期中素养评估(26.1~27.2.3)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,☉O中,点A是的中点,若∠BOA=α,则∠ADC=(C)
A.α B.2α C.α D.90°-α
2.(2024·遵义期末)若抛物线y=x2+ax+2的对称轴是y轴,则a的值是(C)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠ACD=22.5°,AB=4,则CD的长为(C)
A. B.2 C.2 D.4
4.(2024·宿州模拟)已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列说法正确的是(C)
A.该函数的图象开口向上
B.该函数图象与y轴的交点坐标为(0,5)
C.当x=1时,y取得最大值5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
5.如图,☉O的直径AD=6,∠BAC=30°,则弦BC的长为(A)
A.3 B.3 C.6 D.2
6.(2024·福建中考)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是(C)
A.可以找到一个实数a,使得y1>a
B.无论实数a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一个实数a,使得y2<0
D.无论实数a取什么值,都有y2<0
7.(2024·山西中考)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连结OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为(D)
A.30° B.40° C.45° D.50°
8.(2024·福州期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象的一部分,对称轴是直线x=1.下列说法:①b<0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤c-a>0.其中正确的是(D)
A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.②③⑤
9.(2024·重庆中考)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和点C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为(D)
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
10.已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上,若y1=y2=y3,x1A.-12C.-9二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·金华质检)若函数y=(a+1)是关于x的二次函数,则a的值为 1 .
12.如图,AB是☉O的直径,OE⊥BC于点E,连结AC,若∠A=30°,OE=2,则☉O的半径为 4 .
13.如图所示的抛物线y=x2-bx+b2-9的图象,那么b的值是 3 .
14.如图,AB是☉O的直径,点D,M分别是弦AC,弧AC的中点,∠BAC=30°,AB=8,则MD的长是 2 .
15.(2024·宿迁模拟)如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-1,4),B(4,2),则使y116.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,由于惯性的作用,汽车最远要滑行 16 m才能停下.
17.《九章算术》是我国古代数学专著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆半径几何 ”大意:“如图,今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的半径是多少步 ”根据题意,该直角三角形内切圆的半径为 2 步.
18.(2024·厦门模拟)如图,已知平行四边形OABC中,OA=6,∠AOC=45°,以AB为直径的圆经过点C,Q为线段OC上任一点(与点O,点C不重合),过点Q作直线PD垂直OA于D,交直线BC于P,设OD=t,△OPQ的面积为S.以下结论正确的是 ②③ .(填序号)
①点B的坐标是(12,6);
②直线AB的表达式是y=x-6;
③S与t的函数表达式是S=-t2+3t(0④当S=18-22.5时,直线PQ与已知圆相切.
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图,已知AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,=,AE交CD于F.求证:CF=AF.
【证明】如图,连结AC,
∵AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,∴=,
∵=,∴=,
∴∠ACD=∠CAF,∴CF=AF.
20.(8分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
【解析】(1)把点(2,3)代入y=-x2+bx+1
得-4+2b+1=3,解得b=3,
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+1;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
【解析】(2)抛物线向下平移n个单位长度后得y=-x2+3x+1-n,
把点(0,0)代入y=-x2+3x+1-n得1-n=0,
解得n=1,即n的值为1.
21.(8分)如图,☉O的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点,D是的中点,连结CF交OB于点G,连结BC.
(1)求证:GE=BE;
【解析】(1)∵D是的中点,
∴=,∴∠FCD=∠BCD,
又∵CD⊥AB,∴在△GCE和△BCE中,
,∴△GCE≌△BCE(A.S.A.),∴GE=BE;
(2)若OG=1,CD=8,求BC的长.
【解析】(2)如图,连结OC,
设GE=BE=x,则OB=1+2x,
∵AB⊥CD,CD=8,∴CE=DE=4,
在Rt△OCE中,OE2+CE2=OC2,即(1+x)2+42=(1+2x)2,
解得x=2(负值舍去),∴BE=2,
∴BC===2.
22.(8分)进价为40元/件的衣服,加价对外销售,销售数量y(件)与售价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)售价为60元时,卖出多少件 求出y与x的函数表达式;
【解析】(1)从题图中可以看出,当售价为60元时,对应的销售量y=300件,∴当售价为60元时,卖出300件,y与x的函数关系从图中可以看出为一次函数,设y与x的函数表达式为y=kx+b,
把x=60,y=300和x=70,y=200分别代入得,,
解得.∴y与x的函数表达式为y=-10x+900;
(2)设总利润为w(元),写出w与x的函数关系式;当售价x为多少元时,利润w最大,最大利润是多少
【解析】(2)由题意可得w=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1 300x-36 000,∴w与x的函数表达式为w=-10x2+1 300x-36 000.
w=-10x2+1 300x-36 000=-10(x-65)2+6 250,
∴x=65时,w有最大值,w的最大值为6 250元,
答:该商品售价定为65元时,才能使总利润最大,最大利润是6 250元.
23.(8分)如图,在等腰△ABC中,AC=BC,以AB为直径作☉O,分别交边AC,BC于点D,E,过点O作OF⊥BC于点F,过点B作☉O的切线BG交OF的延长线于点G.
(1)求证:∠G=∠A;
【解析】(1)∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,
∵BG是☉O的切线,∴BG⊥OB,
∴∠ABC+∠CBG=∠OBG=90°,
∴∠A+∠CBG=90°,
∵OF⊥BC,
∴∠G+∠CBG=90°,∴∠G=∠A.
(2)若☉O的直径为24,BG=9,求AC的长.
【解析】(2)在Rt△BOG中,BG=9,OB=×24=12,
∴tan G==,连接OC(图略),
在Rt△AOC中,tan A==,∵∠G=∠A,∴=,
∴OC=16,∴AC==20.
24.(8分)(2024·杭州一模)如图1是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机,A是其弹射出口,能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球.在不计空气阻力的情况下,球的运动路径呈抛物线状(如图2所示).设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米),与地面的高度为y(米),y与x的部分对应数据如表所示.
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
(1)求y关于x的函数表达式,并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离.
【解析】(1)由题中表格信息可知,抛物线的顶点为(2,2.25),∴可设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+2.25,其图象过点(2.2,2.24),
∴2.24=a(2.2-2)2+2.25,解得a=-0.25,
∴y关于x的函数表达式为y=-0.25(x-2)2+2.25,
当y=0时,0=-0.25(x-2)2+2.25,
解得x1=5,x2=-1(舍去),故羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米;
(2)为了训练学员的应对能力,需要改变球的落地点,可以通过调整弹射出口A的高度来实现.此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
【解析】(2)∵抛物线的形状和对称轴位置都不变,
∴可设抛物线的表达式为y=-0.25×(x-2)2+k,
∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,∴当y=0时,x=5.5,
∴0=-0.25×(5.5-2)2+k,解得k=3.062 5,∴y=-0.25×(x-2)2+3.062 5,
当x=0时,y=-0.25×(0-2)2+3.062 5=2.062 5,∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.062 5米.
25.(10分)(2024·武汉模拟)如图,四边形ABCD为矩形,E为边CD的中点,☉O经过A,B,E三点,AD与☉O交于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
【解析】(1)如图,过点O作OG⊥BC于点G,反向延长交AD于点H,
连结OA,OB,OE,则OA=OB,
∴∠HAB=∠ABG=∠BGH=90°,
∴四边形ABGH是矩形,∴GH∥AB∥CD,GH=AB=CD,AH=BG,
∠OHA=∠OGB=90°,
在Rt△AOH和Rt△BOG中,,
∴Rt△AOH≌Rt△BOG(H.L.),∴OH=OG=GH=CD,
∵E为边CD的中点,∴DE=CE=CD,∴OH=DE,
∵OH∥DE,∴四边形OHDE是平行四边形,
∴OE∥DH,∴∠OEC=∠D=90°,
又∵OE是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)若AB=4,DF=1,求☉O的半径.
【解析】(2)∵∠OHD=∠D=∠OED=90°,
∴四边形OHDE是矩形,∴DH=OE=OA,
∵AB=4,DF=1,
∴GH=AB=4,AH=FH=DH-1=OA-1,
∴OH=OG=HG=2,
∵OH2+AH2=OA2,
∴22+(OA-1)2=OA2,
解得OA=,∴☉O的半径为.
26.(10分)(2024·烟台中考)如图,抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=-1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
【解析】(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t+4,0),
则x=-1=(t+t+4),解得t=-3,
即点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0),
∵OC=OA,则点C为(0,3),
则抛物线y1的表达式为y1=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3),则-3a=3,得a=-1,
则y1=-x2-2x+3.
根据图形的对称性得,y2=x2-2x-3.
(2)如图1,点F的坐标为(-6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连结FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;
【解析】(2)作点D关于l2的对称点D'(2,-3),将点F向右平移2个单位(MN=2),连结D'F'交直线l2于点N,过点N作NM⊥l1于点M,连结FM,∵F'F∥MN,FF'=MN,则四边形FF'NM为平行四边形,则FM=F'N,
则FM+MN+DN的最小值为F'N+ND'+MN=F'D'+2=+2=3+2.
(3)如图2,点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使
∠PEH=2∠DHE 若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)①当点P在直线l2右侧抛物线上时,如图:
∵抛物线y2=(x-1)2-4,∴E(1,-4),∵l2∥y轴,∴∠DHE=∠1,
∵∠PEH=2∠DHE,∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2,∴∠1=∠2,
作H关于直线l2的对称点H',则点H'在直线PE上,
∵点H的坐标为(0,-2),直线l2:x=1,∴H'(2,-2),
设直线PE的表达式为:y=kx+b(k≠0),代入H'(2,-2),E(1,-4),
得:,解得:,
∴直线PE的表达式为y=2x-6,联立,
得:x2-2x-3=2x-6,解得:x=3或x=1(舍),
∴P(3,0);
②当点P在直线l2左侧抛物线上时,延长EP交y轴于点N,作HN的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点M,过点E作EK⊥y轴于点K,
则QM∥EK,如图:
∵QM垂直平分HN,∴QH=QN,
∴∠QHN=∠QNH,∴∠NQE=2∠NHE,
∵∠PEH=2∠DHE,∴∠NQE=∠PEH,∴NQ=NE,
由点H(0,-2),E(1,-4),得:EK=1,KH=2,
∵QM∥EK,∴△HMQ∽△HKE,∴=,∴=,
设HM=2m,MQ=m,∴MN=HM=2m,NK=2-4m,
在Rt△QMN和Rt△ENK中,由勾股定理得QM2+MN2=NK2+KE2,
∴m2+(2m)2=(2-4m)2+12,解得:m=或m=1(舍),
∴NK=2-=,
∴ON=4-=,∴N(0,-),
设直线PE的表达式为:y=a1x+b1(a1≠0),代入点N,E,
得:,解得:,
∴直线PE的表达式为:y=-x-,
联立,得:-x-=x2-2x-3,
整理得:11x2-20x+9=0,解得:x=或x=1(舍),
∴P(,-),
综上所述,P(3,0)或P(,-).期中素养评估(26.1~27.2.3)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,☉O中,点A是的中点,若∠BOA=α,则∠ADC=( )
A.α B.2α C.α D.90°-α
2.(2024·遵义期末)若抛物线y=x2+ax+2的对称轴是y轴,则a的值是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠ACD=22.5°,AB=4,则CD的长为( )
A. B.2 C.2 D.4
4.(2024·宿州模拟)已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列说法正确的是( )
A.该函数的图象开口向上
B.该函数图象与y轴的交点坐标为(0,5)
C.当x=1时,y取得最大值5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
5.如图,☉O的直径AD=6,∠BAC=30°,则弦BC的长为( )
A.3 B.3 C.6 D.2
6.(2024·福建中考)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是( )
A.可以找到一个实数a,使得y1>a
B.无论实数a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一个实数a,使得y2<0
D.无论实数a取什么值,都有y2<0
7.(2024·山西中考)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连结OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
8.(2024·福州期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象的一部分,对称轴是直线x=1.下列说法:①b<0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤c-a>0.其中正确的是( )
A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.②③⑤
9.(2024·重庆中考)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和点C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
10.已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上,若y1=y2=y3,x1A.-12C.-9二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·金华质检)若函数y=(a+1)是关于x的二次函数,则a的值为 .
12.如图,AB是☉O的直径,OE⊥BC于点E,连结AC,若∠A=30°,OE=2,则☉O的半径为 .
13.如图所示的抛物线y=x2-bx+b2-9的图象,那么b的值是 .
14.如图,AB是☉O的直径,点D,M分别是弦AC,弧AC的中点,∠BAC=30°,AB=8,则MD的长是 .
15.(2024·宿迁模拟)如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-1,4),B(4,2),则使y116.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,由于惯性的作用,汽车最远要滑行 m才能停下.
17.《九章算术》是我国古代数学专著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆半径几何 ”大意:“如图,今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的半径是多少步 ”根据题意,该直角三角形内切圆的半径为 步.
18.(2024·厦门模拟)如图,已知平行四边形OABC中,OA=6,∠AOC=45°,以AB为直径的圆经过点C,Q为线段OC上任一点(与点O,点C不重合),过点Q作直线PD垂直OA于D,交直线BC于P,设OD=t,△OPQ的面积为S.以下结论正确的是 .(填序号)
①点B的坐标是(12,6);
②直线AB的表达式是y=x-6;
③S与t的函数表达式是S=-t2+3t(0④当S=18-22.5时,直线PQ与已知圆相切.
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图,已知AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,=,AE交CD于F.求证:CF=AF.
20.(8分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
21.(8分)如图,☉O的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点,D是的中点,连结CF交OB于点G,连结BC.
(1)求证:GE=BE;
(2)若OG=1,CD=8,求BC的长.
22.(8分)进价为40元/件的衣服,加价对外销售,销售数量y(件)与售价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)售价为60元时,卖出多少件 求出y与x的函数表达式;
(2)设总利润为w(元),写出w与x的函数关系式;当售价x为多少元时,利润w最大,最大利润是多少
23.(8分)如图,在等腰△ABC中,AC=BC,以AB为直径作☉O,分别交边AC,BC于点D,E,过点O作OF⊥BC于点F,过点B作☉O的切线BG交OF的延长线于点G.
(1)求证:∠G=∠A;
(2)若☉O的直径为24,BG=9,求AC的长.
24.(8分)(2024·杭州一模)如图1是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机,A是其弹射出口,能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球.在不计空气阻力的情况下,球的运动路径呈抛物线状(如图2所示).设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米),与地面的高度为y(米),y与x的部分对应数据如表所示.
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
(1)求y关于x的函数表达式,并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离.
(2)为了训练学员的应对能力,需要改变球的落地点,可以通过调整弹射出口A的高度来实现.此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
25.(10分)(2024·武汉模拟)如图,四边形ABCD为矩形,E为边CD的中点,☉O经过A,B,E三点,AD与☉O交于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=4,DF=1,求☉O的半径.
26.(10分)(2024·烟台中考)如图,抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=-1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
(2)如图1,点F的坐标为(-6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连结FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;
(3)如图2,点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使
∠PEH=2∠DHE 若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
