第27章 圆(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A=( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
2.如图,AB是☉O的直径,分别以点O和点B为圆心,大于OB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN与☉O相交于C,D两点,若AB=4,则CD的长为( )
A.4 B.4 C.2 D.
3.(2024·长沙一模)如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓.若“弓”所对的圆心角α的度数为100°,“弓”所在圆的半径为1.2米,则“弓”所对的弧长为( )
A.π米 B.π米 C.π米 D.π米
4.(2024·泉州模拟)如图,☉O是正五边形ABCDE的内切圆,分别切AB,CD于点M,N,P是优弧MN上的一点,则∠MPN的度数为( )
A.55° B.60° C.72° D.80°
5.在△ABC中,AB=AC=8,cos B=,以点C为圆心,半径为6的圆记为圆C,那么下列说法正确的是( )
A.点A在圆C外,点B在圆C上 B.点A在圆C上,点B在圆C内
C.点A在圆C外,点B在圆C内 D.点A,B都在圆C外
6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,C为圆上一定点,∠APB=60°,OA=4时,∠C的大小和PA的长分别是( )
A.60°,8 B.45°,8
C.60°,4 D.45°,4
7.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
8.如图,线段AB是☉O的直径,☉O交线段BC于D,且D是BC中点,DE⊥AC于E,连结AD,则下列结论:
①CE·CA=CD·CB;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线;⑤AD2=AE·AB.正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·北京一模)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点B作☉O的切线与直线AC交于点D.若∠D=50°,则∠BOC= °.
10.已知扇形面积为24π,弧长为8π,则此扇形的圆心角为 度.
11.(2024·深圳中考)如图,在矩形ABCD中,BC=AB,O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为 .
12.(2024·台州期末)如图,AB,AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN=3,那么BC= .
13.如图,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线长为6 cm,底面半径为2 cm,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展开扇形的圆心角为 .
14.如图,点A,B,C,D在☉O上,∠C=120°,AB=AD=8,则点O到BD的距离是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)点A,B,C都在☉O上,且CA=CB,若AB=8,☉O的半径为5,连结CO,求AC的长.
16.(8分)(2024·常州期末)如图所示,☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连结AD,BC,求证:
(1)=;
(2)AE=CE.
17.(8分)如图,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为F,G,H,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线.
(1)若∠C=40°,求∠AOB的度数;
(2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长.
【
18.(8分)(2024·杭州期中)如图所示,已知正八边形ABCDEFGH内接于☉O,连结AC,BD,相交于点P,若☉O的半径为1.
(1)求AC的长;
(2)求∠APD的度数.
19.(10分)(2024·南京一模)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点(与A,B两点不重合),过点C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC.
(1)判断直线PQ与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)过点A作AD⊥PQ于点D,交☉O于点E.若☉O的半径为1,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
20.(10分)如图,AB为☉O的直径,点C为AB上方一点,点D为CA延长线上一点,连结CB,DB,CE⊥BD交☉O于点E,垂足为H,AE交BD于点F.
(1)求证:∠BAE=∠D.
(2)若CD=AB,AE=8.
①若CH=6,求BH的长;
②若点A是线段CD的中点,求此圆的半径.
【附加题】(10分)
(2024·天津一模)在☉O中,AB为直径,过☉O上一点C作☉O的切线,与AB的延长线交于点D,在OA上取一点F,过点F作AB的垂线交AC于点G,交DC的延长线于点E.
(1)如图①,若∠D=36°,求∠ECG和∠EGC的大小;
(2)如图②,若∠E=∠ECG,F为AO的中点,OA=,求EG的长.第27章 圆(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A=(A)
A.35° B.45° C.55° D.70°
2.如图,AB是☉O的直径,分别以点O和点B为圆心,大于OB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN与☉O相交于C,D两点,若AB=4,则CD的长为(C)
A.4 B.4 C.2 D.
3.(2024·长沙一模)如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓.若“弓”所对的圆心角α的度数为100°,“弓”所在圆的半径为1.2米,则“弓”所对的弧长为(A)
A.π米 B.π米 C.π米 D.π米
4.(2024·泉州模拟)如图,☉O是正五边形ABCDE的内切圆,分别切AB,CD于点M,N,P是优弧MN上的一点,则∠MPN的度数为(C)
A.55° B.60° C.72° D.80°
5.在△ABC中,AB=AC=8,cos B=,以点C为圆心,半径为6的圆记为圆C,那么下列说法正确的是(C)
A.点A在圆C外,点B在圆C上 B.点A在圆C上,点B在圆C内
C.点A在圆C外,点B在圆C内 D.点A,B都在圆C外
6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,C为圆上一定点,∠APB=60°,OA=4时,∠C的大小和PA的长分别是(C)
A.60°,8 B.45°,8
C.60°,4 D.45°,4
7.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(A)
A.18° B.30° C.36° D.72°
8.如图,线段AB是☉O的直径,☉O交线段BC于D,且D是BC中点,DE⊥AC于E,连结AD,则下列结论:
①CE·CA=CD·CB;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线;⑤AD2=AE·AB.正确的个数是(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·北京一模)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点B作☉O的切线与直线AC交于点D.若∠D=50°,则∠BOC= 80 °.
10.已知扇形面积为24π,弧长为8π,则此扇形的圆心角为 240 度.
11.(2024·深圳中考)如图,在矩形ABCD中,BC=AB,O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为 4π .
12.(2024·台州期末)如图,AB,AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN=3,那么BC= 6 .
13.如图,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线长为6 cm,底面半径为2 cm,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展开扇形的圆心角为 120° .
14.如图,点A,B,C,D在☉O上,∠C=120°,AB=AD=8,则点O到BD的距离是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)点A,B,C都在☉O上,且CA=CB,若AB=8,☉O的半径为5,连结CO,求AC的长.
【解析】如图,连结OA,OB,∵CA=CB,∴OC垂直平分AB,即CO⊥AB,交点为D,
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4,
∵☉O的半径为5,∴OD==3,
∴CD=OC-OD=5-3=2,∴AC==2.
16.(8分)(2024·常州期末)如图所示,☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连结AD,BC,求证:
(1)=;
(2)AE=CE.
【证明】(1)∵AB=CD,∴=,∴+=+,∴=.
(2)∵=,∴AD=BC,
∵∠ADE=∠CBE,∠AED=∠CEB,∴△ADE≌△CBE(A.A.S.),
∴AE=CE.
17.(8分)如图,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为F,G,H,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线.
(1)若∠C=40°,求∠AOB的度数;
【解析】(1)∵∠C=40°,∴∠ABC+∠BAC=180°-40°=140°,
∵☉O为△ABC的内切圆,∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠CBO,
∴∠OAB+∠OBA=×140°=70°,∴∠AOB=180°-70°=110°;
(2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长.
【解析】(2)∵☉O为△ABC的内切圆,DE为☉O的切线,设切点为I,
∴EH=EI,DI=DG,
∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH,
∵AF=AH,BF=BG,CG=CH,
∴CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)
=6+9+8-2AB
=6+9+8-2×6
=11.
18.(8分)(2024·杭州期中)如图所示,已知正八边形ABCDEFGH内接于☉O,连结AC,BD,相交于点P,若☉O的半径为1.
(1)求AC的长;
【解析】(1)如图,连结OA,OB,设OB与AC交于点Q,
由题意可知,QA=QC,OB⊥AC,
∵ABCDEFGH是正八边形,
∴∠AOB==45°,
∴QA=OQ=OAsin∠AOB=sin 45°=,
∴AC=2QA=;
(2)求∠APD的度数.
【解析】(2)∵所对的圆心角为5∠AOB=225°,
∴所对的圆周角为∠ABD=×225°=112.5°,
∵∠BAC=×45°=22.5°,
∴∠APD=∠ABD+∠BAC=135°.
19.(10分)(2024·南京一模)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点(与A,B两点不重合),过点C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC.
(1)判断直线PQ与☉O的位置关系,并说明理由;
【解析】(1)直线PQ是☉O的切线,
理由:如图1,连结OC,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.
∵∠ACQ=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°,
∴半径OC⊥PQ,
∴直线PQ是☉O的切线.
(2)过点A作AD⊥PQ于点D,交☉O于点E.若☉O的半径为1,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
【解析】(2)连结OE,如图2,
∵∠CAB=30°,∴∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°,
又∵OA=OE,∴△AEO为等边三角形,∴∠AOE=60°.
∴S阴影=S扇形-S△AEO=S扇形-OA·OE·sin 60°
=-×1×1×=π-.
∴题图中阴影部分的面积为π-.
20.(10分)如图,AB为☉O的直径,点C为AB上方一点,点D为CA延长线上一点,连结CB,DB,CE⊥BD交☉O于点E,垂足为H,AE交BD于点F.
(1)求证:∠BAE=∠D.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠D+∠DBC=90°,
∵CE⊥BD,∴∠DBC+∠BCE=90°,∴∠D=∠BCE,
∵∠BAE=∠BCE,∴∠BAE=∠D;
(2)若CD=AB,AE=8.
①若CH=6,求BH的长;
②若点A是线段CD的中点,求此圆的半径.
【解析】(2)①连结BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∵CE⊥BD,∴∠CHD=90°=∠BEA,
又∵∠BAE=∠D,AB=DC,∴△ABE≌△DCH(A.A.S.),
∴AE=DH=8,BE=CH=6,
∵∠BCE=∠D,∠BHC=∠DHC,∴△CHD∽△BHC,
∴=,∴CH2=BH·DH,∴36=8BH,∴BH=;
②∵∠EBF=∠EBH,∠EHB=∠BEF=90°,∴△BEH∽△BFE,
∴=,∴BE2=BH·BF,∴8BH=BH·BF,∴BF=8;
∵CD=AB,点A是线段CD的中点,点O是AB的中点,∴AO=AC=BO,
∴sin∠ABC==,
∴∠ABC=30°,∴∠ABC=∠AEC=30°,
∵CE⊥BF,∴∠BFE=60°,∴∠EBF=30°,
∴EF=BF=4,BE=EF=4,
∴AB===4,∴圆的半径为2.
【附加题】(10分)
(2024·天津一模)在☉O中,AB为直径,过☉O上一点C作☉O的切线,与AB的延长线交于点D,在OA上取一点F,过点F作AB的垂线交AC于点G,交DC的延长线于点E.
(1)如图①,若∠D=36°,求∠ECG和∠EGC的大小;
【解析】(1)如图①,连结OC,则OC=OA,
∵DE与☉O相切于点C,∴DE⊥OC,∴∠OCD=∠OCE=90°,
∵∠D=36°,∴∠COD=90°-36°=54°,∴∠OCA=∠A=∠COD=27°,
∴∠ECG=∠OCE-∠OCA=90°-27°=63°,
∵FE⊥AB,∴∠AFG=90°,∴∠EGC=∠AGF=90°-∠A=90°-27°=63°,
∴∠ECG和∠EGC都等于63°.
(2)如图②,若∠E=∠ECG,F为AO的中点,OA=,求EG的长.
【解析】(2)如图②,连结BC,OC,则OC=OA=OB,
∴∠OCA=∠A,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠OCE=∠AFE=90°,
∴∠ECG=90°-∠OCA=90°-∠A=∠AGF=∠EGC,
∵∠E=∠ECG,∴∠E=∠ECG=∠EGC=60°,
∴△ECG是等边三角形,∴∠OCA=∠A=∠OCE-∠ECG=30°,
∴∠BOC=2∠A=60°,∴△BOC是等边三角形,
∴BC=OC=OB=OA=,∠ABC=60°,
∴=tan 60°=,∴AC=BC=×=3,
∵F为AO的中点,∴AF=OF=OA=,
∴==cos 30°=,∴AG=1,
∴EG=CG=AC-AG=3-1=2.
