切线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.(2024·南京期末)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是(C)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若
∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=(C)
A.56° B.60° C.68° D.70°
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= 76 °.
4.(2024·广州期中)如图,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.
(1)求∠P的大小;
【解析】(1)∵PA是☉O的切线,AB为☉O的直径,∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°;∵∠BAC=30°,∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.
又∵PA,PC与☉O相切于点A,C,∴PA=PC,
∴△PAC为等边三角形,∴∠P=60°.
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
【解析】(2)如图,连结BC,则∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∵cos∠BAC=,
∴AC=AB·cos∠BAC=2cos 30°=.
∵△PAC为等边三角形,
∴PA=AC,
∴PA=.
知识点2 三角形的内切圆及内心的性质
5.(2024·湖州期中)如图,点O为△ABC的内心,∠A=60°,OB=2,OC=4,则△OBC的面积是(B)
A.4 B.2 C.2 D.4
6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,且AB=3,BC=5,AC=4,则CD= .
7. (2024·莆田期中)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,I为△ABC的内心,连结OI,AI,BI.若OI⊥BI,OI=2,则AB的长为 4 .
8.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连结BP,BD.
(1)求证:BD=PD;
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵点P是△ABC的内心,∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP,∴∠ABD=∠ACD=45°,
∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP,
∴∠DPB=∠DBP,∴BD=DP;
(2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长.
【解析】(2)连结AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示:
∵AB是直径,∠ABD=45°,∴AB=6,△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=×6=6,
∵∠BCD=45°,BH⊥CD,
∴∠BCH=∠CBH=45°,∴BH=CH,
∴BC=BH,∵BD2=DH2+BH2,
∴36=(8-BH)2+BH2,∴BH=4±,BC=4±2,
∵BC>AC,∴BC=4+2.
【B层 能力进阶】
9.(2024·杭州一模)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为(A)
A. B. C. D.
10.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= 35° .
11.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:
①∠BAD=∠CAD;
②若∠BAC=50°,则∠BEC=130°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的结论是 ①③④ .(填序号)
12.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点I为△ABC的内心,连结AI并延长交☉O于D点,连结BD并延长至E,使得BD=DE,连结CE,BI.
(1)求证:DB=DI;
【解析】(1)∵I是△ABC的内心,∴∠BAI=∠CAI,∠IBA=∠IBC,∵∠BID=∠BAI+∠IBA,∠DBI=∠IBC+∠DBC,∠DBC=∠IAC,∴∠DBI=∠DIB,∴DB=DI;
(2)求证:直线CE为☉O的切线;
【解析】(2)连结CD.如图1,
∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC,
∴BD=CD,又∵BD=DE,
∴CD=DB=DE,
∴∠BCE=90°,∴BC⊥CE,
∵BC为☉O的直径,∴CE是☉O的切线.
(3)若tan∠ADB=,BC=20,求AD的长.
【解析】(3)如图2,
在Rt△ABC中,BC=20,∠ACB=∠ADB,tan∠ADB=,∴AB=16,AC=12,过点I作IH⊥AC于H,
∵点I是Rt△ABC的内心,
∴内切圆的半径IH==4,
在Rt△AIH中,∠CAD=45°,∴AI=IH=4,
由(2)知,△BDC为等腰直角三角形,
又∵BC=20,∴BD=20÷=10,∴DI=BD=10,
∴AD=DI+AI=14.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题:
(1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论.
【解析】(1)△PEF的周长=2PA,
证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴PB=PA,
∵EA与EC为☉O的切线,
∴EA=EC,
同理得到FC=FB,
∴C△PEF=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA;
(2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径.
【解析】(2)如图1所示,连结OA,OP,
∵PA是☉O的切线,
∴OA⊥PA,
∴∠PAO=90°,
∵△PEF的周长为16 cm,
∴PA=8 cm,
∴OA===6(cm),
∴☉O的半径为6 cm;
(3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径.
【解析】(3)当☉O在EF右侧时,如图2所示,
设☉O与射线PM、射线PN分别相切于A,B,与EF相切于C,则AE=CE,
连结OA,OB,OC,
∵EF⊥PN,
∴∠CFB=∠OBF=∠OCF=90°,
∵OC=OB,
∴四边形OCFB是正方形,
∴CF=BF=OC.
设☉O的半径为r,
∴CF=BF=r,
∵EF=3,PF=4,∴PE=5,
∵PA=PB,∴5+AE=PF+BF,
即5+3-r=4+r,
∴r=2.
当☉O在EF左侧时,如图3所示,
PE==5,
∴(3+4+5)r=×3×4,解得r=1.
∴☉O的半径为2或1.切线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.(2024·南京期末)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若
∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( )
A.56° B.60° C.68° D.70°
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= °.
4.(2024·广州期中)如图,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.
(1)求∠P的大小;
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
知识点2 三角形的内切圆及内心的性质
5.(2024·湖州期中)如图,点O为△ABC的内心,∠A=60°,OB=2,OC=4,则△OBC的面积是( )
A.4 B.2 C.2 D.4
6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,且AB=3,BC=5,AC=4,则CD= .
7. (2024·莆田期中)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,I为△ABC的内心,连结OI,AI,BI.若OI⊥BI,OI=2,则AB的长为 .
8.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连结BP,BD.
(1)求证:BD=PD;
(2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·杭州一模)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为( )
A. B. C. D.
10.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
11.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:
①∠BAD=∠CAD;
②若∠BAC=50°,则∠BEC=130°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的结论是 .(填序号)
12.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点I为△ABC的内心,连结AI并延长交☉O于D点,连结BD并延长至E,使得BD=DE,连结CE,BI.
(1)求证:DB=DI;
(2)求证:直线CE为☉O的切线;
(3)若tan∠ADB=,BC=20,求AD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题:
(1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论.
(2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径.
(3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径.
