圆中的计算问题(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.如图,△ABC的顶点B,C落在☉O上,AB经过圆心O,AC与☉O相交于点D,已知∠A=20°,∠CBD=50°,BC=2,则的长为( )
A. B. C.π D.
2.一个扇形的圆心角为100°,半径为4,则该扇形的弧长为 .
3.(2024·湖州一模)传统服饰日益受到关注,如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙,如图2,马面裙可以近似地看作扇环,其中的长度为π米,裙长AB为0.8米,圆心角∠AOD=60°,则的长度为 .
4.如图,在△ABC中,∠C=100°,∠A=30°,BC=4.若以点C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则的长为 .
知识点2 扇形面积公式及应用
5. (2023·鄂州中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是( )
A.5-π B.5-4π
C.5-2π D.10-2π
6.(2024·吉林中考)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为 m2(结果保留π).
7.(2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连结OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是 .
8.(2024·广州期中)如图,从一张圆心角为45°的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF,则图中阴影部分的面积为 .
9.如图,点A,D,C在半径为8的☉O上,过点D作BD∥AC,交OA的延长线于点B.连结CD,且∠DCA=∠OAC=30°.
(1)求证:BD是☉O的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
【B层 能力进阶】
10.(2024·厦门期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,以边AC为直径作半圆交边AB于点D.以点B为圆心,边BC长为半径作交边AB于点E,则图中阴影部分的面积为( )
A.5π-4 B.π-2
C.π-2 D.π-2
11.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 cm(结果用含π的式子表示).
12.如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,上,连结BC,CD,点D,O关于直线BC对称,的长为π,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,求的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、推理能力、几何直观)(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆弧的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连结OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连结OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小. 圆中的计算问题(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.如图,△ABC的顶点B,C落在☉O上,AB经过圆心O,AC与☉O相交于点D,已知∠A=20°,∠CBD=50°,BC=2,则的长为(B)
A. B. C.π D.
2.一个扇形的圆心角为100°,半径为4,则该扇形的弧长为 π .
3.(2024·湖州一模)传统服饰日益受到关注,如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙,如图2,马面裙可以近似地看作扇环,其中的长度为π米,裙长AB为0.8米,圆心角∠AOD=60°,则的长度为 π米 .
4.如图,在△ABC中,∠C=100°,∠A=30°,BC=4.若以点C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则的长为 .
知识点2 扇形面积公式及应用
5. (2023·鄂州中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是(C)
A.5-π B.5-4π
C.5-2π D.10-2π
6.(2024·吉林中考)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为 11π m2(结果保留π).
7.(2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连结OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是 π .
8.(2024·广州期中)如图,从一张圆心角为45°的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF,则图中阴影部分的面积为 π- .
9.如图,点A,D,C在半径为8的☉O上,过点D作BD∥AC,交OA的延长线于点B.连结CD,且∠DCA=∠OAC=30°.
(1)求证:BD是☉O的切线;
【解析】(1)连结OD,交CA于E,
∵∠C=30°,∠C=∠DOA,
∴∠DOA=60°,
∵∠DCA=∠OAC=30°,
∴∠AEO=90°,即OD⊥AC,
∵BD∥AC,∴∠BDE=∠AEO=90°,
∵OD为☉O的半径,
∴BD是☉O的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
【解析】(2)∵AC∥BD,∠OAC=30°,
∴∠B=∠CAO=30°,
∵∠ODB=90°,OD=8,∴BD=OD=8,
∴S阴影=S△BDO-S扇形AOD=×8×8-=32-π.
【B层 能力进阶】
10.(2024·厦门期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,以边AC为直径作半圆交边AB于点D.以点B为圆心,边BC长为半径作交边AB于点E,则图中阴影部分的面积为(C)
A.5π-4 B.π-2
C.π-2 D.π-2
11.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π cm(结果用含π的式子表示).
12.如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,上,连结BC,CD,点D,O关于直线BC对称,的长为π,则图中阴影部分的面积为 6π-3 .
13.如图,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度数;
【解析】(1)∵∠APC=∠CPB=60°,∴由圆周角定理得:∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°;
(2)若BC=6,求的长.
【解析】(2)连结OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OD⊥BC于点D,OB=OC,
∴∠BOD=∠BOC=60°,
BD=BC=×6=3,
在Rt△BOD中,sin∠BOD=,
∴OB===2,
∴的长==π.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、推理能力、几何直观)(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆弧的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连结OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连结OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
【解析】(1)连结OM,
∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm,
∴MC=MN=24 cm,
∵AB=50 cm,
∴OM=AB=25 cm,
在Rt△OMC中,
OC===7(cm);
(2)∵GH与半圆的切点为E,
∴OE⊥GH,
∵MN∥GH,
∴OE⊥MN,
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=ON= cm,
∴操作后水面下降的高度为-7=(cm);
(3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°,
∵半圆弧的中点为Q,
∴=,
∴∠QOB=90°,
∴∠QOE=30°,
∴OF=2EF,
又∵EF2+OE2=OF2,
∴EF=OE=(cm),
的长为=(cm),
∵-π==>0,
∴EF的长>的长.
