实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若关于x的二次函数y=mx2-6x+1的图象与x轴有两个公共点,则m的取值范围是(C)
A.m≠9 B.m>9
C.m<9且m≠0 D.m≤9
2.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)的图象分别交于点A(-2,2),B(4,8).则关于x的方程ax2=kx+b的解为 x1=-2,x2=4 .
3.(2024·天津期末)如表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
由表格可知方程x2+3x-5=0的一个近似根是 1.2 .
4.(2024·南京期末)已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,3),B(1,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
【解析】(1)把点A(0,3),B(1,0)代入y=x2+bx+c得,解得,
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3;
(2)已知二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交于点B(1,0),C(4,3),请结合图象直接写出方程x2+bx+c=mx+n的解.
【解析】(2)∵二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交于点B(1,0),C(4,3),∴方程x2+bx+c=mx+n的解为x=1或x=4.
知识点2 二次函数与不等式
5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的不等式ax2-bx-c≥0的解集为(B)
A.-2≤x≤1 B.x≤-2或x≥1
C.1≤x≤4 D.x≤1或x≥4
6.如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为-4,AC=8BC,当ax2+bx+c .
7.(2024·金华期中)如图,抛物线y=-x2+mx与直线y=-x+b相交于点A(-2,0)和点B.
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
【解析】(1)将点A(-2,0)代入y=-x2+mx得0=-4-2m,
解得m=-2,
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x,
∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1,
∴顶点坐标是(-1,1);
(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式-x2+mx<-x+b的解集;
【解析】(2)将点A的坐标代入y=-x+b得0=2+b,
解得b=-2,
∴直线方程为y=-x-2,
由,解得或,
∴点B的坐标为(1,-3),
由题图可知,不等式-x2+mx<-x+b的解集为x<-2或x>1.
(3)若关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,直接写出n的取值范围.
【解析】(3)由题意可知抛物线y=-x2+mx与直线y=n在-2≤x≤1的范围内有一个交点,由(1)可知抛物线为y=-x2-2x,顶点坐标为(-1,1),
∵A(-2,0),B(1,-3),
∴若关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,则n的取值范围是-3≤n<0或n=1.
【B层 能力进阶】
8.(2024·青岛期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点.下列结论:①bc<0;②b2-4ac>0;③关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是-3≤x≤0;④a2-ab+ac<0;⑤关于x的方程ax2+bx+c+4=0无解.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2023·娄底中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)、点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,当CD∥x轴时,CD= 4 .
10.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x111.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点,且当x=a和x=a+n时函数值都为m,则m与n的等量关系为 m=n2 .
12.函数y1=x2(x+3)的图象如图所示.已知y1=x2(x+3)和y2=kx+b的交点A的横坐标为-3,另一交点B的横坐标为1.回答下列问题:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y1 … -16 0 4 2 0 4 20 54 112 …
y2 … -1 1 2 4 5 6 7 …
(1)完善表格:y1,y2与x的对应值,根据表格中的y2与x的对应值,在图中描点并画出y2=kx+b的图象.从中选取合适的数据,求出k,b的值;
【解析】(1)由题意得,当x=-3时,y2=0;当x=0时,y2=3;
描点、连线,函数y2=kx+b的图象如图所示,
由图象得函数y2=kx+b的图象是经过点A和点B的直线,
选取A(-3,0),B(1,4),
∴,
解得.
(2)根据图象,描述当-2≤x≤0时,函数y1随自变量变化的变化趋势;
【解析】(2)观察图象,当-2≤x≤0时,函数y1随自变量的增加而减少.
(3)根据图象,直接写出不等式x2(x+3)≤kx+b的解集;
【解析】(3)观察图象,不等式x2(x+3)≤kx+b的解集为x≤-3或-1≤x≤1.
(4)若m,n分别满足关于x的方程x2(x+3)=6和kx+b=6,则m n(填“<”或“>”).
答案:<
【解析】(4)过点(0,6)画一条平行于x轴的直线,如图,
观察图象,m【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、运算能力、推理能力)如图,一次函数y=-2x+6的图象与y轴交于A点,与x轴交于B点,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,B两点.
(1)求二次函数的表达式;
【解析】(1)∵一次函数y=-2x+6的图象与y轴交于A点,与x轴交于B点,
∴A(0,6),B(3,0),
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,B两点,∴,解得,
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+6;
(2)根据图象直接写出当x取何值时,-2x+6>-x2+bx+c>0;
【解析】(2)当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0),
当x<0或x>3时,-2x+6>-x2+bx+c,
但只有当-2-x2+bx+c>0;
(3)点P是抛物线在第一象限上的一个动点,是否存在点P,使△ABP的面积最大 若存在,求出此时点P的坐标以及△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q,
由点P在y=-x2+x+6的图象上,
可设P(m,-m2+m+6)(0则Q(m,-2m+6),
则PQ=-m2+m+6+2m-6=-m2+3m,
∴S△ABP=OB·PQ=×3×(-m2+3m)=-(m-)2+,
∵-<0,
∴当m=时,即P点坐标为(,)时,S△ABP取得最大值,最大值为.实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 抛物线形问题
1.(2024·鹤壁模拟)廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知水面AB宽48 m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 m,为保护该桥的安全,现要在该抛物线上的点E,F处安装两盏警示灯,若要保证两盏警示灯的水平距离EF是24 m,则警示灯E距水面AB的高度为(D)
A.12 m B.11 m C.10 m D.9 m
2.如图1是某景区一座抛物线形拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到抛物线表达式为y=-x2,正常水位时水面宽AB为36 m,当水位上升5 m时水面宽CD为 24 m .
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
3.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的表达式是h=-5t2+30t(0≤t≤6),则小球到达最高高度时,运动的时间是(C)
A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒
4.(2024·扬州期末)如图,某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线形(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面3米,则水流落地点B离墙的距离OB是 3 米.
【B层 能力进阶】
5.(2024·宁波期末)某超市销售一种饮料,每瓶进价为4元,市场调查表明:每瓶售价每增加1元,日均销售量减少80瓶;当售价为每瓶7元时,日均销售量为400瓶,若要日均毛利润最大,每瓶饮料的售价应是(C)
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
6.如图,一男生推铅球,铅球行进高度y(单位:米)是水平距离x(单位:米)的二次函数,即铅球飞行轨迹是一条抛物线.该男生推铅球出手时,铅球的高度为1.6米;铅球飞行至水平距离4米时,铅球高度为4米;铅球落地时水平距离为8米.有下列结论:①铅球飞行至水平距离3.5米时,铅球到达最大高度,最大高度为4.05米;
②当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为:y=-x2+x+;
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等.
其中,正确结论的个数是(B)
A.3 B.2 C.1 D.0
7.(2024·北京期末)“卢沟晓月”是著名的北京八景之一,每当黎明斜月西沉,月色倒映水中,更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥,并题“卢沟晓月”,立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度OA约为22米,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为y=-(x-11)2+k,则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米.
8.(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片.某影院每天运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如表所示:
电影票售价x(元) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数表达式;
【解析】(1)设y与x之间的函数表达式是y=kx+b,由题中表格可得,,
解得,
即y与x之间的函数表达式是y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数).
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为W(单位:元),求w与x之间的函数表达式;
【解析】(2)由题意可得,w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000,
即w与x之间的函数表达式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80).
(3)该影院将电影票售价定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【解析】(3)由(2)知:w=-4x2+324x-2 000=-4(x-)2+4 561,
∵30≤x≤80,且x是整数,
∴当x=40或41时,w取得最大值,
此时w=4 560,
答:该影院将电影票售价定为40元或41元时,每天获利最大,最大利润是4 560元.
【C层 创新挑战（选做）】
9.(2024·盐城中考)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生 产 背 景 背 景 1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产 背 景 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类加工人数(人)每人每天加工量(件)平均每件获利(元)风y224雅x1正148
探 究 任 务 任 务 1 探寻变量 关系 求x、y之间的数量关系.
任 务 2 建立数学 模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.
任 务 3 拟定加工 方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
【解析】任务1:根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,
∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,
∴加工“正”服装的有(70-x-y)人,
∵“正”服装总件数和“风”服装相等,
∴(70-x-y)×1=2y,
整理得:y=-x+;
任务2:根据题意得:“雅”服装每天获利为:
x[100-2(x-10)],
∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)],
整理得:w=-2x2+72x+3 360(x>10),
任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008,
∴当x=18时,获得最大利润,y=-×18+=,
∴x≠18,
∵开口向下,
∴取x=17或x=19,
当x=17时,y=,不符合题意;
当x=19时,y==17,符合题意;
∴70-x-y=34,
综上:安排19名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大利润. 实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 抛物线形问题
1.(2024·鹤壁模拟)廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知水面AB宽48 m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 m,为保护该桥的安全,现要在该抛物线上的点E,F处安装两盏警示灯,若要保证两盏警示灯的水平距离EF是24 m,则警示灯E距水面AB的高度为( )
A.12 m B.11 m C.10 m D.9 m
2.如图1是某景区一座抛物线形拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到抛物线表达式为y=-x2,正常水位时水面宽AB为36 m,当水位上升5 m时水面宽CD为 .
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
3.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的表达式是h=-5t2+30t(0≤t≤6),则小球到达最高高度时,运动的时间是( )
A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒
4.(2024·扬州期末)如图,某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线形(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面3米,则水流落地点B离墙的距离OB是 米.
【B层 能力进阶】
5.(2024·宁波期末)某超市销售一种饮料,每瓶进价为4元,市场调查表明:每瓶售价每增加1元,日均销售量减少80瓶;当售价为每瓶7元时,日均销售量为400瓶,若要日均毛利润最大,每瓶饮料的售价应是( )
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
6.如图,一男生推铅球,铅球行进高度y(单位:米)是水平距离x(单位:米)的二次函数,即铅球飞行轨迹是一条抛物线.该男生推铅球出手时,铅球的高度为1.6米;铅球飞行至水平距离4米时,铅球高度为4米;铅球落地时水平距离为8米.有下列结论:①铅球飞行至水平距离3.5米时,铅球到达最大高度,最大高度为4.05米;
②当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为:y=-x2+x+;
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等.
其中,正确结论的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
7.(2024·北京期末)“卢沟晓月”是著名的北京八景之一,每当黎明斜月西沉,月色倒映水中,更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥,并题“卢沟晓月”,立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度OA约为22米,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为y=-(x-11)2+k,则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米.
8.(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片.某影院每天运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如表所示:
电影票售价x(元) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数表达式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为W(单位:元),求w与x之间的函数表达式;
(3)该影院将电影票售价定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【C层 创新挑战（选做）】
9.(2024·盐城中考)请根据以下素材,完成探究任务.
制定加工方案
生 产 背 景 背 景 1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产 背 景 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24元/件; ②“正”服装:48元/件; ③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类加工人数(人)每人每天加工量(件)平均每件获利(元)风y224雅x1正148
探 究 任 务 任 务 1 探寻变量 关系 求x、y之间的数量关系.
任 务 2 建立数学 模型 设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.
任 务 3 拟定加工 方案 制定使每天总利润最大的加工方案. 实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若关于x的二次函数y=mx2-6x+1的图象与x轴有两个公共点,则m的取值范围是( )
A.m≠9 B.m>9
C.m<9且m≠0 D.m≤9
2.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2(a≠0)的图象分别交于点A(-2,2),B(4,8).则关于x的方程ax2=kx+b的解为 .
3.(2024·天津期末)如表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
由表格可知方程x2+3x-5=0的一个近似根是 .
4.(2024·南京期末)已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(0,3),B(1,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)已知二次函数y=x2+bx+c与直线y=mx+n交于点B(1,0),C(4,3),请结合图象直接写出方程x2+bx+c=mx+n的解.
知识点2 二次函数与不等式
5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的不等式ax2-bx-c≥0的解集为( )
A.-2≤x≤1 B.x≤-2或x≥1
C.1≤x≤4 D.x≤1或x≥4
6.如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为-4,AC=8BC,当ax2+bx+c7.(2024·金华期中)如图,抛物线y=-x2+mx与直线y=-x+b相交于点A(-2,0)和点B.
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式-x2+mx<-x+b的解集;
(3)若关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,直接写出n的取值范围.
【B层 能力进阶】
8.(2024·青岛期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点.下列结论:①bc<0;②b2-4ac>0;③关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是-3≤x≤0;④a2-ab+ac<0;⑤关于x的方程ax2+bx+c+4=0无解.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2023·娄底中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)、点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,当CD∥x轴时,CD= .
10.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x111.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点,且当x=a和x=a+n时函数值都为m,则m与n的等量关系为 .
12.函数y1=x2(x+3)的图象如图所示.已知y1=x2(x+3)和y2=kx+b的交点A的横坐标为-3,另一交点B的横坐标为1.回答下列问题:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y1 … -16 0 4 2 0 4 20 54 112 …
y2 … -1 1 2 4 5 6 7 …
(1)完善表格:y1,y2与x的对应值,根据表格中的y2与x的对应值,在图中描点并画出y2=kx+b的图象.从中选取合适的数据,求出k,b的值;
(2)根据图象,描述当-2≤x≤0时,函数y1随自变量变化的变化趋势;
(3)根据图象,直接写出不等式x2(x+3)≤kx+b的解集;
(4)若m,n分别满足关于x的方程x2(x+3)=6和kx+b=6,则m n(填“<”或“>”).
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、运算能力、推理能力)如图,一次函数y=-2x+6的图象与y轴交于A点,与x轴交于B点,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,B两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出当x取何值时,-2x+6>-x2+bx+c>0;
(3)点P是抛物线在第一象限上的一个动点,是否存在点P,使△ABP的面积最大 若存在,求出此时点P的坐标以及△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
