直线与圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线与圆的位置关系
1.(2024·宁波模拟)一圆的半径为3,圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的位置关系是(C)
A.相切 B.相交
C.相离 D.以上都不对
2.(2024·苏州期中)在直角坐标系中,点P的坐标是(3,),☉P的半径为3,下列说法正确的是(D)
A.☉P与x轴、y轴都有两个公共点
B.☉P与x轴、y轴都没有公共点
C.☉P与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
D.☉P与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
3.(2024·福州期中)在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线.以点A为圆心,AD长为半径作☉A,则☉A与BC的位置关系是 相切 .
4.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么
【解析】由题中已知条件,得BO⊥AC,BO=BD==,即点B到AC的距离为,与☉B的半径相等,∴直线AC与☉B相切.
∵EF∥AB,∠ABC=90°,∴BE⊥EF,垂足为E,且BE=BC=×2=1<,∴直线EF与☉B相交.
知识点2 根据直线与圆的位置关系求值
5.(2024·西安一模)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4,若☉C与AB相离,则半径为r满足(C)
A.r>2 B.r<2
C.06.如图,在平面直角坐标系中,☉O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y=kx-2(k+1)与☉O有两个交点A,B,则弦AB长的最小值为(B)
A.4 B.4 C.8 D.2
7.(2024·南京期末)平面直角坐标系中,以点P(3,4)为圆心的☉P,若该圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2,则☉P的半径r的取值范围是 2【B层 能力进阶】
8.在 ABCD中,BC=5,S ABCD=20.如果以顶点C为圆心,BC为半径作☉C,那么☉C与边AD所在直线的公共点的个数是(B)
A.3 B.2 C.1 D.0
9.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,4),☉M的半径为2.当圆心M与点O重合时,☉M与直线AB的位置关系为 相离 ;若圆心M从点O开始沿x轴移动,当OM= 或 时,☉M与直线AB相切.
10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点B,C,半径为2的☉P的圆心P从点A(8,m)(点A在直线y=x-4上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动,设点P运动的时间为t秒,则当t= 2或6或10 时,☉P与坐标轴相切.
11.如图,P为正比例函数y=x图象上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)求☉P与直线x=2相切时点P的坐标.
【解析】(1)过P作直线x=2的垂线,垂足为A;
当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3,
得x=5;∴P(5,);
当点P在直线x=2左侧时,PA=2-x=3,
得x=-1,∴P(-1,-),
∴当☉P与直线x=2相切时,点P的坐标为(5,)或(-1,-);
(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
【解析】(2)当-1当x<-1或x>5时,☉P与直线x=2相离.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、运算能力、几何直观)(2024·扬州期末)
【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-b,c),以AB为直径作☉P.若☉P交x轴于点M(m,0),N(n,0),则m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=(1-c)2+b2.在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(-b-m)2=(1-c)2+b2.
化简得:m2+bm+c=0.同理可得: .
所以m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【解析】(1)AN2=12+n2,BN2=c2+(-b-n)2,
AB2=(1-c)2+b2,
在Rt△ABN中,AN2+BN2=AB2,
∴12+n2+c2+(-b-n)2=(1-c)2+b2,
化简得:n2+bn+c=0.
答案:n2+bn+c=0
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0的两根为横坐标的点M,N.
【解析】(2)先在坐标系内找到A(0,1),B(3,-2),连结AB,
分别以A,B为圆心,以大于AB长为半径画弧,连结两弧的交点与AB交于点P,
以P为圆心,以AB长为直径画圆,圆与x轴的交点即为M,N点.
如图所示:
(3)已知点A(0,1),B(6,9),以AB为直径作☉C.判断☉C与x轴的位置关系,并说明理由.
【解析】(3)由题意得:x2-6x+9=0,
∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0,
∴方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根,
∴☉C与x轴只有一个交点,即☉C与x轴相切.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a),B(-b,c),若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是 .
【解析】(4)由题意得,以AB为直径的圆与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是x2+bx+ac=0.
答案:x2+bx+ac=0十六 直线与圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线与圆的位置关系
1.(2024·宁波模拟)一圆的半径为3,圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.以上都不对
2.(2024·苏州期中)在直角坐标系中,点P的坐标是(3,),☉P的半径为3,下列说法正确的是( )
A.☉P与x轴、y轴都有两个公共点
B.☉P与x轴、y轴都没有公共点
C.☉P与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
D.☉P与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
3.(2024·福州期中)在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线.以点A为圆心,AD长为半径作☉A,则☉A与BC的位置关系是 .
4.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么
知识点2 根据直线与圆的位置关系求值
5.(2024·西安一模)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4,若☉C与AB相离,则半径为r满足( )
A.r>2 B.r<2
C.06.如图,在平面直角坐标系中,☉O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y=kx-2(k+1)与☉O有两个交点A,B,则弦AB长的最小值为( )
A.4 B.4 C.8 D.2
7.(2024·南京期末)平面直角坐标系中,以点P(3,4)为圆心的☉P,若该圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2,则☉P的半径r的取值范围是 .
【B层 能力进阶】
8.在 ABCD中,BC=5,S ABCD=20.如果以顶点C为圆心,BC为半径作☉C,那么☉C与边AD所在直线的公共点的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,4),☉M的半径为2.当圆心M与点O重合时,☉M与直线AB的位置关系为 ;若圆心M从点O开始沿x轴移动,当OM= 时,☉M与直线AB相切.
10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点B,C,半径为2的☉P的圆心P从点A(8,m)(点A在直线y=x-4上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动,设点P运动的时间为t秒,则当t= 时,☉P与坐标轴相切.
11.如图,P为正比例函数y=x图象上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)求☉P与直线x=2相切时点P的坐标.
(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、运算能力、几何直观)(2024·扬州期末)
【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-b,c),以AB为直径作☉P.若☉P交x轴于点M(m,0),N(n,0),则m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=(1-c)2+b2.在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(-b-m)2=(1-c)2+b2.
化简得:m2+bm+c=0.同理可得: .
所以m,n为方程x2+bx+c=0的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0的两根为横坐标的点M,N.
(3)已知点A(0,1),B(6,9),以AB为直径作☉C.判断☉C与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a),B(-b,c),若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是 .
