圆周角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理及其推论
1.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则∠AOB等于( )
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连结BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
3.(2024·天津期末)如图,BC为☉O的弦,点A,D在☉O上,OA⊥BC,
∠ADB=30°,BC=2,则OC的长为 .
4.(2024·武汉期末)如图,AB为☉O的直径,C是☉O上一点,D是的中点,弦DE⊥AB,垂足为F.
(1)求证:BC=DE;
(2)若AC=6,BF=2,求AE的长.
知识点2 圆内接四边形
5.△ABC与☉O交于点D,E,C,B,∠A=40°,∠C=60°,则∠AED的度数为( )
A.60° B.40° C.80° D.100°
6.(2024·厦门期中)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,DB平分∠ADC,AC为☉O的直径,若∠CAD=60°,AB=2,则AD的长为 .
7.(2024·贺州一模)如图,A,P,B,C在圆上,∠APC=∠CPB=60°,连结AB,BC,AC.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)若∠PAC=90°,AB=2,求圆的半径.
【B层 能力进阶】
8.(2023·黄冈中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,连结AC,AD,BD,若∠C=20°,∠BPC=70°,则∠ADC=( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
9.(2024·杭州期末)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠BAD=90°,∠ADC=105°,
AD=2,C为的中点,则BC的长为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
10.(2024·金华期中)如图,在☉O中,AB,AC为两条弦,BC是直径,OD⊥AB于点D,连结CD,若CD=,AC=3,则BC的长为 .
11.(2024·常州模拟)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E,AE=AB,AD=ED,连结BD.
(1)求证:∠BAD=∠EAD;
(2)连结AC,若CD=1,DE=3,求AB的长.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、推理能力、运算能力)
【特例感知】
(1)如图①,AB是☉O的直径,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,连结CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30°,则∠BDC的度数为 °,点D到直线AC的距离为 ;
【类比迁移】
(2)如图②,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由;
【问题解决】
(3)如图③,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BAD=90°,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长. 圆周角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理及其推论
1.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则∠AOB等于(A)
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连结BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(C)
A.41° B.45° C.49° D.59°
3.(2024·天津期末)如图,BC为☉O的弦,点A,D在☉O上,OA⊥BC,
∠ADB=30°,BC=2,则OC的长为 2 .
4.(2024·武汉期末)如图,AB为☉O的直径,C是☉O上一点,D是的中点,弦DE⊥AB,垂足为F.
(1)求证:BC=DE;
【解析】(1)∵弦DE⊥AB,AB为☉O的直径,
∴=2,∵D是的中点,∴=2,
∴=,∴BC=DE.
(2)若AC=6,BF=2,求AE的长.
【解析】(2)连结OD交CB于点H,∵DE⊥AB,
∴∠OFD=90°,DF=EF,∵D是的中点,
∴OD⊥BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,∴AC∥OD,
∴∠CAB=∠DOF,又∵∠ACB=∠DFO=90°,
∴△ACB∽△OFD,
∴==2,∴OF=AC=3,
∴OD=OA=OB=OF+FB=3+2=5,
∴DF===4,∴EF=4,
∴AE===4.
∴AE的长为4.
知识点2 圆内接四边形
5.△ABC与☉O交于点D,E,C,B,∠A=40°,∠C=60°,则∠AED的度数为(C)
A.60° B.40° C.80° D.100°
6.(2024·厦门期中)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,DB平分∠ADC,AC为☉O的直径,若∠CAD=60°,AB=2,则AD的长为 .
7.(2024·贺州一模)如图,A,P,B,C在圆上,∠APC=∠CPB=60°,连结AB,BC,AC.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
【解析】(1)是等边三角形;
证明如下:∵∠APC=60°,=,
∴∠ABC=∠APC=60°,
同理,∠BAC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2,求圆的半径.
【解析】(2)由(1)得AC=AB=2,
∵∠PAC=90°,
∴线段PC为圆的直径,
在 Rt△PAC 中,∠APC=60°,AC=2,
∴sin∠APC=,即 PC===4,
∴圆的半径是2.
【B层 能力进阶】
8.(2023·黄冈中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,连结AC,AD,BD,若∠C=20°,∠BPC=70°,则∠ADC=(D)
A.70° B.60° C.50° D.40°
9.(2024·杭州期末)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠BAD=90°,∠ADC=105°,
AD=2,C为的中点,则BC的长为(C)
A.2 B.2 C.2 D.4
10.(2024·金华期中)如图,在☉O中,AB,AC为两条弦,BC是直径,OD⊥AB于点D,连结CD,若CD=,AC=3,则BC的长为 5 .
11.(2024·常州模拟)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E,AE=AB,AD=ED,连结BD.
(1)求证:∠BAD=∠EAD;
【解析】(1)∵AD=ED,
∴∠EAD=∠E,
∵AE∥BC,
∴∠E+∠BCD=180°,
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠EAD;
(2)连结AC,若CD=1,DE=3,求AB的长.
【解析】(2)如图,在△ADB和△ADE中,
,
∴△ADB≌△ADE(S.A.S.),
∴∠ABD=∠E,
由圆周角定理得:∠ABD=∠ACD,
∴∠ACD=∠E=∠EAD,
∵∠E=∠E,∴△ACE∽△DAE,
∴=,即=,
解得AE=2,∴AB=AE=2.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、推理能力、运算能力)
【特例感知】
(1)如图①,AB是☉O的直径,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,连结CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30°,则∠BDC的度数为 °,点D到直线AC的距离为 ;
【解析】(1)如图①,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°,
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°,
∴∠BDC的度数为120°;
作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,则DF=DE,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=30°,BD=3,
∴AB=2BD=6,
∴AD===3,
∴×6×DE=×3×3=S△ABD,
∴DE=,
∴DF=,
∴点D到直线AC的距离为.
答案:120
【类比迁移】
(2)如图②,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由;
【解析】(2)AB+AC=2AM,
理由:如图②,连结BD,CD,作DN⊥AC交AC的延长线于点N,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,
∴DN=DM,
∵∠DCN+∠ACD=180°,∠B+∠ACD=180°,
∴∠DCN=∠B,
∵∠N=∠DMB=90°,
∴△DCN≌△DBM(A.A.S.),
∴CN=BM,
∵∠N=∠AMD=90°,AD=AD,DN=DM,
∴Rt△ADN≌Rt△ADM(H.L.),
∴AN=AM,∴AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+AC=AM+AN=2AM.
【问题解决】
(3)如图③,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BAD=90°,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长.
【解析】(3)如图③,作CG⊥AD于点G,CH⊥AB交AB的延长线于点H,
∵AC平分∠BAD,∴CG=CH,
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBH+∠ABC=180°,
∴∠D=∠CBH,
∵∠CGD=∠H=90°,
∴△CGD≌△CHB(A.A.S.),
∴DG=BH,
设DG=BH=x,
∵∠BAD=∠AGC=∠AHC=90°,
∴四边形AGCH是矩形,
∵CG=CH,∴四边形AGCH是正方形,
∴AG=AH=CG,
∵AB=5,AD+AC=15,
∴CG=AG=AH=5+x,AD=AG+x=AH+x=5+2x,
∴AC=15-AD=15-(5+2x)=10-2x,
∵AG2+CG2=AC2,
∴(5+x)2+(5+x)2=(10-2x)2,
解得x1=15-10,x2=15+10(不符合题意,舍去),
∴AC=10-2×(15-10)=20-20,
∴线段AC的长为20-20.
