点与圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 点与圆的位置关系
1.(2024·湖州期末)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,为半径作☉O.若点P的坐标为(1,1),则点P与☉O的位置关系是(B)
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.不能确定
2.(2024·广州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是(A)
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.无法确定
3.(2024·厦门期末)已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6),则A,B,C这三个点 可以 确定一个圆(填“可以”或“不可以”).
4.在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.
(1)若以A为圆心,6 cm长为半径作☉A,则B,C,D与☉A的位置关系是什么
【解析】(1)如图,连结AC,∵AB=6 cm,AD=8 cm,∴AC=10 cm,∵☉A的半径为
6 cm,
∴点B在☉A上,点C在☉A外,点D在☉A外;
(2)若作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是 .
【解析】(2)∵以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在☉A内,至少有一点在☉A外,
∴☉A的半径r的取值范围是6 cm答案:6 cm知识点2 三角形的外接圆
5.(2024·无锡一模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若∠ACB=70°,则∠BAD的度数是(C)
A.30° B.40° C.20° D.50°
6.(2024·北京期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点都在格点上,则△ABC外接圆的圆心坐标为(A)
A.(3,2) B.(2,3) C.(2,2) D.(3,3)
7.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆.若∠A=28°,则∠BCO= 62° .
8.(2024·宿迁一模)如图,AD是☉O的直径,△ABC是☉O的内接三角形.若∠DAC=∠ABC,AC=5,则AD= 5 .
9.(2024·长沙期中)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
【解析】(1)∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,
∴=,∴∠BAD=∠CAD;
(2)连结BO并延长,交☉O于点G,连结GC,若OE=3,求GC的长.
【解析】(2)根据题意得如图,
∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,
∴点E为BC的中点,
∵点O是BG的中点,
∴OE=CG,∵OE=3,∴CG=6.
【B层 能力进阶】
10.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是(C)
A.点B,C均在圆P外
B.点B在圆P外,点C在圆P内
C.点B在圆P内,点C在圆P外
D.点B,C均在圆P内
11.(2024·烟台期末)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,连结BD,CD.若AB=6,AC=8,则BD的长为(A)
A.5 B.5 C.5 D.6
12.已知△ABC的外接圆的半径为6,若∠A=45°,∠B=30°,则AB的长为 3+3 .
13.(2024·聊城期末)如图,AB为☉O的直径,△ACD内接于☉O,∠ADC=45°,CD交AB于点E.
(1)求∠BAC的度数;
【解析】(1)连结OC,
∵∠ADC=45°,
∴∠AOC=2∠ADC=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠BAC=45°;
(2)若点E为OB中点,CE=5,求AE的长.
【解析】(2)设OE=x,
∵点E为OB中点,
∴OB=2OE=2x,
∴AO=OC=OB=2x,
在Rt△COE中,CE=5,
∴OE2+OC2=CE2,
∴x2+(2x)2=52,
解得x=或x=-(舍去),
∴OE=,
∴AE=AO+OE=3x=3,
∴AE的长为3.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力、几何直观)(2024·三明模拟)已知锐角△ABC内接于☉O,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点G,交☉O于点F,连结AF,CF,AD=BD.
(1)如图1,直接写出CF与GD的数量关系;
【解析】(1)连结CG,
∵AD⊥BC,AC⊥BF,∴∠ACD+∠DAC=90°,∠AGE+∠DAC=90°,
∴∠AGE=∠ACD,
∵∠AGE=∠BGD,∴∠BGD=∠ACD,
∵BD=AD,∠BDG=∠ADC=90°,
∴△BDG≌△ADC(A.A.S.),∴DG=DC,
∴△CDG是等腰直角三角形,
∴CG==DG,
∵∠AFB,∠ACB是所对的圆周角,
∴∠AFB=∠ACD,又∵∠AGE=∠ACD,
∴∠AGE=∠AFB,∴AG=AF,
∵AC⊥BF,∴GE=EF,∴CG=CF,
∵CG=DG,∴CF=DG;
(2)如图2,连结OD,OG,在BG上取点M,使得∠BDM=∠ACF,DM=2,BG=5,求△ODG的面积.
【解析】(2)作OH⊥BC,垂足为点H,
∵OH⊥BC,∴BH=CH=BC,
∵=,
∴∠CBF=∠CAF,
∵∠BDM=∠ACF,
∴△BDM∽△ACF,
∴=,
由(1)得△BDG≌△ADC,CF=DG,
∴AC=BG=5,DG=DC,
∵=,
∴=,
∴BD=,
在Rt△BDG中,
∵BD2+DG2=BG2,
∴()2+DG2=52,
整理得(DG2)2-25DG2+100=0,
解得DG=,DG=-(不符合题意,舍去),DG=2,DG=-2(不符合题意,舍去),
当DG=时,BD=2,
当DG=2时,BD=(不满足BD>DG,舍去),
∴BC=BD+DC=BD+DG=3,DH=CH-CD=,
∴S△ODG=DG·DH=××=.十五 点与圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 点与圆的位置关系
1.(2024·湖州期末)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,为半径作☉O.若点P的坐标为(1,1),则点P与☉O的位置关系是( )
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.不能确定
2.(2024·广州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.无法确定
3.(2024·厦门期末)已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6),则A,B,C这三个点 确定一个圆(填“可以”或“不可以”).
4.在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.
(1)若以A为圆心,6 cm长为半径作☉A,则B,C,D与☉A的位置关系是什么
(2)若作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是 .
知识点2 三角形的外接圆
5.(2024·无锡一模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若∠ACB=70°,则∠BAD的度数是( )
A.30° B.40° C.20° D.50°
6.(2024·北京期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点都在格点上,则△ABC外接圆的圆心坐标为( )
A.(3,2) B.(2,3) C.(2,2) D.(3,3)
7.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆.若∠A=28°,则∠BCO= .
8.(2024·宿迁一模)如图,AD是☉O的直径,△ABC是☉O的内接三角形.若∠DAC=∠ABC,AC=5,则AD= .
9.(2024·长沙期中)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
(2)连结BO并延长,交☉O于点G,连结GC,若OE=3,求GC的长.
【B层 能力进阶】
10.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A.点B,C均在圆P外
B.点B在圆P外,点C在圆P内
C.点B在圆P内,点C在圆P外
D.点B,C均在圆P内
11.(2024·烟台期末)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,连结BD,CD.若AB=6,AC=8,则BD的长为( )
A.5 B.5 C.5 D.6
12.已知△ABC的外接圆的半径为6,若∠A=45°,∠B=30°,则AB的长为 .
13.(2024·聊城期末)如图,AB为☉O的直径,△ACD内接于☉O,∠ADC=45°,CD交AB于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)若点E为OB中点,CE=5,求AE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、运算能力、几何直观)(2024·三明模拟)已知锐角△ABC内接于☉O,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点G,交☉O于点F,连结AF,CF,AD=BD.
(1)如图1,直接写出CF与GD的数量关系;
(2)如图2,连结OD,OG,在BG上取点M,使得∠BDM=∠ACF,DM=2,BG=5,求△ODG的面积.
