第26章 二次函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列y关于x的函数中,二次函数是( )
A.y= B.y=x+1 C.y=2x2-1 D.y=x
2.(2024·青岛期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如表:
x 1.23 1.24 1.25 1.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是( )
A.1C.1.243.(2024·南昌一模)一次函数y=-ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
4.已知二次函数的图象如图所示,则其抛物线的表达式可能为( )
A.y=-3x2-1 B.y=-3x2+1 C.y=3x2+1 D.y=3x2-1
5.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是( )
A.-4C.x<-4或x>1 D.x<-2或x>0
6.(2023·扬州中考)已知二次函数y=ax2-2x+(a为常数,且a>0),下列结论:①函数图象一定经过第一、二、四象限;②函数图象一定不经过第三象限;③当x<0时,y随x的增大而减小;④当x>0时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.② D.③④
7.(2023·牡丹江中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),(3,0).下列结论:
①>0;②c=2b;③若抛物线上有点(,y1),(-3,y2), (-,y3),则y2④方程cx2+bx+a=0的解为x1=,x2=-.其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.(2024·天津一模)如图,是抛物线形拱桥,当拱桥顶端C离水面2 m时,水面AB的宽度为4 m.有下列结论:①当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m;②当水面下降1 m时,水面宽度为2 m;③当水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4) m.
其中,正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.抛物线y=-2(x-1)2+3的顶点坐标是 .
10.若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= .
11.若抛物线y=mx2-6x-9与x轴只有一个交点,则m的值为 .
12.(2024·厦门质检)已知二次函数y=ax2+2ax+c的最小值为-8.若当013.(2024·南通期末)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用,若想要获得最大利润,则房价应定为每个房间每天 元.
14.(2023·巴中中考)规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数y=x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;
(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向.
16.(8分)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).
(1)试确定此二次函数的表达式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.
17.(8分)已知抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3).
(1)求m的值以及抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标.
(2)当x取何值时,抛物线在x轴上方
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
18.(8分)(2024·苏州期末)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,P,Q两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若P,Q两点的距离为4cm时,求t的值.
(2)当t为何值时,△BPQ的面积最大 并求出最大面积.
19.(10分)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个
1 m宽的门.
(1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2
(2)猪舍面积最大时,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴交AC于点E,求PE的最大值及此时点P的坐标;
(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度后得到新抛物线y',点N是原抛物线上一点,在新抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得以B,C,N,M为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出点M的坐标,并选择一个你喜欢的点写出求解过程;若不存在,请说明理由.
【附加题】(10分)
(2024·杭州模拟)【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭,通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身,并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭.
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能,兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的数据,并确定了函数表达式为x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的数据,发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示:
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行高度y/m 0 10 16 18 16 …
【建立模型】
任务1:求y关于t的函数表达式.
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为PQ),当弹射高度变化时,水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到,线段AB为水火箭回收区域,已知AP=42 m,AB=(18-24) m.
任务2:探究飞行距离,当水火箭落地(高度为0 m)时,求水火箭飞行的水平距离.
任务3:当水火箭落到AB内(包括端点A,B),求发射台高度PQ的取值范围.第26章 二次函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列y关于x的函数中,二次函数是(C)
A.y= B.y=x+1 C.y=2x2-1 D.y=x
2.(2024·青岛期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如表:
x 1.23 1.24 1.25 1.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是(D)
A.1C.1.243.(2024·南昌一模)一次函数y=-ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)
4.已知二次函数的图象如图所示,则其抛物线的表达式可能为(B)
A.y=-3x2-1 B.y=-3x2+1 C.y=3x2+1 D.y=3x2-1
5.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是(B)
A.-4C.x<-4或x>1 D.x<-2或x>0
6.(2023·扬州中考)已知二次函数y=ax2-2x+(a为常数,且a>0),下列结论:①函数图象一定经过第一、二、四象限;②函数图象一定不经过第三象限;③当x<0时,y随x的增大而减小;④当x>0时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是(B)
A.①② B.②③ C.② D.③④
7.(2023·牡丹江中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),(3,0).下列结论:
①>0;②c=2b;③若抛物线上有点(,y1),(-3,y2), (-,y3),则y2④方程cx2+bx+a=0的解为x1=,x2=-.其中正确的个数是(D)
A.4 B.3 C.2 D.1
8.(2024·天津一模)如图,是抛物线形拱桥,当拱桥顶端C离水面2 m时,水面AB的宽度为4 m.有下列结论:①当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m;②当水面下降1 m时,水面宽度为2 m;③当水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4) m.
其中,正确的个数是(D)
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.抛物线y=-2(x-1)2+3的顶点坐标是 (1,3) .
10.若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= -2 .
11.若抛物线y=mx2-6x-9与x轴只有一个交点,则m的值为 -1 .
12.(2024·厦门质检)已知二次函数y=ax2+2ax+c的最小值为-8.若当013.(2024·南通期末)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用,若想要获得最大利润,则房价应定为每个房间每天 350 元.
14.(2023·巴中中考)规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数y=x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 (3,0)或(4,0) .
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;
【解析】(1)∵抛物线的对称轴经过点A,∴A点为抛物线的顶点,
∴y的最小值为-3,∵P点和O点对称,
∴t=-6;
(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向.
【解析】(2)分别将(-4,0)和(-3,-3)代入y=ax2+bx,得:,
解得,
∴抛物线开口方向向上.
16.(8分)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).
(1)试确定此二次函数的表达式;
【解析】(1)由题意得解得
则二次函数的表达式为y=-x2-2x+3;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.
【解析】(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.
17.(8分)已知抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3).
(1)求m的值以及抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标.
【解析】(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3),
∴3=0+(m-1)×0+m,解得m=3;
∴抛物线为y=-x2+2x+3.
由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.
∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
(2)当x取何值时,抛物线在x轴上方
【解析】(2)函数的图象如图所示:
由图象可知,当-1(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
【解析】(3)由图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大.
18.(8分)(2024·苏州期末)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,P,Q两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若P,Q两点的距离为4cm时,求t的值.
(2)当t为何值时,△BPQ的面积最大 并求出最大面积.
【解析】(1)由题知,BP=6-t,BQ=2t.
在Rt△BPQ中,PQ2=PB2+BQ2=(6-t)2+(2t)2,
又因为P,Q两点的距离为4,
所以(6-t)2+(2t)2=(4)2,解得t1=2,t2=.
又因为0≤t≤4,所以上述两解都符合题意,故t的值为2或.
(2)由(1)知,S△BPQ=BP·BQ=·2t(6-t)=t(6-t),
又因为0≤t≤4,所以当t=3时,S△BPQ有最大值9 cm2.
19.(10分)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个
1 m宽的门.
(1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2
【解析】(1)由题意,设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为x m,则平行于墙的边长为(25-2x+1)m,
由题意得,x(25-2x+1)=80,
整理得,x2-13x+40=0,
解得x1=5,x2=8,
当x=5时,25-2x+1=26-2×5=16>12,不符合题意,舍去;
当x=8时,26-2x=10<12,符合题意.
∴所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m.
答:所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m时,猪舍面积为80 m2.
(2)猪舍面积最大时,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少
【解析】(2)由题意,设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m,则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,
∴猪舍面积S=x(25-2x+1)=-2x2+26x=-2(x2-13x+)+=-2(x-)2+.
又∵25-2x+1≤12,25-2x+1>0,
∴7≤x<13.
∵-2<0,∴当宽x=7时,长为12,面积最大,最大值为84 m2.
答:长为12 m,宽为7 m时,面积最大,最大值为84 m2.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
【解析】(1)将A(-4,0),B(1,0)代入y=ax2+bx-4,
∴,解得,
∴抛物线的函数表达式为y=x2+3x-4;
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴交AC于点E,求PE的最大值及此时点P的坐标;
【解析】(2)当x=0时,y=-4,
∴C(0,-4),
设直线AC的表达式为y=kx+m,
∴,解得,∴y=-x-4,
设P(t,t2+3t-4),则E(t,-t-4),
∴PE=-t-4-t2-3t+4=-t2-4t=-(t+2)2+4,当t=-2时,PE有最大值4,此时P(-2,-6);
(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度后得到新抛物线y',点N是原抛物线上一点,在新抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得以B,C,N,M为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出点M的坐标,并选择一个你喜欢的点写出求解过程;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在点M,使得以B,C,N,M为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
由题意可得,平移后的抛物线表达式为y'=(x-3)2-,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
设M(3,n),N(x,x2+3x-4),
当BC为平行四边形的对角线时,3+x=1,-4=n+x2+3x-4,解得x=-2,n=2,
∴M(3,2);
当BM为平行四边形的对角线时,x=1+3,n=x2+3x-4-4,解得x=4,n=20,
∴M(3,20);
当BN为平行四边形的对角线时,x+1=3,x2+3x-4=n-4,解得x=2,n=10,
∴M(3,10).
综上所述:M点坐标为(3,2)或(3,20)或(3,10).
【附加题】(10分)
(2024·杭州模拟)【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭,通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身,并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭.
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能,兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的数据,并确定了函数表达式为x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的数据,发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示:
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行高度y/m 0 10 16 18 16 …
【建立模型】
任务1:求y关于t的函数表达式.
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为PQ),当弹射高度变化时,水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到,线段AB为水火箭回收区域,已知AP=42 m,AB=(18-24) m.
任务2:探究飞行距离,当水火箭落地(高度为0 m)时,求水火箭飞行的水平距离.
任务3:当水火箭落到AB内(包括端点A,B),求发射台高度PQ的取值范围.
【解析】任务1:∵二次函数经过点(4,16),(8,16),
∴抛物线的顶点坐标为(6,18).
设抛物线表达式为y=a(t-6)2+18.
∵抛物线经过点(0,0),
∴36a+18=0.
解得a=-.
∴y关于t的函数表达式为y=-(t-6)2+18;
任务2:∵x=3t,
∴t=.
∴y=-(-6)2+18
=-x2+2x.
当水火箭落地(高度为0 m)时,-x2+2x=0.
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=36.
答:水火箭飞行的水平距离为36 m.
任务3:设PQ的长度为c.∴水火箭的抛物线表达式为y=-x2+2x+c.
①当抛物线经过点A时,
∵AP=42 m,
∴点A的坐标为(42,0).
∴-×422+2×42+c=0.
解得c=14.
②当抛物线经过点B时,
∵AP=42 m,AB=(18-24) m.
∴BP=(18+18)m.
∴点B的坐标为(18+18,0).
∴-×(18+18)2+2×(18+18)+c=0.
解得c=18.
∵水火箭落到AB内(包括端点A,B),
∴14 m≤c≤18 m.
∴14 m≤PQ≤18 m.
答:发射台高度PQ的取值范围为14 m≤PQ≤18 m.
