正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.(2024·上海期末)如图,已知☉O的内接正方形ABCD的边长为1,则☉O的半径为(B)
A. B. C.1 D.
2.如图,☉O的内接正五边形ABCDE,点P是上的动点,连结OA,OC,则∠EAO+∠APC的度数为(A)
A.126°
B.144°
C.150°
D.随着点P的变化而变化
3.(2024·南通一模)如图,△ABC内接于☉O,∠C=36°,弦AB是圆内接正多边形的一边,则该正多边形的边数是 5 .
4.(2024·西安模拟)一个边长为2 cm的正多边形,它的每一个内角都是外角的2倍,则这个正多边形的边心距是 cm.
5.如图,正方形ABCD的外接圆的半径为4,则它的内切圆的半径为 2 .
知识点2 正多边形的性质、判定及画法
6.(2024·盐城一模)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.如图所示若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1的值为(A)
A.π-3 B.4-π C.2π-5 D.
7.如图,正方形ABCD内接于☉O,EF是☉O的直径.若AB=2,则图中阴影部分的面积为(D)
A.π-2 B.π-1 C. D.-1
8.如图,已知点A是半径为3的☉O上任意一点,以点A为圆心,OA长为半径作弧,交☉O于点B,以点B为圆心,OA长为半径作弧交☉O于点C,同上述作图方法逆时针作出点D,E,F,依次连结A→B→C→D→E→F→A,则这个多边形的周长为 18 .
9.(2024·杭州期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连结AD,CE交于点G,DG=2.
(1)求正六边形ABCDEF的边长;
【解析】(1)如图,连结OC,则CG⊥OD,
∵正六边形ABCDEF内接于☉O,
∴△COD是正三角形,
∴∠COD=60°,
∵CG⊥OD,
∴OG=DG=OD=2,
∴OD=2OG=4,
即正六边形的边长为4;
(2)求阴影部分的面积.
【解析】(2)在Rt△COG中,OG=2,∠COG=60°,
∴CG=OG=2,
∴S阴影部分=S扇形COD-S△COD
=-×4×2
=-4.
【B层 能力进阶】
10.如图,正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点B,E在x轴上,半径为4,则顶点D的坐标为(B)
A.(2,2) B.(2,-2)
C.(2,-4) D.(2,-4)
11.(2023·德阳中考)已知一个正多边形的边心距与边长之比为,则这个正多边形的边数是(B)
A.4 B.6 C.7 D.8
12.(2023·杭州中考)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则= 2 .
13.(应用意识、运算能力、推理能力)如图,正方形ABCD内接于☉O,E为的中点.
(1)作等边三角形EFG,使点F,G分别在和上(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法).
【解析】(1)如图所示,连结EO并延长交☉O于H,以H为圆心,HO为半径画圆,交☉O于点F,G,点F,G即为所求,即得到等边三角形EFG.
(2)在(1)的条件下,求∠BOG的度数;
【解析】(2)连结OB,OG,
∵△EFG是等边三角形,
∴EH⊥GF,
∴∠GOH=2∠GEH=2×30°=60°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOH=45°,
∵∠BOG=∠BOH+∠GOH=45°+60°=105°.
(3)若正方形ABCD的边长为4,求(1)中等边三角形EFG的边长.
【解析】(3)如图,连结OF,OB,过O作ON⊥EF于N,
∵OM⊥BC,∴BM=BC=×4=2,
在Rt△BOM中,OM=2,
∴OB=2,
在Rt△FON中,∠OFN=30°,OF=2,
∴ON=,∴FN==,
∴EF=2,
∴等边三角形EFG的边长为2.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(应用意识、运算能力、推理能力)(2024·武汉期末)古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位.小明自制了一个类似的玩具:以点O为中心,共有内外两圈,均可以绕着点O旋转,外圈有A,B,C,D,E,F,G,H8个点将圆八等分,内圈仅有J,K两个点,且点A,K,O,J四点共线,连结AO,OD.
(1)求∠AOD的度数;
【解析】(1)由题意得,将圆8等分,∠AOD占其中的3份,
∴∠AOD=360°×=135°.
(2)固定内圈,顺时针转动外圈一周,恰好经过6 s.求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时,经过多少时间.
【解析】(2)由题意得,外圈转动速度为360÷6=60(°/s),
分类讨论可得:①当JK⊥AO时,点A在右侧半圆上,时间t==1.5(s),
点A在左侧半圆上,时间t==4.5(s);
②当JK⊥DO时,点D在右侧半圆上,时间t==(s),
点D在左侧半圆上,时间t==(s),
综上所述,外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时,经过1.5 s或4.5 s或 s或s.正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.(2024·上海期末)如图,已知☉O的内接正方形ABCD的边长为1,则☉O的半径为( )
A. B. C.1 D.
2.如图,☉O的内接正五边形ABCDE,点P是上的动点,连结OA,OC,则∠EAO+∠APC的度数为( )
A.126°
B.144°
C.150°
D.随着点P的变化而变化
3.(2024·南通一模)如图,△ABC内接于☉O,∠C=36°,弦AB是圆内接正多边形的一边,则该正多边形的边数是 .
4.(2024·西安模拟)一个边长为2 cm的正多边形,它的每一个内角都是外角的2倍,则这个正多边形的边心距是 cm.
5.如图,正方形ABCD的外接圆的半径为4,则它的内切圆的半径为 .
知识点2 正多边形的性质、判定及画法
6.(2024·盐城一模)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积.如图所示若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1的值为( )
A.π-3 B.4-π C.2π-5 D.
7.如图,正方形ABCD内接于☉O,EF是☉O的直径.若AB=2,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-2 B.π-1 C. D.-1
8.如图,已知点A是半径为3的☉O上任意一点,以点A为圆心,OA长为半径作弧,交☉O于点B,以点B为圆心,OA长为半径作弧交☉O于点C,同上述作图方法逆时针作出点D,E,F,依次连结A→B→C→D→E→F→A,则这个多边形的周长为 .
9.(2024·杭州期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连结AD,CE交于点G,DG=2.
(1)求正六边形ABCDEF的边长;
(2)求阴影部分的面积.
【B层 能力进阶】
10.如图,正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点B,E在x轴上,半径为4,则顶点D的坐标为( )
A.(2,2) B.(2,-2)
C.(2,-4) D.(2,-4)
11.(2023·德阳中考)已知一个正多边形的边心距与边长之比为,则这个正多边形的边数是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
12.(2023·杭州中考)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则= .
13.(应用意识、运算能力、推理能力)如图,正方形ABCD内接于☉O,E为的中点.
(1)作等边三角形EFG,使点F,G分别在和上(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下,求∠BOG的度数;
(3)若正方形ABCD的边长为4,求(1)中等边三角形EFG的边长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(应用意识、运算能力、推理能力)(2024·武汉期末)古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位.小明自制了一个类似的玩具:以点O为中心,共有内外两圈,均可以绕着点O旋转,外圈有A,B,C,D,E,F,G,H8个点将圆八等分,内圈仅有J,K两个点,且点A,K,O,J四点共线,连结AO,OD.
(1)求∠AOD的度数;
(2)固定内圈,顺时针转动外圈一周,恰好经过6 s.求外圈只转一周且当JK与∠AOD一边垂直时,经过多少时间.
