)二次函数的图象不经过点(-1,2),
理由:由(1)知:y=-2x2;
当x=-1时,y=-2,
所以二次函数的图象不经过点(-1,2).
【B层 能力进阶】
9.(2024·潮州期末)已知A,B是抛物线y=-x2上关于对称轴对称的两点,若点A的横坐标是-2,则点B的横坐标为(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:
①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是(A)
A.a>b>c>d B.a>b>d>c
C.b>a>c>d D.b>a>d>c
11.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)
A.y1C.y212.(2024·南京期中)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是 013.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
(1)求满足条件的k的值;
(2)当k为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大
(3)当k为何值时,函数有最小值 最小值是多少 此时,x为何值时,y随x的增大而减小
【解析】(1)∵函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
∴k2-4k+5=2,且k-2≠0,解得k1=1,k2=3.
(2)∵抛物线有最高点,
∴图象开口向下,即k-2<0,∴k=1,∴最高点为(0,0),当x<0时,y随x的增大而增大.
(3)∵函数有最小值,
∴图象开口向上,即k-2>0,∴k=3,
∴最小值为0,当x<0时,y随x的增大而减小.
14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2.
(1)求S与C之间的表达式.
(2)画出此函数的图象.
(3)求当S=1时,正方形的周长.
(4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围.
【解析】(1)S=(C)2,即S=C 2.
(2)
(3)当S=1时,即C2=1,∴C2=16.
又C >0,∴C=4.
(4)当S=4时,即C2=4,∴C2=64.
又C>0,∴C=8.
由图象知,当C>0时,S随C的增大而增大,
∴当C≥8时,S≥4.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、应用意识、运算能力)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2)
(1)求出这个函数的表达式;
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积;
(3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍 如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)将点A的坐标代入函数表达式得,
a×(-1)2=2,解得a=2,
所以二次函数的表达式为y=2x2.
(2)将y=2代入函数表达式得,2x2=2,解得x=±1,
所以点B的坐标为(1,2).
则AB=1-(-1)=2,所以S△AOB=×2×2=2.
(3)存在,
因为△AOB的面积等于△ABC面积的2倍,且S△AOB=2,
所以S△ABC=×2=1,
令点C到AB的距离为h,
则×2×h=1,解得h=1.
当点C在AB下方时,
yc=2-1=1,则2x2=1,解得x=±.
所以点C的坐标为(,1)或(-,1);
当点C在AB上方时,yc=2+1=3,
则2x2=3,解得x=±,
所以点C的坐标为(,3)或(-,3);
综上所述,点C的坐标为(,1)或(-,1)或(,3)或(-,3).
