求二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 用一般式求二次函数的表达式
1.(2024·宁波期中)已知二次函数的图象经过(-1,0),(3,0)和(0,-3)三点,则该函数的表达式是( )
A.y=x2+2x+3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3
2.若y=ax2+bx+c,由下列表格的信息:可知y与x之间的函数关系式是 .
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
3.(2024·天津期中)如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的表达式是 .
4.如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A(-1,-1)和点B(3,-9).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离.
知识点2 用顶点式、交点式求二次函数的表达式
5.(2024·广州期中)一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,-1),与y轴的交点为(0,-4),这个二次函数的表达式是( )
A.y=x2-2x+4 B.y=-x2+2x-4
C.y=-(x+3)2-1 D.y=-x2+6x-12
6.(2024·泉州期中)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),当x=2时,y的值为 .
7.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2+9x相同,且它的顶点坐标为(-1,6),则这条抛物线的表达式为 .
8.(2024·南京期末)求下列二次函数的表达式:
(1)已知二次函数的图象的顶点为(2,0),且经过点(-2,4);
(2)已知二次函数的图象经过点(3,0),(-2,0),(0,6).
【B层 能力进阶】
9.(2024·盐城期中)如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数表达式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
10.抛物线经过点A(2,0),B(-1,0),且与y轴交于点C.若OC=2,则该抛物线表达式为 .
11.如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C,连结AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为y轴右侧抛物线上一点,若S△ABC=S△ABD,直接写出点D的坐标.
12.(2024·惠州期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)判断点P(,-2)是否在该二次函数的图象上,如果在,请求出△ABP的面积;如果不在,试说明理由.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(运算能力、推理能力)(2023·绍兴中考)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.求二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 用一般式求二次函数的表达式
1.(2024·宁波期中)已知二次函数的图象经过(-1,0),(3,0)和(0,-3)三点,则该函数的表达式是(B)
A.y=x2+2x+3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3
2.若y=ax2+bx+c,由下列表格的信息:可知y与x之间的函数关系式是 y=x2-4x+3 .
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
3.(2024·天津期中)如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的表达式是 y=x2-2x-3 .
4.如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A(-1,-1)和点B(3,-9).
(1)求该二次函数的表达式;
【解析】(1)将A(-1,-1)和点B(3,-9)代入y=ax2-4x+c,
得,解得,
所以二次函数的表达式为y=x2-4x-6;
(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标;
【解析】(2)由y=x2-4x-6=(x-2)2-10可知:
对称轴为直线x=2;顶点坐标为(2,-10);
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离.
【解析】(3)将P(m,m)代入y=x2-4x-6,得m=m2-4m-6.
解得m1=-1,m2=6.
因为m>0,所以m=-1不合题意,舍去.所以m=6,
所以P点坐标为(6,6);
因为点P与点Q关于对称轴x=2对称,所以点Q到x轴的距离为6.
知识点2 用顶点式、交点式求二次函数的表达式
5.(2024·广州期中)一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,-1),与y轴的交点为(0,-4),这个二次函数的表达式是(B)
A.y=x2-2x+4 B.y=-x2+2x-4
C.y=-(x+3)2-1 D.y=-x2+6x-12
6.(2024·泉州期中)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),当x=2时,y的值为 2 .
7.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2+9x相同,且它的顶点坐标为(-1,6),则这条抛物线的表达式为 y=-2(x+1)2+6 .
8.(2024·南京期末)求下列二次函数的表达式:
(1)已知二次函数的图象的顶点为(2,0),且经过点(-2,4);
【解析】(1)由题意,设所求函数表达式为y=a(x-2)2,又过点(-2,4),
∴当x=-2时,y=4.
∴4=a(-2-2)2.∴a=.
∴二次函数的表达式为y=(x-2)2.
(2)已知二次函数的图象经过点(3,0),(-2,0),(0,6).
【解析】(2)由题意,设所求函数表达式为y=a(x-3)(x+2),又过点(0,6),
∴当x=0时,y=6,
∴6=a(0-3)(0+2),
∴a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6.
【B层 能力进阶】
9.(2024·盐城期中)如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数表达式为(D)
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
10.抛物线经过点A(2,0),B(-1,0),且与y轴交于点C.若OC=2,则该抛物线表达式为 y=-x2+x+2或y=x2-x-2 .
11.如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C,连结AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),
∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2;
(2)D为y轴右侧抛物线上一点,若S△ABC=S△ABD,直接写出点D的坐标.
【解析】(2)由题意得:C(0,2),A(-1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,设D(x,-x2+x+2),
∵S△ABC=S△ABD,
∴AB·OC=×AB·|yD|,
∴×5×2=××5×|-x2+x+2|,
即|-x2+x+2|=3,
∴-x2+x+2=3或-x2+x+2=-3,
整理得:x2-3x+2=0或x2-3x-10=0,
解得x1=1,x2=2,x3=5,x4=-2,
∵D为y轴右侧抛物线上一点,∴x4=-2(舍去),
∴点D的坐标是(1,3)或(2,3)或(5,-3).
12.(2024·惠州期末)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;
【解析】(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,∵二次函数的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3),
∴,解得,
∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3,对称轴x=-=-1,把x=-1代入y=-x2-2x+3中得,y=4,∴顶点坐标为(-1,4);
(2)判断点P(,-2)是否在该二次函数的图象上,如果在,请求出△ABP的面积;如果不在,试说明理由.
【解析】(2)∵当x=时,y=-()2-2×+3=-2,
∴点P(,-2)在这个二次函数的图象上,∴S△ABP=×(1+3)×2=4.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(运算能力、推理能力)(2023·绍兴中考)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
【解析】(1)①∵b=4,c=3,
∴y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
∴顶点坐标为(2,7).
②∵在-1≤x≤3的图象中含有顶点(2,7),
∴当x=2时,y有最大值7.
∵2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时,y有最小值,最小值为-2,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
【解析】(2)∵x≤0时,y的最大值为2;x>0时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴x=在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2,
又∵=3,
∴b=±2,
∵b>0,
∴b=2.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.
