二十 圆中的计算问题(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥及侧面展开图
1.(2024·苏州一模)一个圆锥的母线长为3 cm,侧面展开图扇形的圆心角为120°,则这个圆锥的底面圆半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.3 cm
2.如图,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形半径为R,则圆的半径与扇形半径之间的关系为( )
A.R=2r B.R=r C.R=3r D.R=4r
3.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、弧长为6π的扇形,则该圆锥的母线长为 .
4.(2024·北京模拟)小李同学在数学综合实践活动中,用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示),经过小李同学测量得圆锥底面直径为12 cm,圆锥的高为8 cm,则根据测量数据推算,制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 °.
5.(2024·宿迁期末)如图,在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB.
(1)求阴影部分面积;
(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求圆锥底面圆的半径.
知识点2 圆锥的侧面积
6.一个圆锥的底面半径为6 cm,母线长为9 cm,则该圆锥的侧面积为( )
A.54 cm2 B.54π cm2
C.108 cm2 D.108π cm2
7.(2023·鸡西中考)已知圆锥的母线长13 cm,侧面积为65π cm2,则这个圆锥的高是 cm.
8. (2023·娄底中考)如图,在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .
【B层 能力进阶】
9.(2024·武汉期末)如图,从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面,其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是( )
10.一个圆锥的主视图是底边为2的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积等于 .
11.如图,BC为圆锥底面直径,AD为圆锥的高,若AD=6 cm,∠BAC=60°,则这个圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
12.(2023·呼和浩特中考)圆锥的高为2,母线长为3,沿一条母线将其侧面展开,展开图(扇形)的圆心角是 度,该圆锥的侧面积是 (结果用含π的式子表示).
13.在数学实验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件画出如下示意图.
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗 请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、几何直观)综合与实践
主题:制作圆锥形生日帽.
素材:一张圆形纸板、装饰彩带.
步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料.
步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽.
在制作好的生日帽中,AB=6 cm,l=6 cm,C是PB的中点,现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带,求彩带长度的最小值. 圆中的计算问题(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥及侧面展开图
1.(2024·苏州一模)一个圆锥的母线长为3 cm,侧面展开图扇形的圆心角为120°,则这个圆锥的底面圆半径为(A)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.3 cm
2.如图,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形半径为R,则圆的半径与扇形半径之间的关系为(D)
A.R=2r B.R=r C.R=3r D.R=4r
3.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、弧长为6π的扇形,则该圆锥的母线长为 9 .
4.(2024·北京模拟)小李同学在数学综合实践活动中,用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示),经过小李同学测量得圆锥底面直径为12 cm,圆锥的高为8 cm,则根据测量数据推算,制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 216 °.
5.(2024·宿迁期末)如图,在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB.
(1)求阴影部分面积;
【解析】(1)连结AB,OC,
∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径,
∴点A,O,B三点共线,
∴OB=OC=OA,又∵AC=BC,∴AO⊥OC,
∵圆的直径为2,则AC=BC=,
故S扇形==π.
∴S阴影=π×12-π=π;
(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面,求圆锥底面圆的半径.
【解析】(2)的长l==,
则2πr=,
解得r=.
故该圆锥的底面圆的半径是.
知识点2 圆锥的侧面积
6.一个圆锥的底面半径为6 cm,母线长为9 cm,则该圆锥的侧面积为(B)
A.54 cm2 B.54π cm2
C.108 cm2 D.108π cm2
7.(2023·鸡西中考)已知圆锥的母线长13 cm,侧面积为65π cm2,则这个圆锥的高是 12 cm.
8. (2023·娄底中考)如图,在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 14π .
【B层 能力进阶】
9.(2024·武汉期末)如图,从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面,其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是(D)
10.一个圆锥的主视图是底边为2的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积等于 π .
11.如图,BC为圆锥底面直径,AD为圆锥的高,若AD=6 cm,∠BAC=60°,则这个圆锥的侧面积为 24π cm2.(结果保留π)
12.(2023·呼和浩特中考)圆锥的高为2,母线长为3,沿一条母线将其侧面展开,展开图(扇形)的圆心角是 120 度,该圆锥的侧面积是 3π (结果用含π的式子表示).
13.在数学实验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件画出如下示意图.
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗 请说明理由.
【解析】不认同,理由:
设直角三角尺三边长分别为BC=a,AC=a,AB=2a,
∴甲圆锥的侧面积S甲=π·BC·AB=π×a×2a=2πa2,
乙圆锥的侧面积S乙=π·AC·AB=π×a×2a=2πa2,
∴S甲≠S乙,∴不认同小亮的说法.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、几何直观)综合与实践
主题:制作圆锥形生日帽.
素材:一张圆形纸板、装饰彩带.
步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料.
步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽.
在制作好的生日帽中,AB=6 cm,l=6 cm,C是PB的中点,现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带,求彩带长度的最小值.
【解析】∵l=6 cm,AB=6 cm,∴r=3 cm,
∵×2πr×l=,∴n=,
∴n==180.
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°,如图所示.
∴∠A'PC=×180°=90°.
∵PA'=PB=6 cm,∴PC=PB=3 cm.
∴在Rt△A'PC中,由勾股定理得A'C===3(cm).
∴彩带长度的最小值为2A'C=6 cm.
