圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
1.(2024·广州期末)如图,☉O的半径是8 cm,∠AOB=120°,那么圆心O到弦AB的距离是(B)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2.(2024·常州模拟)如图,AB,CD是☉O的弦,且AB=CD,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为(D)
A.42° B.44° C.46° D.48°
3.(2024·潮州期末)如图,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4 cm,则☉O的直径AB为(D)
A.5 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024·天津期末)如图,点A,B,C是☉O上的点,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半径为2,则四边形ABCO的面积为(A)
A.2 B.2 C. D.2
5.(2024·泰州期中)如图,已知AB,CD是☉O中的两条直径,且∠AOC=50°,过点A作AE∥CD交☉O于点E,连结OE,则的度数为 80° .
6.(2024·日照期末)如图,在☉O中,AB,CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=.
【证明】连结OE,
∵CE∥AB,
∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,
∴∠C=∠E,
∴∠DOB=∠BOE,
∴=.
7.(2024·连云港质检)如图,已知AB是☉O的直径,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N,且AM=BN.求证:=.
【证明】∵ CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠CMO=∠DNO=90°,
∵OA=OB,AM=BN,
∴OM=ON,
在Rt△COM和Rt△DON中,,
∴Rt△COM≌Rt△DON(H.L.),
∴∠COM=∠DON,
∴=,∴=.
【B层 能力进阶】
8.(2024·苏州期中)在☉O中,AB,CD为两条弦,下列说法:①若AB=CD,则=;②若=,则AB=CD;③若=2,则AB=2CD;④若∠AOB=2∠COD,则=2,其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
9.(2024·徐州期中)如图,点A,B,C,D在☉O上,且=,E是AB延长线上一点,且BE=AB,F是EC中点,若BF=6 cm,则BD= 12 cm.
10.(2024·上海期末)如图1,AD,BC是☉O的弦,且AD=BC,连结AB,CD.
(1)求证:AB=CD;
【解析】(1)∵AD=BC,∴=,
∴-=-,
即=,∴AB=CD;
(2)如图2,连结BD,若=+,BD=24,AB=4,求☉O的半径.
【解析】(2)过点O作OE⊥BD于点E,交☉O于点F,连接OB,OD,∵OB=OD,
∴∠BOF=∠DOF,BE=DE=12,
∴=,=+,
∵=+,
∴=,
∴AB=BF=4,
∴在Rt△BEF中,EF==8,
设☉O的半径为r,则OE=r-8,
根据勾股定理得:122+(r-8)2=r2,
解得r=13,
即☉O的半径为13.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,分别交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)若EG=8,AC=2,求☉O的半径;
【解析】(1)连结EO(图略),
设☉O的半径为r,
∵EG⊥AB,
∴CE=CG=EG=4,
∵AC=2,∴OC=r-2,
在Rt△CEO中,OE2=CE2+OC2,
∴r2=42+(r-2)2,解得r=5,
∴☉O的半径为5.
(2)求证:=;
【解析】(2)连结OF,∵AC=BD,OA=OB,
∴OC=OD,∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴在Rt△COE和Rt△DOF中,
,
∴Rt△COE≌Rt△DOF(H.L.),
∴∠AOE=∠BOF,∴=.
(3)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.
【解析】(3)==成立,理由如下:
∵C,D分别为OA,OB的中点,
∴OC=OE,∴∠OEC=30°,
∴∠AOE=60°,
同理∠BOF=60°,∴∠EOF=60°,
∴==. 圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
1.(2024·广州期末)如图,☉O的半径是8 cm,∠AOB=120°,那么圆心O到弦AB的距离是( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2.(2024·常州模拟)如图,AB,CD是☉O的弦,且AB=CD,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为( )
A.42° B.44° C.46° D.48°
3.(2024·潮州期末)如图,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4 cm,则☉O的直径AB为( )
A.5 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024·天津期末)如图,点A,B,C是☉O上的点,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半径为2,则四边形ABCO的面积为( )
A.2 B.2 C. D.2
5.(2024·泰州期中)如图,已知AB,CD是☉O中的两条直径,且∠AOC=50°,过点A作AE∥CD交☉O于点E,连结OE,则的度数为 .
6.(2024·日照期末)如图,在☉O中,AB,CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=.
7.(2024·连云港质检)如图,已知AB是☉O的直径,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N,且AM=BN.求证:=.
【B层 能力进阶】
8.(2024·苏州期中)在☉O中,AB,CD为两条弦,下列说法:①若AB=CD,则=;②若=,则AB=CD;③若=2,则AB=2CD;④若∠AOB=2∠COD,则=2,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
9.(2024·徐州期中)如图,点A,B,C,D在☉O上,且=,E是AB延长线上一点,且BE=AB,F是EC中点,若BF=6 cm,则BD= cm.
10.(2024·上海期末)如图1,AD,BC是☉O的弦,且AD=BC,连结AB,CD.
(1)求证:AB=CD;
(2)如图2,连结BD,若=+,BD=24,AB=4,求☉O的半径.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,分别交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)若EG=8,AC=2,求☉O的半径;
(2)求证:=;
(3)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由. 圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论的应用
1.(2024·六安模拟)已知☉O的半径为5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延长线上的一点,若PA=8,PB=2,则圆心O到弦AB的距离为(D)
A. B.6 C. D.4
2.(2024·三明期中)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AE=2,BE=10,
∠AEC=30°,则CD的长为(A)
A.8 B.8 C.6 D.10
3.(2024·珠海一模)如图,点C是的中点,弦AB=8米,半径OC=5米.则CD=
2 米.
4.(2024·蚌埠模拟)如图,AB是☉O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=6,CD=2,则线段CE的长为 .
5.(2024·泸州期末)如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连结CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)证明:E是OB的中点;
【解析】(1)连结AC,如图,
∵直径AB垂直于弦CD于点E,
∴=,
∴AC=AD,
∵OF⊥AD,
∴AF=DF,即CF是AD的垂直平分线,
∴AC=CD,
∴AC=AD=CD.
∴∠ACD=60°,
∴∠FCD=∠ACD=30°,
在Rt△COE中,OE=OC,
∴OE=OB,
∴点E为OB的中点;
(2)若AB=8,求CD的长.
【解析】(2)∵AB=8,
∴OC=AB=4,
又∵BE=OE,
∴OE=2,
在Rt△OCE中,CE===2,
∴CD=2CE=4.
知识点2 垂径定理的实际应用
6.(2024·滨州期末)要测一个残损轮子的半径,小丽的方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点A,B,再作弦AB的垂直平分线交AB于点C,交圆弧于点D,测出AB和CD的长度,即可计算出轮子的半径.若测得AB=48 cm,CD=12 cm,则轮子的半径
为(B)
A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm
7.(2024·南京模拟)如图,这是一扇拱形门的示意图,BC为门框底,∠B=∠C=90°,
AB=BC=CD=2 m,门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧,E是的中点,则点E到门框底BC的距离是(B)
A.(2+) m B.(1+) m
C. m D.(2+) m
8.(2024·南宁一模)如图,当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时,摆角∠AOB=2α,点C是的中点,连结OC交AB于点D,若OA=20 cm,则AB的长为 40sin α cm.(结果用含α的式子表示)
【B层 能力进阶】
9.(2024·宁波期末)如图,☉O的半径为5,弦AB=6,点C在弦AB上,延长CO交☉O于点D,则CD的取值范围是(D)
A.6≤CD≤8 B.8≤CD≤10
C.910.(2024·徐州期中)如图,在☉O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,若AB=4,则☉O的半径是(A)
A.2 B.2 C.3 D.4
11.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)已知圆中两条平行的弦之间距离为1,其中一弦长为8,若半径为5,则另一弦长为 6或2 .
12.(2024·北京期末)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,OC=1且
∠BOC=60°,点D是的中点,点P是直径AB上一动点,则CP+DP的最小值为 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2022·兰州中考)综合与实践
问题情境:我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法,如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1),它的端面是圆形.如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法:将“矩”的直角尖端A沿圆周移动,直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点;将“矩”向右旋转,使它左侧边落在A,B点上,“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点,这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,D四点,连结AD,BC相交于点O,即O为圆心.
问题解决:(1)请你根据“问题情境”中提供的方法,用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
类比迁移:(2)小梅受此问题的启发,在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现,如果AB和AC不相等,用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
拓展探究:(3)小梅进一步研究,发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差,用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是☉O上任意三点,请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)请写出你确定圆心的理由: .
【解析】问题解决:
(1)如图:
O即为所求作的圆心;
类比迁移:
(2)如图:
O即为所求作的圆心;
拓展探究:
(3)如图:
O即为所求作的圆心,理由是垂直平分弦(不是直径)的直线经过圆心.
答案:垂直平分弦(不是直径)的直线经过圆心圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论的应用
1.(2024·六安模拟)已知☉O的半径为5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延长线上的一点,若PA=8,PB=2,则圆心O到弦AB的距离为( )
A. B.6 C. D.4
2.(2024·三明期中)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AE=2,BE=10,
∠AEC=30°,则CD的长为( )
A.8 B.8 C.6 D.10
3.(2024·珠海一模)如图,点C是的中点,弦AB=8米,半径OC=5米.则CD=
米.
4.(2024·蚌埠模拟)如图,AB是☉O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=6,CD=2,则线段CE的长为 .
5.(2024·泸州期末)如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连结CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)证明:E是OB的中点;
(2)若AB=8,求CD的长.
知识点2 垂径定理的实际应用
6.(2024·滨州期末)要测一个残损轮子的半径,小丽的方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点A,B,再作弦AB的垂直平分线交AB于点C,交圆弧于点D,测出AB和CD的长度,即可计算出轮子的半径.若测得AB=48 cm,CD=12 cm,则轮子的半径
为( )
A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm
7.(2024·南京模拟)如图,这是一扇拱形门的示意图,BC为门框底,∠B=∠C=90°,
AB=BC=CD=2 m,门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧,E是的中点,则点E到门框底BC的距离是( )
A.(2+) m B.(1+) m
C. m D.(2+) m
8.(2024·南宁一模)如图,当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时,摆角∠AOB=2α,点C是的中点,连结OC交AB于点D,若OA=20 cm,则AB的长为 cm.(结果用含α的式子表示)
【B层 能力进阶】
9.(2024·宁波期末)如图,☉O的半径为5,弦AB=6,点C在弦AB上,延长CO交☉O于点D,则CD的取值范围是( )
A.6≤CD≤8 B.8≤CD≤10
C.910.(2024·徐州期中)如图,在☉O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,若AB=4,则☉O的半径是( )
A.2 B.2 C.3 D.4
11.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)已知圆中两条平行的弦之间距离为1,其中一弦长为8,若半径为5,则另一弦长为 .
12.(2024·北京期末)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,OC=1且
∠BOC=60°,点D是的中点,点P是直径AB上一动点,则CP+DP的最小值为 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2022·兰州中考)综合与实践
问题情境:我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法,如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1),它的端面是圆形.如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法:将“矩”的直角尖端A沿圆周移动,直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点;将“矩”向右旋转,使它左侧边落在A,B点上,“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点,这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,D四点,连结AD,BC相交于点O,即O为圆心.
问题解决:(1)请你根据“问题情境”中提供的方法,用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
类比迁移:(2)小梅受此问题的启发,在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现,如果AB和AC不相等,用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
拓展探究:(3)小梅进一步研究,发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差,用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是☉O上任意三点,请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)请写出你确定圆心的理由: .
