切线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.(2024·扬州期中)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是(D)
A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
2.如图,已知∠AOB=30°,点M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= 4 cm时,☉M与OA相切.
3.(2023·扬州中考节选)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由.
【解析】直线AB与☉O相切,
理由:连结OD(图略),
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD,
∴∠BCD=∠BOD,
∵∠BCD=∠A,∴∠BOD=∠A,
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠BDO=90°,
∵OD是☉O的半径,∴直线AB与☉O相切.
知识点2 切线的性质
4.如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为(D)
A.68° B.56° C.34° D.28°
5.(2024·天津期中)如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连结BD,CD,若∠BDC=60°,AB=3,则☉O的半径长为(D)
A.1.5 B. C. D.
6.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连结OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 50° .
7.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
【B层 能力进阶】
8.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB.点P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为(C)
A.14 B.15 C.16 D.8
9.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连结BC,若∠B=28°,则∠P= 34 °.
10.如图,PA与☉O相切于点A,PO与弦AB相交于点C,OB⊥OP,若OB=3,OC=1,则PA的长为 4 .
11.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连结BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
【解析】(1)连结OD,
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,
∵OD是☉O的半径,
∴直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
【解析】(2)△ABM是等边三角形,理由如下:
∵DE⊥AC,∠F=30°,
∴∠EAF=60°,
∴∠EAD=∠DAF=30°,
∴∠CBD=∠CAD=30°,
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠EAF=30°,
∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°,
∴△ABM是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连结BC交AD于点P,求AP的长.
【解析】(3)∵△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°,
∴∠MDE=30°,
∵ME=1,DE⊥AM,
∴MD=2ME=2,
∴AB=MB=4,
∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°,
∴AC=AB=2,
∵∠CAD=30°,
∴AP=2CP,
∵AP2=CP2+AC2,
∴AP=.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、几何直观、模型观念)知识重现:如图1,分三种情况探究了一条弧所对的圆周角∠BAC和它所对的圆心角∠BOC的数量关系.
(1)直接写出∠BAC和∠BOC的数量关系 ;
(2)任选一种情况进行证明.
迁移应用:如图2,已知△ABC内接于☉O,直线DE是☉O的切线,切点为A,求证:∠CAE=∠ABC.
【解析】知识重现:(1)∠BAC=∠BOC.
答案:∠BAC=∠BOC
(2)情况①,作直径AD,
∵OA=OB,∴∠1=∠3.
∴∠BOD=∠1+∠3=2∠1,
同理∠COD=2∠2,
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAC,
∴∠BAC=∠BOC;
情况②,当点O在∠BAC的一边上时,
∵OA=OC,∴∠1=∠2,
由外角可得,∠BOC=∠1+∠2,
∴∠BOC=2∠1,
∴∠1=∠BOC,即∠BAC=∠BOC;
情况③,作直径AD,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∴∠BOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB,
同理∠COD=2∠DAC,
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2∠DAC-2∠OAB=2∠BAC,
∴∠BAC=∠BOC.
迁移应用:作直径AF,交☉O于F,连结CF,如图,
∵DE为☉O的切线,∴OA⊥DE,
∴∠CAE+∠FAC=90°,
∵AF为☉O的直径,∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°,
∴∠AFC=∠CAE,
∵∠CBA=∠AFC,
∴∠CAE=∠ABC. 切线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.(2024·扬州期中)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( )
A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
2.如图,已知∠AOB=30°,点M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切.
3.(2023·扬州中考节选)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由.
知识点2 切线的性质
4.如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为( )
A.68° B.56° C.34° D.28°
5.(2024·天津期中)如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连结BD,CD,若∠BDC=60°,AB=3,则☉O的半径长为( )
A.1.5 B. C. D.
6.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连结OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 .
7.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
【B层 能力进阶】
8.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB.点P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为( )
A.14 B.15 C.16 D.8
9.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连结BC,若∠B=28°,则∠P= °.
10.如图,PA与☉O相切于点A,PO与弦AB相交于点C,OB⊥OP,若OB=3,OC=1,则PA的长为 .
11.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连结BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连结BC交AD于点P,求AP的长.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、几何直观、模型观念)知识重现:如图1,分三种情况探究了一条弧所对的圆周角∠BAC和它所对的圆心角∠BOC的数量关系.
(1)直接写出∠BAC和∠BOC的数量关系 ;
(2)任选一种情况进行证明.
迁移应用:如图2,已知△ABC内接于☉O,直线DE是☉O的切线,切点为A,求证:∠CAE=∠ABC.
